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1、自动控制原理四聊城大学汽车与交通工程学院第1页，共53页，编辑于2022年，星期二聊城大学汽车与交通工程学院4-1 根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念根轨迹根轨迹当系统的某个参数（如开环增益当系统的某个参数（如开环增益K）由零变到无）由零变到无穷时，闭环特征根在穷时，闭环特征根在S平面上移动的根轨迹。平面上移动的根轨迹。设控制系统如图示：设控制系统如图示：第2页，共53页，编辑于2022年，星期二聊城大学汽车与交通工程学院第3页，共53页，编辑于2022年，星期二聊城大学汽车与交通工程学院分析分析分析分析:1.k1 1变变化化时时,根根轨轨迹迹均均位位于于左半左半s平面平面,系统恒稳定系统恒稳定
2、.2.2.根根根根轨轨轨轨迹迹迹迹有有有有两两两两条条条条,两两两两个个个个起起起起点点点点 s s1 1=0,=0,s s2 2=2 3.3.0k0k1 111时时时时,闭闭闭闭环环环环特特特特征征征征根根根根为为为为负负负负实根实根实根实根,呈过阻尼状态呈过阻尼状态呈过阻尼状态呈过阻尼状态.第4页，共53页，编辑于2022年，星期二聊城大学汽车与交通工程学院 4.4.KK1 1=1=1时时时时,闭闭闭闭环环环环特特特特征征征征根根根根为为为为一一一一对对对对重重重重根根根根,系统为临界阻尼系统系统为临界阻尼系统系统为临界阻尼系统系统为临界阻尼系统.5.5.1k1k1 1m时时)为为第34页
3、，共53页，编辑于2022年，星期二聊城大学汽车与交通工程学院例例例例 已知与开环传递函数已知与开环传递函数已知与开环传递函数已知与开环传递函数相对应相对应相对应相对应的根轨迹与虚轴的交点的根轨迹与虚轴的交点的根轨迹与虚轴的交点的根轨迹与虚轴的交点，求交点处的临界，求交点处的临界，求交点处的临界，求交点处的临界KK1 1值及第三个特征根。值及第三个特征根。值及第三个特征根。值及第三个特征根。解解解解 系统特征方程为系统特征方程为系统特征方程为系统特征方程为ss33+3s+3s22+2s+K+2s+K1 1=0=0得得得得ss3 3=3 3K K1 1也可以用幅值条件求得。也可以用幅值条件求得。
4、也可以用幅值条件求得。也可以用幅值条件求得。第35页，共53页，编辑于2022年，星期二聊城大学汽车与交通工程学院根轨迹绘制举例根轨迹绘制举例根轨迹绘制举例根轨迹绘制举例【例例例例1 1】已知开环传递函数已知开环传递函数已知开环传递函数已知开环传递函数,试绘制根轨迹。试绘制根轨迹。试绘制根轨迹。试绘制根轨迹。解解解解（1 1）p p1 1=0=0，p p2 2=-3,p=-3,p3,43,4=-1=-1jj，无开环零点。，无开环零点。，无开环零点。，无开环零点。（2 2）根轨迹分支数根轨迹分支数根轨迹分支数根轨迹分支数n=4n=4条。条。条。条。（3 3）在实轴上在实轴上在实轴上在实轴上-3,
5、0-3,0之间为根轨迹段。之间为根轨迹段。之间为根轨迹段。之间为根轨迹段。（4 4）渐近线渐近线渐近线渐近线nnm=4m=4条。条。条。条。第36页，共53页，编辑于2022年，星期二聊城大学汽车与交通工程学院(5)(5)由特征方程求分离点由特征方程求分离点由特征方程求分离点由特征方程求分离点。解得根为解得根为解得根为解得根为s s1 1=-2.3,s=-2.3,s2,32,3=-0.73=-0.73 j0.37j0.37(6)(6)求出射角求出射角求出射角求出射角由对称性知由对称性知由对称性知由对称性知 q q q qp4p4=71.6=71.60 0经验证经验证经验证经验证s s1 1是分
6、离点；分离角为是分离点；分离角为是分离点；分离角为是分离点；分离角为9090第37页，共53页，编辑于2022年，星期二聊城大学汽车与交通工程学院(7)(7)(7)(7)求根轨迹与虚轴的交点。求根轨迹与虚轴的交点。求根轨迹与虚轴的交点。求根轨迹与虚轴的交点。特征方程特征方程特征方程特征方程ss44+5s+5s33+8s+8s22+6s+K+6s+K1 1=0=0s418K1s356s234/5K1s1s0K1 辅辅辅辅助助助助方方方方程程程程 (34/5)s(34/5)s2 2+K+K1 1=0=0,令令令令s=js=j ，KK1 1=8.16=8.16 代代代代入入入入上上上上式式式式，求得
7、求得求得求得 =1.11.1处处处处,对应的对应的对应的对应的KK1 1=8.16=8.16。根轨迹如下图。根轨迹如下图。根轨迹如下图。根轨迹如下图。第38页，共53页，编辑于2022年，星期二聊城大学汽车与交通工程学院-8-6-4-2024-5-4-3-2-1012345 p3 p2 p4 p1 j1.1 k1=8.16 第39页，共53页，编辑于2022年，星期二聊城大学汽车与交通工程学院Matlab根轨迹根轨迹第40页，共53页，编辑于2022年，星期二聊城大学汽车与交通工程学院【例【例2】已知开环传递函数已知开环传递函数已知开环传递函数已知开环传递函数,试绘制根轨迹。试绘制根轨迹。试绘
8、制根轨迹。试绘制根轨迹。解（解（解（解（1 1）p p1 1=0=0，p p2 2=-4,p=-4,p3,43,4=-2=-2jj4 4，无开环零点。，无开环零点。，无开环零点。，无开环零点。（2 2）根轨迹根轨迹根轨迹根轨迹分支数分支数分支数分支数n=4n=4条。条。条。条。（3 3）在实轴在实轴在实轴在实轴上上上上-4,0-4,0之间为之间为之间为之间为根轨迹根轨迹根轨迹根轨迹段。段。段。段。（4 4）渐近线渐近线渐近线渐近线nnm=4m=4条。条。条。条。第41页，共53页，编辑于2022年，星期二聊城大学汽车与交通工程学院(6)(6)求出射角求出射角求出射角求出射角由对称性知由对称性知
9、由对称性知由对称性知 q q q qp4p4=90=900 0(5)(5)求分离点求分离点求分离点求分离点(7)(7)(7)(7)求根轨迹与虚轴的交点求根轨迹与虚轴的交点求根轨迹与虚轴的交点求根轨迹与虚轴的交点第42页，共53页，编辑于2022年，星期二聊城大学汽车与交通工程学院-10-8-6-4-20246-8-6-4-202468 p3 p4 p2 p1 jj 第43页，共53页，编辑于2022年，星期二聊城大学汽车与交通工程学院MatlabMatlab根轨迹根轨迹根轨迹根轨迹第44页，共53页，编辑于2022年，星期二聊城大学汽车与交通工程学院4-3 广义根轨迹广义根轨迹4.3.1.4.
10、3.1.参数根轨迹参数根轨迹1.1.定义定义定义定义 负反馈系统负反馈系统负反馈系统负反馈系统,以非以非以非以非KK1 1为参变量的根轨迹。为参变量的根轨迹。为参变量的根轨迹。为参变量的根轨迹。2.2.绘制方法绘制方法绘制方法绘制方法:引入等效传递函数的概念引入等效传递函数的概念引入等效传递函数的概念引入等效传递函数的概念,则前述规则前述规则前述规则前述规则均适用。则均适用。则均适用。则均适用。KK1 1为参变量为参变量为参变量为参变量a a为参变量为参变量为参变量为参变量第45页，共53页，编辑于2022年，星期二聊城大学汽车与交通工程学院例例例例 试绘制系统以试绘制系统以试绘制系统以试绘制
11、系统以a a 为参变量的根轨迹。为参变量的根轨迹。为参变量的根轨迹。为参变量的根轨迹。解解解解 给定系统的特征方程为给定系统的特征方程为给定系统的特征方程为给定系统的特征方程为或或或或s(s+s(s+a a)+4=0(1)+4=0(1)将式将式将式将式(1)(1)化为如下形式化为如下形式化为如下形式化为如下形式该该该该式式式式的的的的特特特特点点点点是是是是：左左左左边边边边写写写写成成成成两两两两部部部部分分分分之之之之和和和和,参参参参变变变变量量量量a a只只只只包包包包含含含含在在在在第第第第二部分中二部分中二部分中二部分中,而且是这一部分的一个单独因子。而且是这一部分的一个单独因子。
12、而且是这一部分的一个单独因子。而且是这一部分的一个单独因子。第46页，共53页，编辑于2022年，星期二聊城大学汽车与交通工程学院现用第一部分除全式，得现用第一部分除全式，得现用第一部分除全式，得现用第一部分除全式，得等效开环传函等效开环传函等效开环传函等效开环传函绘制绘制绘制绘制a a 从零变化到无穷大时的根轨迹从零变化到无穷大时的根轨迹从零变化到无穷大时的根轨迹从零变化到无穷大时的根轨迹(1)(1)起点起点起点起点pp1,21,2=2j2j；终点终点终点终点zz1 1=0=0(2)(2)在实轴上在实轴上在实轴上在实轴上(-(-,0,0之间为根轨迹段之间为根轨迹段之间为根轨迹段之间为根轨迹段
13、(3)(3)会合点会合点会合点会合点(4)(4)出射角出射角出射角出射角第47页，共53页，编辑于2022年，星期二聊城大学汽车与交通工程学院第48页，共53页，编辑于2022年，星期二聊城大学汽车与交通工程学院4.3.24.3.2零度根轨迹零度根轨迹正反馈正反馈正反馈正反馈情况下情况下情况下情况下:系统特征方程系统特征方程系统特征方程系统特征方程11G(s)H(s)=0G(s)H(s)=0根轨迹方程根轨迹方程根轨迹方程根轨迹方程 G(s)H(s)=1G(s)H(s)=1幅值条件幅值条件幅值条件幅值条件:|G(s)H(s)|=1|G(s)H(s)|=1相角条件相角条件相角条件相角条件:G(s)
14、H(s)=2q,q=0,1,2,G(s)H(s)=2q,q=0,1,2,第49页，共53页，编辑于2022年，星期二聊城大学汽车与交通工程学院规则作相应修改规则作相应修改规则作相应修改规则作相应修改:规则规则3：实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹 在实轴上根轨迹区段的右侧在实轴上根轨迹区段的右侧,开环实零点开环实零点和实极点数目之和为和实极点数目之和为偶偶数数。规则规则4：根轨迹的渐近线根轨迹的渐近线n-m条条渐近线的倾角渐近线的倾角为为:第50页，共53页，编辑于2022年，星期二聊城大学汽车与交通工程学院规则规则规则规则6 6：根轨迹的出射角和入射角根轨迹的出射角和入射角根轨迹的出射角和入射角根
15、轨迹的出射角和入射角出射角出射角入射角入射角第51页，共53页，编辑于2022年，星期二聊城大学汽车与交通工程学院例例图所示正反馈系统的开环传递函数为图所示正反馈系统的开环传递函数为试绘制其零度根轨迹。试绘制其零度根轨迹。解解（1）开开环环极极点点p1=0、p2=-1、p3=-2，有有三三条条根根轨轨迹迹起于开环极点，终点均在无穷远处。起于开环极点，终点均在无穷远处。（2）实轴上区间）实轴上区间-2,-1和和0,为根轨迹段。为根轨迹段。（3 3）渐近线与实轴相交于）渐近线与实轴相交于-1-1点点第52页，共53页，编辑于2022年，星期二聊城大学汽车与交通工程学院（4 4）分离点的求法与负反馈
16、）分离点的求法与负反馈情况完全一样。在之前例题已情况完全一样。在之前例题已解出两个分离点：解出两个分离点：s s1 1=-0.423=-0.423、s s2 2=-1.577,=-1.577,并且已确定并且已确定-0.423-0.423是负反馈情况下的分离点，是负反馈情况下的分离点，这里可以确定这里可以确定-1.577-1.577是正反是正反馈情况下的分离点。完整的根轨迹如图所示。馈情况下的分离点。完整的根轨迹如图所示。由可以看出，该系统在正反馈情况下总存在一个正实根，因由可以看出，该系统在正反馈情况下总存在一个正实根，因而该系统在正反馈情况下是不可能稳定的。而该系统在正反馈情况下是不可能稳定的。第53页，共53页，编辑于2022年，星期二