第一章典型方程与定解条件ppt课件.ppt

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1、数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用一、一、基本物理定律与典型方程的建立基本物理定律与典型方程的建立二、二、各种定解条件的数学描述各种定解条件的数学描述三、三、偏微分方程定解问题的基本概念偏微分方程定解问题的基本概念数学物理方程定解问题的提法泛定方程（泛定方程（传输方程传输方程、波动方程、热传导方程、波动方程、热传导方程、拉普拉斯方程等）拉普拉斯方程等）定解问题：定解条件（初始条件，边界条件）定

2、解条件（初始条件，边界条件）四、四、两个自变量的二阶线性偏微分方程的分类两个自变量的二阶线性偏微分方程的分类 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第一章第一章 一些典型方程和定解条件的推导一些典型方程和定解条件的推导1/15/20231数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用条件条件：均匀柔软的不可拉伸细弦，在平衡位置附近作微小：均匀柔软的不可拉伸细弦，在平衡位置附近作微小横振动。不受外力影

3、响。横振动。不受外力影响。1.1.1 牛顿运动定律与弦振动方程牛顿运动定律与弦振动方程研究对象：弦线上某点在弦线上某点在 t 时刻沿纵向的位移。时刻沿纵向的位移。一、一、基本物理定律与典型方程的建立基本物理定律与典型方程的建立1/15/20232数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用弦振动的相关模拟弦振动的相关模拟1/15/20233数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型

4、方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用波波的的传传播播的的相相关关模模拟拟1/15/20234数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用弦振动的相关模拟弦振动的相关模拟1/15/20235数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的

5、推导典型方程和定解条件的推导经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用简化假设：(2)横向振幅极小，张力与水平方向的夹角很小。(1)弦是柔软的，弦上的任意一点的张力沿弦的切线方向。牛顿运动定律：横向：纵向：其中：其中：1/15/20236数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用其中：一维波动方程令：-非齐次方程非

6、齐次方程自由项-齐次方程齐次方程忽略重力作用：1/15/20237数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用从麦克斯韦方程出发：从麦克斯韦方程出发：在没有场源的自由空间在没有场源的自由空间：例例1 时变电磁场与三维波动方程时变电磁场与三维波动方程1/15/20238数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导经营者提供商品或者服务有欺诈行

7、为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用对第一方程两边取旋度，根据矢量运算：由此得：得：即：同理可得：电场的三维波动方程磁场的三维波动方程1/15/20239数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用1.1.2 1.1.2 能量守恒与热传导方程能量守恒与热传导方程热传导现象中所要研究的物理量是温度。热传导现象：当导热介质中各点的温度分布不均匀

8、时，有热量从高温处流向低温处。热场温度与那些量有关呢？例如，手握铁棒放在炉火烧，火中的一端温度高，手握的一端温度低，这说明温度分布与位置有关；同时，手握的一端也会慢慢变烫，即温度分布与时间有关。给定一空间内物体给定一空间内物体 ，设其上的点，设其上的点 在时刻在时刻t t 的温的温度为度为 ,研究温度研究温度 的运动规律。的运动规律。1/15/202310数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用1.

9、1.2 1.1.2 能量守恒与热传导方程能量守恒与热传导方程 傅立叶试验定律是傅立叶在1822年出版的著作热的解析理论中提出的。傅立叶是导热理论的奠基人，他通过实验，分析和总结了物体内的导热规律，建立了傅立叶试验定律，从而揭示了导热热流与局部温度梯度间的内在联系。热场2 2、傅里叶、傅里叶(Fourier)(Fourier)热传导定律热传导定律(试验定律试验定律):):1 1、热量守恒定律、热量守恒定律:温度变化吸温度变化吸收的热量收的热量通过边界流通过边界流入的热量入的热量热源放出热源放出的热量的热量两个物理定律两个物理定律1/15/202311数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第

10、第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用1.1.2 1.1.2 能量守恒与热传导方程能量守恒与热传导方程根据傅立叶试验定律，在dt 时间内从dS 流入V 的热量为：从时刻t1到t2通过S 流入V 的热量为 高斯公式(矢量散度的体积分等于该矢量的沿着该体积的面积分)傅立叶试验定律：在任意时刻，各向同性的连续介质内任意位置处的热流密度在数值上与该点的温度梯度成正比，而方向相反，即热场其中k为导热系数，公式中的负号表示热量的传递方向与温度梯度方向相反

11、。1/15/202312数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用热场流入的热量导致V 内的温度发生变化,温度发生变化需要的热量为：由热量守恒定律得：由热量守恒定律得：由由 及及 的任意性知的任意性知由此得到由此得到热传导方程热传导方程：它反映了导热物体内的能量守恒关系。它反映了导热物体内的能量守恒关系。1/15/202313数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条

12、件的推导典型方程和定解条件的推导经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用热场如果物体内有热源，则温度满足非齐次热传导方程为热扩散系数。对均匀且各向同性物体，即物体的热物性参数 均为常数，则有对应地，称对应地，称(1)(1)为为齐次热传导方程齐次热传导方程。称称f为非齐次项为非齐次项(自由项自由项)。1/15/202314数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增

13、加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用质量守恒与扩散方程质量守恒与扩散方程 18581858年年,菲克菲克(Fick)(Fick)参照了傅里叶于参照了傅里叶于18221822年建立的导热方程年建立的导热方程,获得了描述物质从高浓度区向低浓度区迁移的定量公式获得了描述物质从高浓度区向低浓度区迁移的定量公式:菲克菲克第一定律第一定律。假设有一单相固溶体。假设有一单相固溶体,横截面积为横截面积为A,A,浓度浓度C C不均匀不均匀,在在dtdt时间内时间内,沿法向通过点沿法向通过点x处处截面截面A A所迁移的物质的量与该处所迁移的物质的量与该处的浓度梯度成正比：的浓度梯度成正比：由扩散通量

14、的定义由扩散通量的定义:单位时间内通过单位横截面的粒子数单位时间内通过单位横截面的粒子数，有，有菲克第一定律菲克第一定律 （1 1）式中式中J J称为扩散通量称为扩散通量.常用单位是常用单位是g/(cmg/(cm2 2.s).s)或或mol/(cmmol/(cm2 2.s).s)；是同一时刻沿轴的浓度梯度；是同一时刻沿轴的浓度梯度；D D是比例系数是比例系数，称为，称为扩散系数扩散系数。1/15/202315数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增

15、加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用质量守恒与扩散方程质量守恒与扩散方程扩散过程扩散通量扩散通量J的方向与的方向与浓度降低的方向一致浓度降低的方向一致1/15/202316数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用如图所示，在扩散方向上取体积元如图所示，在扩散方向上取体积元 和和 分分别表示流入和流出体积元的扩散通量，则在别表示流入和流出体积元的扩散通量，则在t 时间内，时间内，体积元中

16、扩散物质的积累量为体积元中扩散物质的积累量为扩散流通过微小体积的情况质量守恒与扩散方程质量守恒与扩散方程即扩散物质的浓度满足扩散方程：而而于是于是1/15/202317数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用质量守恒与扩散方程质量守恒与扩散方程如果扩散系数为常数，则上式可写成如果扩散系数为常数，则上式可写成一般称以下两式为一般称以下两式为菲克第二定律：菲克第二定律：1.1.3 1.1.3 静电位势与

17、拉普拉斯方程静电位势与拉普拉斯方程电势u 确定所要研究的物理量：根据物理规律建立微分方程：对方程进行化简：拉普拉斯方程 泊松方程 1/15/202318数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用1.1.4 1.1.4 质量守恒与连续性方程质量守恒与连续性方程所要研究的物理量：时刻t流体在位置M(x,y,z)处的密度假设流体在无源的区域内流动，流速为在dt 时间内从dS 流入V 的质量为：从时刻t1到t

18、2通过S 流入V 的质量为 高斯公式（矢量散度的体积分等于该矢量的沿着该体积的面积分）1/15/202319数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用由区域和时间段的任意性以及被积函数的连续性，由区域和时间段的任意性以及被积函数的连续性，得到得到连续性方程连续性方程 如果流速为常向量，则得到如果流速为常向量，则得到传输方程传输方程 如果流体不可压缩，即流体密度为常数，则有如果流体不可压缩，即流体密度为

19、常数，则有 流入的质量导致流入的质量导致V 内的浓度发生变化内的浓度发生变化 从而，从而，V 内的质量增量满足内的质量增量满足 即即1/15/202320数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用同一类物理现象中，各个具体问题又各有其特殊性。边界条件和初始条件反映了具体问题的特殊环境和历史，即个性。初始条件：能够用来说明某一具体物理现象初始状态的条件。边界条件：能够用来说明某一具体物理现象边界上的约束

20、情况的条件。其他条件：能够用来说明某一具体物理现象情况的条件。初始时刻的温度分布：B、热传导方程的初始条件C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件不含初始条件，只含边界条件条件A、波动方程的初始条件1、初始条件、初始条件描述系统的初始状态描述系统的初始状态系统各点的初位移系统各点的初速度二、二、各种定解条件的数学描述各种定解条件的数学描述1/15/202321数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用(2

21、)自由端：x=a 端既不固定，又不受位移方向力的作用。2、边界条件、边界条件描述系统在边界上的状况描述系统在边界上的状况A、波动方程的边界条件(1)固定端：对于两端固定的弦的横振动，其为：或：(3)弹性支撑端：在x=a端受到弹性系数为k 的弹簧的支撑。或:第一类边界条件Dirichlet边界条件第二类边界条件Neumann边界条件第三类边界条件Robin边界条件或：1/15/202322数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购

22、买商品的价款或接受服务的费用B、热传导方程的边界条件(1)给定温度在边界上的值(S为给定区域v 的边界)(2)绝热状态(3)热交换状态牛顿冷却定律：单位时间内从物体通过边界上单位面积流到周围介质的热量跟物体表面和外面的温差成正比。交换系数；周围介质的温度,C、拉普拉斯方程的边界条件第一类边界条件Dirichlet边界条件第二类边界条件Neumann边界条件第三类边界条件Robin边界条件1/15/202323数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增

23、加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用1 1、定解问题、定解问题三、偏微分方程定解问题的基本概念三、偏微分方程定解问题的基本概念(1)初值问题：只有初始条件，没有边界条件的定解问题；(2)边值问题：没有初始条件，只有边界条件的定解问题；(3)混合问题(初边值问题)：既有初始条件，也有边界条件的定解问题。把某种物理现象满足的偏微分方程和其相应的定解条件结合在一起，就构成了一个定解问题。2 2、定解问题的适定性、定解问题的适定性 解的存在性：定解问题是否有解；解的唯一性：是否只有一解；解的稳定性：定解条件微小变动时，解是否有相应的微小变动。1/15/202324数学物理方程与特殊函数数

24、学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用(5)按自由项是否为零分为按自由项是否为零分为齐次方程齐次方程和和非齐次方程非齐次方程3 3、微分方程一般分类、微分方程一般分类 (1)按自变量的个数，分为二元和多元方程按自变量的个数，分为二元和多元方程；(3)按方程中未知函数导数的最高阶数，分为一阶、二阶和按方程中未知函数导数的最高阶数，分为一阶、二阶和高阶微分方程高阶微分方程；(2)按未知函数及其导数的幂次，分为按未知函数及其导

25、数的幂次，分为线性微分方程线性微分方程和和非线非线性微分方程性微分方程；(4)按未知函数及其导数的系数是否变化分为常系数和变系按未知函数及其导数的系数是否变化分为常系数和变系数微分方程数微分方程；例如，两自变量的一阶偏微分方程可写作：例如，两自变量的一阶偏微分方程可写作：判断下列方程的类型思考1/15/202325数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用线性方程的解具有叠加特性 4 4、叠加原理、叠

26、加原理 叠加原理的叠加原理的物理意义物理意义：几种不：几种不同的原因的综合所产生的效果同的原因的综合所产生的效果等于这些不同原因单独产生的等于这些不同原因单独产生的效果的累加。效果的累加。（以热传导方程为例）（以热传导方程为例）叠加原理叠加原理I设设是下面方程的解：是下面方程的解：在在G内收敛并且对内收敛并且对t可逐项求导一次，对可逐项求导一次，对x可逐项求可逐项求导两次，则和函数在导两次，则和函数在G内仍然是（内仍然是（1 1）的解）的解.若级数若级数 也就是说，如果也就是说，如果 是（是（1 1）的解，则其无限线性组合也是解。的解，则其无限线性组合也是解。1/15/202326数学物理方程

27、与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用叠加原理II1/15/202327数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用叠加原理III 设设是下面方程的解：是下面方程的解：若若在积分号下对在积分号下对 t 求导一次，对求导

28、一次，对 x 可求导两次，则可求导两次，则在在G上是以下方程的解：上是以下方程的解：1/15/202328数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用叠加原理IV1/15/202329数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款

29、或接受服务的费用5 5、微分方程的解、微分方程的解 古典解：如果将某个函数 u 代入偏微分方程中，能使方程成为恒等式，且方程中出现的偏导数都连续，则这个连续函数就是该偏微分方程的古典解。通解：含有相互独立的任意常数的个数与偏微分方程阶数相同的解。特解：通过定解条件确定了解中的任意常数后得到的解。形式解：未经过严格数学理论验证的解为形式解。6 6、求解方法、求解方法分离变量法、行波法、积分变换法、格林函数法1/15/202330数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔

30、偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用四、两个自变量的二阶线性偏微分方程的分类四、两个自变量的二阶线性偏微分方程的分类 两个自变量的二阶线性偏微分方程的一般形式两个自变量的二阶线性偏微分方程的一般形式(1)其中，其中，都是区域都是区域上的上的实实函数，函数，并假定它并假定它们们是是连续连续可微的。可微的。若在区域若在区域上某点上某点处满处满足足，则则(1)(1)在点在点处处是是双曲型双曲型的；的；，则则(1)(1)在点在点处处是是抛物型抛物型的；的；，则则(1)(1)在点在点处处是是椭圆型椭圆型的的.如果方程如果方程(1)(1)在所在所讨论讨论的区域的区域内每点都

31、是内每点都是双曲型双曲型(抛物型或抛物型或椭圆椭圆型型),),则则称方程在区域内也是双曲型称方程在区域内也是双曲型(抛物型抛物型或或椭圆椭圆型型)。1/15/202331数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 如果一个方程在区域如果一个方程在区域 中的一部分区域表现为双中的一部分区域表现为双曲型，在另一部分表现为椭圆型，而在分界面上表现曲型，在另一部分表现为椭圆型，而在分界面上表现为抛物型，那么，

32、这样的方程在区域为抛物型，那么，这样的方程在区域 中称为中称为混合型混合型的。的。例如方程：例如方程：容易看出，如果点容易看出，如果点(x0 0,y0 0)上方程表现为双曲型或上方程表现为双曲型或椭圆型，那么一定存在该点的一个邻域，使方程在这椭圆型，那么一定存在该点的一个邻域，使方程在这个个邻邻域内是双曲型或椭圆型的。但如果这个点上方程域内是双曲型或椭圆型的。但如果这个点上方程表现为抛物型，则不一定存在一个表现为抛物型，则不一定存在一个邻邻域，使方程在这域，使方程在这个个邻邻域内表现为抛物型。域内表现为抛物型。1/15/202332数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典

33、型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 按照偏微分方程的分类方法，很容易看出一维弦按照偏微分方程的分类方法，很容易看出一维弦振动方程是振动方程是双曲型双曲型的，一维热传导方程是的，一维热传导方程是抛物型抛物型的，的，二维拉普拉斯方程是二维拉普拉斯方程是椭圆型椭圆型的。的。以上三种方程描述的自然现象的本质不同，其解以上三种方程描述的自然现象的本质不同，其解的性质也各异。这也从侧面说明了对二阶线性偏微分的性质也各异。这也从侧面说明了对二阶线性偏微分方程所进行的分

34、类是有其深刻的原因的。方程所进行的分类是有其深刻的原因的。例如，空气动力学中，对于定常例如，空气动力学中，对于定常EulerEuler方程而言，方程而言，它在它在亚音速亚音速流动中表现为流动中表现为椭圆型椭圆型方程，在方程，在超音速超音速流流动中表现为动中表现为双曲型双曲型，在，在跨音速跨音速流动中表现为流动中表现为混合型混合型。而对于非定常而对于非定常EulerEuler方程而言，它始终表现为方程而言，它始终表现为双曲型双曲型。1/15/202333数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用例例 将方程将方程分类并化为标准形式分类并化为标准形式 解：解：故该方程是抛物型的。故该方程是抛物型的。该方程的特征方程为：该方程的特征方程为：从而得到方程的一族特征线为：从而得到方程的一族特征线为：作自变量代换作自变量代换(由于由于和和必须函数无关必须函数无关,所以所以宜取最简单的函宜取最简单的函数形式数形式,即即=x 或或=y)于是，原方程化简后的标准形式为：于是，原方程化简后的标准形式为：1/15/202334