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1、 1 北京邮电大学 2015-2016 学年第一学期 数学分析（上）考试卷 考试注意事项：考生必须将答题内容做在答题纸上，做在试题纸上均无效 一.填空题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）1.设220ac，则20sin(1cos)lim(1)ln(1)xxaxbxc edx ;2.0201|sin|arctanlimxxtdttx_;3.设函数3211txeydtt的反函数为()xg y，则(0)g _;4.设函数()yy x 由参数方程20ln(1)costxtyu du 确定，则 220td ydx .5.曲线1xyxe的斜渐近线方程为 _ ；6.sinsincosxdx
2、xx_;7.32420sin(|sin|)cos2xx dxxsin x .8.设()f x连续，满足0()2()21xf xf t dtx，则 10()f x dx _;9.2lnexdxx .2 10.设211()23xxyexe 是 二 阶 常 系 数 非 线 性 微 分 方 程xyaybyce的一个特解，则：_.()3,2,1A abc ；()3,2,1B abc ()3,2,1C abc；()3,2,1D abc。二（9 分）.求函数arctan(1)xyxe的单调区间、极值；函数图形的拐点。三（每小题 6 分，共 12 分）.（1）设函数()yy x由方程211ln(1)ytedt
3、x确定，求220 xd ydx；（2）设()f x连续且(0)0f，求12000()lim()xxxf xt dtt f xt dt。四.(8 分).求出两个多项式()P x、()Q x，使得 432(21)cos(831)sin()cos()sinxxxxxx dxP xxQ xxC其中C为任意常数。五.(8 分).设()f x，()g x在0,1上有一阶连续导数，(0)0f，()0fx，()0g x，证明：对 0,1a，100()()()()()(1)afx g x dxf x g x dxf a g。六.(9 分).求微分方程22sinyyyx 的通解。3 七.(8 分).已知曲线xye
4、 及其过原点的切线 L、y轴所围图形为 D，求(1)切线 L 的方程，图形 D 的面积；(2)图形 D 绕直线1x 旋转一周所得旋转体的体积。八.（6 分）.设,上连续函数()f x是周期函数，周期为T，且()0f x，证明：00()()limxTxf t dtf t dtxT。九.附加题（6 分）.设()f x在0,1上二阶连续可导，且(0)(1)ff，证明：存在 0,1，使得 1011()(0)(1)()224f x dxfff。4 北京邮电大学 2015-2016 学年第一学期 数学分析（上）考试卷参考答案 考试注意事项：学生必须将答题内容做在答题纸上，做在试题纸上均无效 一.填空题（本
5、大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）1.设220ac，则20sin(1cos)lim(1)ln(1)xxaxbxc edx ;填：ac 2.0201|sin|arctanlimxxtdttx_;填：4 3.设函数3211txeydtt的反函数为()xg y，则(0)g _;填：23e 4.设函数()yy x 由参数方程20ln(1)costxtyu du 确定，则 220td ydx .填：1 5.曲线1xyxe的斜渐近线方程为 _ ；填：1yx 6.sinsincosxdxxx_;填：1(ln|sincos|)2xxxC 5 7.32420sin(|sin|)cos2xx dx
6、xsin x .填：4 8.设()f x连续，满足0()2()21xf xf t dtx，则 10()f x dx _;填：2e 9.2lnexdxx .填：2e 10.设211()23xxyexe 是 二 阶 常 系 数 非 线 性 微 分 方 程xyaybyce的一个特解，则：_.()3,2,1A abc ；()3,2,1B abc ()3,2,1C abc；()3,2,1D abc。填：(A)二（9 分）.求函数arctan(1)xyxe的单调区间、极值；函数图形的拐点。解：arctan2(1)1xxxyex，令0y，1,0 xx (2 分)函数在(,1)，(0,)上单调增加；在(1,0
7、)上单调减少。(4 分)函数在1x 处取极大值42e；函数在0 x 处取极小值-1。(6 分)arctan2231(1)xxyex，令0y，13x ；当13x 时，0y；当13x 时，0y；6 拐点1arctan314(,)33e 。(9 分)三（每小题 6 分，共 12 分）.（1）设函数()yy x由方程211ln(1)ytedtx确定，求220 xd ydx；解：对方程两边求导:2(1)11yeyx ，2(1)11yyex；22(1)(1)2112(1)(1)1yyyeeyyxx (4 分)当0 x 时2y；0 xye，202xyee。(6 分)（2）设()f x连续且(0)0f，求12
8、000()lim()xxxf xt dtt f xt dt。解：原式=0000000()()limlim()()()xxxxxxxxf u duxf u duxu f u duxf u duuf u du (3 分)000()()lim()xxxf u duxf xf u du 0()()lim2()xfxxf xfx，(0 x)(6 分)四.(8 分).求出两个多项式(),()P xQ x，使得 432(21)cos(831)sin()cos()sinxxxxxx dxP xxQ xxC,7 其中C为任意常数。解：左边=42(21)sin(31)sinxxxxxdx (3 分)42(21)s
9、in(31)cos(23)cosxxxxxxxdx 42(21)sin(31)cos(23)sin2sinxxxxxxxxdx 42(21)sin(31)cos(23)sin2cosxxxxxxxxC 24(31)cos(222)sinxxxxxxC 故2()31P xxx，4()222Q xxx。(8 分)解法 2 由432()cos()sin(21)cos(831)sinP xxQ xxxxxxxx得 4()()21P xQ xx，32()()831Q xP xxxx；(4 分)于是2()()31PxP xxx，令2()P xaxbxc，代入得 22231aaxbxcxx，1,3,1abc
10、 ；故2()31P xxx，4()222Q xxx。(8 分)五.(8 分).设()f x，()g x在0,1上有一阶连续导数，(0)0f，()0fx，()0g x，证明：对 0,1a，100()()()()()(1)afx g x dxf x g x dxf a g。证明：令100()()()()()()(1)xF xf t g t dtf t g t dtf x g；（2 分）()F x在0,1上有一阶连续导数，且 8()()()(1)F xfx g xg；(4 分)因为()0fx，()0g x，所以()f x，()g x在0,1上单调增加；0,1x，()(1)g xg，从而()0F x，
11、()F x在0,1上单调减少；对 0,1a，1100()(1)()()()()(1)(1)0F aFf t g t dtf t g t dtfg；即 100()()()()()(1)afx g x dxf x g x dxf a g (8 分)六.(9 分).求微分方程22sinyyyx 的通解。解：对 应 的 齐 次 方 程20yyy 的 特 征 方 程220rr ，121,2rr ，齐次方程的通解212xxyc ec e；（3 分）方程122yyy 的特解形式为*1ya，代入得14a ；（5 分）方程12cos 22yyyx 的特解形式为*2cos 2sin 2yAxBx，代入得(4cos
12、 24 sin 4)(2 sin 22cos 2)2(cos 2sin 2)AxBxAxBxAxBx 1cos 22x；1622AB，260AB；31,4040AB ；*231cos 2sin24040yxx；通解为*21212131cos 2sin244040 xxyyyyc ec exx 。（9 分）七.(8 分).已知曲线xye 及其过原点的切线 L、y轴所围图形为 D，求 9(1)切线 L 的方程，图形 D 的面积；(2)图形 D 绕直线1x 旋转一周所得旋转体的体积。解：(1)设切点 00,xx e 切线方程为000()xxyeexx，因为切线过原点，所以01x 所以切线方程为(1)
13、yee xyex ；(2 分)图形 G 的面积10()12xeeex dx (5 分)(2)对任意,0,1x xdx，2(1)()xdvx eex dx,所求体积102(1)()xvx eex dx 102(1)3xx e dxe 1052(2)|433xx eee （8 分）八.（6 分）.设,上连续函数()f x是周期函数，周期为T，且()0f x，证明：0011lim()()xTxf t dtf t dtxT。证明：对任一正数,x 存在非负整数n，使(1)nTxnT，由()0f x，(1)000()()()nTxnTf t dtf t dtf t dt；(3 分)于是000()(1)()
14、1()(1)TTxnf t dtnf t dtf t dtnTxnT；当x 时，n ，由夹逼性，0011lim()()xTxf t dtf t dtxT （6 分）九.附加题（6 分）.设()f x在0,1上二阶连续可导，且(0)(1)ff，证明：存在 0,1，使得 10 1011()(0)(1)()224f x dxfff 证 明：令0()()xF xf t dt，则()F x在0,1上 三 阶 连 续 可 导 且()()Fxfx，由 Taylor 公式，有 1()11(0)11()(0)(0)222!43!8FFFFF，其中110,2；2()11(1)11()(1)(1)222!43!8FFFFF，其中21,12；（3 分）两式相减得：1211(1)(0)(0)(1)()()248FFFFFF，即 112011()(0)(1)()()248f x dxffff 因为()fx在 12,上连续，所以()fx在 12,上取到最小值 m 与最大值M.于 是121()()2mffM，由 介 值 定 理，存 在 12,0,1，使得121()()()2fff。故有1011()(0)(1)()224f x dxfff (6 分)