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1、3.4 基本不等式20022002年国际数学家大会会标年国际数学家大会会标 情境导入情境导入ICM2002会标会标赵赵爽：弦图爽：弦图ICM2002问题1：同学们能从会标中抽象出什么样的几何图形？赵赵爽：弦图爽：弦图变化的弦图变化的弦图得当正方形EFGH缩为一个点，即a=b时，这时有 观察发现观察发现证明：（作差比较法）证明：（作差比较法）形数几何解释几何解释代数证明代数证明问题问题5：当 时，能用 、分别代替 中的 、吗？会得到什么结果？那么a2+b22 a b那么那么a+b 2（当且仅当a=b时，取“=”号）若aR,bR若若a0 b0 深入探究：深入探究：形数几何解释几何解释代数证明代数证
2、明问题6：替换得到的不等式一定成立吗？能否利用不等式的性质进行证明？显然（*）是成立的。当且仅当a=b时，（*）中的等号成立。证明：要证 只要证 只要证 求证：代数证明代数证明形数代数证明代数证明几何解释几何解释 时等号成立结论：一般写作：算术平均数几何平均数文字表述：两个正数的算术平均数 不小于几何平均数。基本不等式基本不等式 我们可以通过弦 图给以几何解释，那么 也能有它合理的几何解释吗？同学们试着从下图中去发现！问题7：动态演示设AC=a，BC=b代数证明代数证明形数代数证明代数证明几何解释几何解释 时等号成立几何解释几何解释 时等号成立解：（解：（1）设矩形菜园的长为）设矩形菜园的长为
3、x m，宽为宽为y m，等号当且仅当等号当且仅当x=y时成立，此时时成立，此时x=y=10.因此，这个矩形的长、宽都为因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是最短的篱笆是40m.则面积为则面积为xy=100 m，篱笆的长为，篱笆的长为2（x+y）m.2 （1）用篱笆围一个面积为100 m 的矩形菜园，如何设计篱笆的长和宽，能使所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？2 知识应用知识应用（2）一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，如何设计篱笆的长和宽，菜园的面积最大？最大面积是多少?解：设矩形菜园的长为x m,宽为y m,当且仅当x=y,即x=9，y=9时等号成立。则2(x+y)=36,x+y=18,矩形菜园的面积为xy m.2 2 因此，这个矩形的长、宽为都9m时，菜园的面积最大，最大面积是81m 21、本节课你学到了哪些数学知识和数学方法？、本节课你学到了哪些数学知识和数学方法？2、本节课你能感受到哪些数学思想？、本节课你能感受到哪些数学思想？课堂小结课堂小结