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1、2023年数学分析2期末考试总结 第一篇：数学分析2期末考试总结 2023-2023学年第1学期数学分析2期末考试总结 本校于2023年01月22日对12级数学与应用数学23班的学生进行了数学分析2的期末考试。本次考试实行自命题的方式，多数试题难度适中，少量题目难度颇高，题量适中，具有相当的全面灵敏性，符合大纲要求。本试卷各部分内容所占比例为：基础学问占80%，综合分析题目占20%。题型分别为：选择题、表达定义定理、计算题、证明题等。 本次阅卷实行独立阅卷方式进行，依据参考答案与评分标准给分，证明题则考虑到不同的有效证明思路，做到对每个学生负责。 本次考试的成果分布状况如下： 优秀：90100
2、分3人，占5.17%； 良好：8089分7人，占12.07%； 中等：7079分14人，占24.14%； 及格：6069分22人，占37.93%； 不及格：60分以下12人，占20.69%。 从本试卷的各类题型的得分状况来看，综合基础性的选择题和表达定义定理不太志向，反映了中学阶段的应试教化的训练造成了现阶段的难点，也反映了个别同学对学习不够努力，但对数学专业的学生而言，主动进行学习和全面进行思索，这是基本要求和基本训练。在今后的教学过程中要接着强调这方面的要求。其它方面的得分比较正常。 总之，本试卷全面地反映了学生的学习状况、学习能动性及其真实水平。 任课老师：周颂平 2023-3-1 其次
3、篇：数学分析考试大纲2 数学分析考试大纲 本数学分析考试大纲适用于宁波高校数学相关专业硕士探讨生入学考试。 一、本考试科目简介： 数学分析是数学专业最重要的基础课之一，是数学专业的学生接着学习后继课程的基础，它的理论方法和内容既涉及到几百年来分析数学的严谨性和规律性，又与现代数学的各个领域有着亲热的联系。是从事数学理论及其应用工作的必备学问。本大纲制定的的根据是根据教化部颁发数学分析教学大纲的基本要求。根据我国一些国优教材所讲到基本内容和学问点。要求考生比较系统地理解数学分析的基本概念基本理论，驾驭探讨分析领域的基本方法，基本上驾驭数学分析的论证方法，具备较娴熟的演算技能和初步的应用实力及规律
4、推理实力。 二、考试内容及具体要求： 第1章实数集与函数 1了解实数域及性质 2驾驭几种主要不等式及应用。 3娴熟驾驭领域，上确界，下确界，确界原理。 4牢固驾驭函数复合、基本初等涵数、初等函数及某些特性单调性、周期性、奇偶性、有界性等。 第2章数列极限 1娴熟驾驭数列极限的定义。 2驾驭收敛数列的若干性质惟一性、保序性等。 3驾驭数列收敛的条件单调有界原理、迫敛法则、柯西准则等。 第3章函数极限 1娴熟驾驭运用“-语言，表达各类型函数极限。 2驾驭函数极限的若干性质。 3驾驭函数极限存在的条件归结原则，柯西准则，左、右极限、单调有界。 4娴熟应用两个特殊极限求函数的极限。 5牢固驾驭无穷小大
5、的定义、性质、阶的比较。 第4章函数连续性 1娴熟驾驭在X0点连续的定义及其等价定义。 2驾驭间断点定以及分类。 3了解在区间上连续的定义，能运用左右极限的方法求极限。 4驾驭在一点连续性质及在区间上连续性质。 5了解初等函数的连续性。 第5章导数与微分 1娴熟驾驭导数的定义，几何、物理意义。 2牢固记住求导法则、求导公式。 3会求各类的导数复合、参量、隐函数、幂指函数、高阶导数莱布尼兹公式。 4驾驭微分的概念，并会用微分进行近似计算。 5深刻理解连续、可导、可微之关系。 第6章微分中值定理、不定式极限 1牢固驾驭微分中值定理及应用包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理。 2会用洛比达
6、法则求极限，驾驭如何将其他类型的不定型转化为0/0型。 第1-6章的重点与难点 1重点：基本概念：极限、连续、可导、可微。基本定理：单调有界，柯西准则，归结原则，微分中值定理。基本计算：求极限的方法与类型。 2难点：应用微分中值定理，证明问题，连续函数性质应用。 第7章导数应用 1驾驭单调与符号的关系，并用它证明f(x)单调，不等式、求单调区间、极值等。 2利用判定凹凸性及拐点。 3了解凸函数及性质 4会求曲线各种类型的渐近线性。 5了解方程近似解的牛顿切线法。 第8章极限与连续续 1驾驭以下基本概念：区间套、柯西列、聚点、予列。 2了解刻划实数完备性的几个定理的等阶性，并驾驭各定理的条件与结
7、论。 3学会用上述定理证明其他问题，如连续函数性质定理等。 第9章不定积分 1驾驭原函数与不定积分的概念。 2记住基本积分公式。 3娴熟驾驭换元法、分部积分法。 4了解有理函数积分步骤，并会求可化为有理函数的积分。 第10章定积分 1驾驭定积分定义、性质。 2了解可积条件，可积类。 3深刻理解微积分基本定理，并会娴熟应用。 4娴熟计算定积分。 5驾驭广义积分收敛定义及判别法，会计算广义积分。 第11章定积分应用 10娴熟计算各种平面图形面积。 2会求旋转体或已知截面面积的体积。 3会利用定积分求孤长、曲率、旋转体的侧面积。 4会用微元法求解某些物理问题压力、变力功、静力矩、重心等。 第12章数
8、项级数 1驾驭数项级数敛散的定义、性质。 2娴熟驾驭正项级数的敛、散判别法。 3驾驭条件、确定收敛及莱布尼兹定理。 第7-12章的重点、难点 1重点：导数的应用，积分法则，微积分基本定理，数项级数敛散判别，广义积分敛散判别。 2难点：实数完备性定理及应用；定积分的可积性及可主动类的探讨，定积分及数项级数的理论证明，广义积分及数项级数敛散的阿贝尔，狄利克雷判别法。 第13章函数列与函数项级数 1了解函数列与函数项级之间的关系，驾驭函数列及函数项级数的一样收敛定义。 2驾驭函数列、函数项级数一样收敛的判别法。 3函数列的极限函数，函数项级数的和函数性质。 第14章幂级数 1娴熟幂级数收敛域，收敛半
9、径，及和函数的求法。 2了解幂级数的若干性质。 3了解求一般随便阶可微函数的幂级数展式的方法。特别牢固记住六种基本初等函数的马克劳林展式。 4会利用间接法求一些初等函数的幂级数展式。 第15章付里叶级数 1熟记付里叶系数公式，并会求之。 2驾驭以2为周期函数的付里叶展式。 3理解驾驭定义在0,1上的函数可以展成余弦级数，正弦级数，一般付里叶级数。 4了解收敛性定理，并驾驭，贝塞尔不等式，勒贝格引理等。 第16章多元函数极限与选择 1了解平面点集的若干概念。 2驾驭二元函数二重极限定义、性质。 3驾驭二次极限，并驾驭二重极限与二次极限的关系。 4驾驭二元连续函数的定义、性质。 5了解二元函数关于
10、两个变量全体连续与分别连续的关系。 第17章多元函数微分学 1娴熟驾驭，可微，偏导的意义。 2驾驭二元函数可微，偏导，连续以及偏导函数连续，概念之间关系。 3会计算各种类型的偏导，全微分。 4会求空间曲面的切平面，法线。空间曲线的法平面与切线。 5会求函数的方向导数与梯度。 6会求二元函数的泰勒展式及无条件极值。 第18章隐函数定理及其应用 1驾驭由一个方程确定的隐函数的条件，隐函数性质，隐函数的导数偏导公式。 2驾驭由m个方程n个变元组成方程组，确定n-m个隐函数组的条件，并会求这n-m个隐函数对各个变元的偏导数。 3会求空间曲线的切线与法平面。 4会求空间曲面的切平面与法线。 5驾驭条件极
11、值的拉格朗日数乘法。 第19章向量函数微分一般了解 第13-19章 重点、难点 1重点：函数列、函数项级数一样收敛的判别，求幂级数的收敛域，和函数及其性质，幂级数展式，多元函数极限，连续、偏导、可微概念。计算部分：求各类偏导，全微分，求方向导数与梯度，求方程组确定隐函数组的偏导。应用部分；无条件极值，条件极值，曲线的切线与法平向，曲面的切平面与法线。 2难点：函数列与函数项级数一样收敛判别及性质，条件极值。 第20章重积分 1了解二重积分，三重积分定义与性质。 2驾驭二重积分的换序，变量代换的方法。 3了解三重积分的换序，会用球、柱、广义球坐标进行代换计算三重积分。 4含参量正常积分的定义及性
12、质。 5重积分应用：求曲面面积，转动惯量，重心坐标等。 第21章含参量非正常积分 1驾驭含参量非正常积分一样收敛定义、性质。 2驾驭含参量非正常积分一样收敛判别。 3会用积分号下求导、积分号下做积分方法计算一些定积分或广义积分。 4了解欧拉积分，递推公式及性质。 第22章曲线积分与曲面积分 1娴熟驾驭第一、二型曲线、曲面积分的计算方法。 2了解两种曲线积分，两种曲面积分关系。 3娴熟运用格林公式，高斯公式，斯托克斯公式计算。 4驾驭积分与路径无关的条件。 5了解场论初步学问，并会求梯度，散度，旋度。 第20-22章的重点和难点 1重点：二重积分换序，计算方法；曲线，曲面积分的计算。格林公式，高
13、斯公式，斯托克斯公式的应用，积分与路径无关性质的应用。 2难点：含参量广义积分的一样收敛判别，三重积分的换序，重积分的应用。 三、题型分布： 填空题，选择题，解答题，计算题，证明题，应用题。 第三篇：数学分析公式定理2 第十二章 富里埃级数 1 富里埃级数 一 富里埃Fourier级数的引进 定义：设是上以为周期的函数，且在上确定可积，称形如的函数项级数为的Fourier级数(的Fourier绽开式)，其中，称为的Fourier系数，记为 说明 1在未探讨收敛性，证明一样收敛到之前，不能将“改为“=；此处“也不包含“等价之意，而仅仅表示是的Fourier级数，或者说的Fourier级数是。 2
14、) 要求上的Fourier级数，只须求出Fourier系数。 二 富里埃级数收敛性的判别 1.Riemann黎曼引理 设在有界或无界区间上确定可积，则，.推论 在上确定可积函数的Fourier系数； 2.Fourier级数收敛的充要条件 定理1 和,使得当时成立 其中.3.Fourier级数收敛的Dini判别法 推论: 设在上除去有限点外存在有界导数,则的Fourier级数点点收敛,且 特别地,是的连续点时，即 例: 设是以为周期的函数，其在上可表示为,判定的Fourier级数的收敛性.例：设是以为周期的函数,其在上等于,判定的Fourier级数的收敛性 例： 4.Jordan判别法 设在上单
15、调(或有界变差)，则。 例：设是以为周期的函数，其在上可表示为,求的Fourier绽开式。 计算的Fourier系数的积分也可以沿别的长度为的区间来积.如，例： 设是以为周期的函数,其在上等于,求的Fourier级数.假如仅定义在长为的区间上,例如定义在上,此时不是周期函数,从而不能按上述方法绽开为Fourier级数.但可对在外补充定义,使其以为周期,如定义,它有下述性质: a) 时,； b) 以为周期.例 : 三 正弦级数和余弦级数 定义 形如的三角级数(函数项级数)称为正弦级数;形如的三角级数函数项级数称为余弦级数.2 假如是以为周期的函数,在上确定可积,若是奇函数,则有；若是偶函数,则有
16、.3设仅在上有定义,假如按奇函数的要求,补充定义,然后再作周期延拓,必得奇函数,所得Fourier级数必为正弦级数.对应地,补充定义后,再作周期延拓,必得偶函数,所得Fourier级数必为余弦级数。 例:),将绽开成余弦函数。 例：将在上绽开为余弦级数。 四 一般周期函数的Fourier级数 设是周期为的函数,且在上确定可积,则有,其中，例: 求的Fourier绽开式.五 Fourier级数的复数表示形式 设,则其复数表示形式为,其中,复的Fourier系数.2 富里埃变换 一 富里埃变换的概念 设在内确定可积。 定义1 称是的富里埃变换，并把它记为或。即。 富里埃变换的性质 i是内的连续函数
17、； ii。 定义2 称是的富里埃逆变换。又称 是的富里埃变换积分公式。 例： 求衰减函数的富里埃变换。 例： 求函数的富里埃变换和富里埃变换积分公式。 二 富里埃变换的一些性质 富里埃变换有一些简洁的性质，这些性质在偏微分方程和概率论等课程中有着很重要的应用。 性质1线性，其中是两个随便给定的常数。 性质2平移对任何，设，那么。 性质3导数设，则。 性质4。 第十三章 多元函数的极限和连续性 1、平面点集 一 邻域、点列的极限 定义1 在平面上固定一点，凡是与的距离小于的那些点组成的平面点集，叫做的邻域，记为。 定义2 设。假如对的任何一个邻域，总存在正整数，当时，有。就称点列收敛，并且收敛于
18、，记为或。 性质：1。 2若收敛，则它只有一个极限，即极限是唯一的。 二 开集、闭集、区域 设是一个平面点集。 1内点：设，假如存在的一个邻域，使得，就称是的内点。 2外点：设，若存在的一个邻域，使，就称是的外点。 3边界点：设是平面上一点，它可以属于，也可以不属于，假如对的任何邻域，其中既有的点，又有非中的点，就称是的边界点。的边界点全体叫做的边界。 4开集：假如的点都是的内点，就称是开集。 5聚点：设是平面上的一点，它可以属于，也可以不属于，假如对的任何邻域，至少含有中一个不等于的点，就称是的聚点。 性质：设是的聚点，则在中存在一个点列以为极限。 6闭集：设的全部聚点都在内，就称是闭集。
19、7区域：设是一个开集，并且中任何两点和之间都可以用有限条直线段所组成的折线连接起 来，而这条折线全部含在中，就称是区域。一个区域加上它的边界就是一个闭区域。 三 平面点集的几个基本定理 1矩形套定理：设是矩形序列，其中每一个矩形都含在前一个矩形中，并且，那么存在唯一的点属于全部的矩形。 2.致密性定理：假如序列有界，那么从其中必能选取收敛的子列。 3.有限覆盖定理：若一开矩形集合覆盖一有界闭区域。那么从 里，必可选出有限个开矩形，他们也能覆盖这个区域。 4收敛原理：平面点列有极限的充分必要条件是：对任何给定的，总存在正整数，当时，有。 2 多元函数的极限和连续 一 多元函数的概念 不管在数学的
20、理论问题中还是在实际问题中，许多量的转变，不只由一个因素确定，而是由多个因素确定。例如平行四边行的面积由它的相邻两边的长和宽以及夹角所确定,即;圆柱体体积由底半径和高所确定,即。这些都是多元函数的例子。 一般地，有下面定义： 定义1 设是的一个子集，是实数集，是一个规律，假如对中的每一点，通过规律，在中有唯一的一个与此对应，则称是定义在上的一个二元函数，它在点的函数值是，并记此值为，即。 有时，二元函数可以用空间的一块曲面表示出来，这为探讨问题供应了直观想象。例如，二元函数就是一个上半球面，球心在原点，半径为，此函数定义域为满意关系式的，全体，即。又如，是马鞍面。 二 多元函数的极限 定义2
21、设是的一个开集，是一个常数，二元函数在点旁边有定义假如，当时，有，就称是二元函数在点的极限。记为或。 定义的等价表达1 设是的一个开集，是一个常数，二元函数在点 旁边有定义假如，当时，有，就称是二元函数在点的极限。记为或。 定义的等价表达2 设是的一个开集，是一个常数，二元函数在点 旁边有定义假如，当且时，有，就称是二元函数在点的极限。记为或。 注：1和一元函数的情形一样，假如，则当以任何点列及任何方式趋于时，的极限是；反之，以任何方式及任何点列趋于时，的极限是。但若在某一点列或沿某一曲线时，的极限为，还不能确定在的极限是。所以说，这里的“或要比一元函数的情形困难得多，下面举例说明。 例：设二
22、元函数，探讨在点的的二重极限。 例：设二元函数，探讨在点的二重极限是否存在。 例：，探讨该函数的二重极限是否存在。 二元函数的极限较一元函数的极限而言，要困难得多，特别是自变量的转变趋势，较之一元函数要困难。 例：。 例： 例：求在，点的极限，若用极坐标替换则为 留意：在时为，此时无界。 例：极坐标法再举例：设二元函数，探讨在点的二重极限 证明二元极限不存在的方法 基本思想：根据重极限定义，若重极限存在，则它沿任何路径的极限都应存在且相等，故若某个特殊路径的极限不存在；或某两个特殊路径的极限不等；或用极坐标法说明极限与辐角有关 例：在的二重极限不存在 三 二元函数的连续性 定义3 设在点有定义
23、，假如，则称在点连续 “语言描述：，有。 假如在开集内每一点连续，则称在内连续，或称是内的连续函数。 例：求函数的不连续点。 四 有界闭区域上连续函数的性质 有界性定理 若再有界闭区域上连续，则它在上有界。 一样连续性定理 若再有界闭区域上连续，则它在上一样连续。 最大值最小值定理 若再有界闭区域上连续，则它在上必有最大值和最小值。 零点存在定理 设是中的一个区域，和是内随便两点，是内的连续函数，假如，则在内任何一条连结的折线上，至少存在一点，使。 五 二重极限和二次极限 在极限中，两个自变量同时以任何方式趋于，这种极限也叫做重极限二重极限此外，我们还要探讨领先后相继地趋于与时的极限这种极限称
24、为累次极限二次极限，其定义如下： 若对任一固定的，当时，的极限存在：,而在时的极限也存在并等于，亦即，那么称为先对，再对的二次极限，记为 同样可定义先后的二次极限： 上述两类极限统称为累次极限。 留意：二次极限累次极限与二重极限重极限没有什么必定的联系。 例：二重极限存在，但两个二次极限不存在设 由得两边夹;不存在知的累次极限不存在。 例：两个二次极限存在且相等，但二重极限不存在。设，由知两个二次极限存在且相等。但由前面知 不存在。 例：两个二次极限存在，但不相等。设，则，; 不行交换 上面诸例说明：二次极限存在与否和二重极限存在与否，二者之间没有确定的关系。但在某些条件下，它们之间会有一些联
25、系。 定理1设1二重极限；2。则。 定理1说明：在重极限与一个累次极限都存在时，它们必相等。但并不意味着另一累次极限存在。 推论1 设1 ；2，存在；3，存在；则，都存在，并且等于二重极限。 推论2 若累次极限与存在但不相等，则重极限必不存在可用于否认重极限的存在性。 例：求函数在的二次极限和二重极限。 第十四章 多元函数微分学 1 偏导数和全微分的概念 一 偏导数的定义 1偏导数定义 定义1 设是一个二元函数，定义在内某一个开集内，点， D，在中固定,那么是一个变元的函数，假如在点可导，即假如 (1) 存在，则称此极限值为二元函数在点,关于的偏导数。 记为。 类似地可定义。 2偏导数的计算
26、例: 设，求偏导数。 例：，求和。 例：U=+yz 求。 3.偏导数和连续 若在点关于或可导，则在关于或连续。但不能推出关于两个变量是连续的。见下面的例子。 例： 。 4.偏导数的几何意义 就是曲线在的切向量。 就是曲线在的切向量。 二 全微分的定义 二元函数微分的定义 定义2 若函数的全变更量可表示为 =(+,+)=+() 且其中与，无关而仅与有关，则称函数在点可微，并称为在点的全微分，记为，即。 性质1 假如在点,可微，则。 注：若在点可微，则。 性质2 若在点，可微，则f在点，连续。 例：设 证明在点不行微。 定理1 设函数的两个偏导数，在点，存在而且都连续，则在点，可微。 例：设，求。
27、 三 高阶偏导数与高阶全微分 类似于一元函数的高阶导数，可以定义高阶偏导数。 例：设，求，；，。 注：一般状况下，未必有。 例： 设，可求得。 定理2 设二元函数的两个混合偏导数，在(，)连续，则有(,)=(,)。 2 求复合函数求导的链式法则 一 复合函数求导的链式法则 定理1链式法则设，此时在点可微，又和都在点 关于的偏导数存在，则 说明：(1) 几种特殊情形：定理1明显讲的是2个中间变量，2个自变量的情形，但其思想方法完全适用与其它情形： 1 则。 2设则 例：又设。求 2 计算复合函数的两阶及两阶以上偏导数，只要重复运用链式法则即可。 (3)有时记。 例：。 例： 4链式法则链式法则中
28、的条件是充分的，并非必要的。在运用链式法则时，要留意的可微性条件，假如不满意这一条件，链式法则不愿定成立。 二 一阶微分形式不变性 一阶微分有个很重要性质形式不变性。在二元函数中也有类似的性质。 设是二元可微函数，假如是自变量，则： 各自独立变量1 假如不是自变量而是中间变量，又设都可微，并且可以构成复合函数，那么： 2 由1，2的可知一阶微分形式的不变性。 留意1两阶微分没有这一性质，如下例。 例：设 则 假如二阶微分只有形式不变性，则有： 但 2利用一阶微分形式不变性求偏导数 例：设利用微分形式不变性求 并求出 3高阶微分不具有形式不变性。 3 由方程组所确定的函数的求导法 在此之前，我们
29、所接触的函数，其表达式大多是自变量的某个算式，如 这种形式的函数称为显函数。但在不少场合常会遇到另一种形式的函数，其自变量与因变量之间的对应法则是由一个方程式所确定的。这种形式的函数称为隐函数。 本节将介绍由一个方程所确定的隐函数求导法以及由方程组所确定的隐函数求导法。 一 一个方程的情形 对 说明：1 求需要假定，这一假设是很重要的；2 这里只用到了“链式法则；3 对求导，只在假定的函数的状况下，求导数，如何确定。 例： 设。 例： 设二阶可微，求。 二 方程组的情形 设由方程组 确定了：并且它们具有对各个变元的连续偏导数，如何求偏导数？ 解决方案： 求完全相同。 例：设。 例：设。 例：设
30、，变换方程。 4 空间曲线的切线与法平面 本节主要探讨由参数方程表示的空间曲线和由方程组表示的空间曲线的切线和法平面的计算问题。 参数方程的情形 设空间曲线的参数方程为 其中的参数。又设都在连续，并且对每一不全为0，这样的曲线称为光滑曲线。通过曲线上任一点的切线定义为割线的极限位置，由此就可写出曲线在任一点的切线方程为：。 法平面：过点可以作无穷多条切线与切线垂直，全部这些直线都在同一平面上，称这个平面为曲线在点处的法平面，其方程为：。 例：求螺旋线：，其中为常数在点，0，0的切线方程和法平面方程。 假如曲线方程由下式表示：。则过点的切线方程为，过点的法平面方程为。 空间曲线是用两个曲面的交线
31、表示：。 又设，关于有连续的偏导数，； 例：求两柱面的交线在点的切线方程和法平面方程。 5 曲面的切平面与法线 1、设光滑曲面的方程，为曲面上一点，过点的切平面方程为：。 过点并与切线平面垂直的直线，称为曲线在点的法线，方程为：。 2、若曲面方程为，则曲面过的切平面方称为 法线方程：。 3、曲面方程由方程组给出：，给出，其中是参数。则曲面过的切平面方称为。 法线方程为： 例：求曲面在点2，1，4的法向量的方向余弦，并求其法线方程和切平面方程。 例：证明对任何常数，球面和锥面正交。 6 方向导数和梯度 一 方向导数 在许多实际问题中，常常需要知道函数在一点沿任何方向或某个方向的转变率。 定义1
32、设是中的一个区域，是D内一个函数，是一个方向向量，令，假如 存在，则称此极限是在点沿方向的方向导数，记为。它表示在点沿方向的转变率。 定理1 设函数在点可微，则在点沿任何方向的方向导数存在，并且有 其中是方向的方向余弦。 例：设，求在点1，0，2沿方向2，1，-1的方向导数。 设是中的一个区域，是内的一个二元可微函数，那么在内每一点，沿单位向量的方向导数是，其中是轴正向即轴上单位向量和向量之间的夹角。 二 梯度 1、引言 在一个数量场中，在给定点沿不同的方向，其方向导数一般是不相同的，如今我们所关切的是：沿哪一个方向其方向导数最大？其最大值是多少？为此引进一个很重要的概念梯度。 2、梯度的定义
33、 定义2 设定义于某个三维区域内，又设函数具有关于各个多元的连续偏导数，称向量 是在点的梯度，记为，即 。它的长度为。 注：它是一个向量，是由数量场产生的向量。 3、的性质： 设可微，则 1；是常数。 2； 3 4 在可微 例：设在空间原点处有一个点电荷，在真空中产生一个静电场，在空间任一点处的电位是：，则。 4、的意义：的方向表示数量场沿此方向的方向导数到达最大；的根长就是这个最大的方向导数。 例：求数量函数在的梯度及其大小。 7 泰勒公式 定理1 设函数在点内对及具有直到阶连续偏导数。对D内随便一点，设，则，这里。 二元函数的中值公式，其中。 例：写出在点旁边函数的泰勒公式。 例：按及的乘
34、幂绽开函数到三项为止。 第十五章 极值和条件极值 1.极值和最小二乘法 一 极值 定义1设在的邻域内成立不等式，则称函数在点取到极大值，点称为函数的极大点，若在的邻域内成立不等式，则称函数在点取到微小值，点称为函数的微小点。极大值和微小值统称为极值，极大点和微小点统称为极值点。 定义2 设是内的一个区域，是的一个内点，假如，则称是的一个驻点。 根据费玛定理，可知 定理1 二元函数的极值点必为的点或至少有一个偏导数不存在的点。 注：定理1的条件是必要条件，而不是充分条件。 例：在点。 例：在点。 怎样进一步推断是否有极值？ 定理2 设在点的某个邻域内有各个二阶连续偏导数，并且点是的一个驻点，则：
35、1若，则在点有微小值；2若，则在点有极大值；3若，则在点没有极值；4若，则须进一步推断。 例：求的极值。 例：求的极值。 多元函数的最大小值问题 设函数在某一有界闭区域中连续且可导，必在上到达最大小值。若这样的点位于区域内部，则在这点明显函数有极大小值。因此，在这种情形函数取到最大小值的点必是极值点之一。然而函数的最大小值最可能在区域的边界上到达。因此，为找出函数在区域上的最大小值，必需找出一切有极值的内点，算出这些点的函数值，再与区域边界上的函数值相比较，这些数值中最大数或最小数就是函数在闭区域上的最大小值。通常可根据问题的实际意义来推断。 例：有一块宽24cm的矩形薄铁皮，把两边折起来，做
36、成一个梯形水槽，问和各自为何值时，水槽的流量是最大？ 例：试在轴，轴与直线围成的三角形区域上求函数的最大值。 二 .最小二乘法 例：已知，听从线性关系： 问：如何根据这组数据来合理地确定系数和？ 解：总偏差为，确定系数，使总偏差最小。这种确定系数的方法叫做最小二乘法。令，即可解得。 几个疑问：1假如怎么办？2这样求出的就是到达微小值的点？ 3在选取 时，为什么不取各个偏差的代数和作为总偏差？ 例：已知，现测得一组数据，利用最小二乘法，求系数所满意的三元一次方程组。 2 条件极值 一 何谓条件极值 在探讨极值问题时，往往会遇到这样一种情形，就是函数的自变量要受到某些条件的限制。确定一给定点到一曲
37、面的最短距离问题，就是这种情形。我们知道点到点的距离为。如今的问题是要求出曲面上的点使F为最小。即，问题归化为求函数在条件下的最小值问题。 又如在总和为C的几个正数的数组中，求一数组，使函数值为最小，这是在条件的限制下，求函数的微小值问题。这类问题叫做条件极值问题。 二 条件极值的必要条件 为了便利起见，同时又不不失一般性，我们仅探讨以下情形。 前提：设函数具有对各个变元的连续偏导数，而这些变元之间又受到以下条件的限制： 其中和都具有对各个变元的连续偏导数，并且它们的行列式。 目标：我们要求函数在限制条件下的极值的必要条件。 定理1限制极值的必要条件在限制条件下于点取得极值，那么必存在常数，使得在该点有： 称，是乘数待定乘数。 这一结果可推广到元函数。 三 条件极值的求法 在具体解题时，例如在限制条件下求的极值，可如下进行： 1引入函数函数：。 2求的极值视为独立变量：由，。 解得可能的极值点