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1、自动控制理论第版夏德钤翁贻方第三章线性系统的时域分析 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life, there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望典型的输入信号常用的典型输入信号有以下种.阶跃函数)(tr，t0 A，t0sAsR)(A=1时，为单位阶跃函数典型的输入信号斜坡函数)(tr，t0At，t02)(sAsRA=1时，为单位斜坡函数。斜坡函数对时间的导数就是阶跃函数。典型的输入信号3.加速度函数)(tr，t0 A，t02t32)(sAsR21A时，称为单位抛物线函数，这时在分析随动系统时常用斜坡函数和
2、加速度函数。31)(ssR典型的输入信号.脉冲函数)(tr0,At)0(t当时，令得单位脉冲函数，的面积等于，即有的积分就是单位阶跃函数 的拉氏变换为1。0)(t)(t 1)(dtt)(t)(t典型的输入信号正弦函数tAtrsin)(系统对不同频率的正弦输入的稳态响应称为频率响应，在第五章将专门讨论，这一章仅讨论系统对非周期信号的响应，也就是时域响应。一阶系统的时域响应一阶系统的框图如下系统的传函为11)()(ssRsC分析系统在零初始条件下对典型输入信号的响应一阶系统的时域响应01)(11) 1(1)(1)(tetcsssssCssRt，单位阶跃响应一阶系统的单位阶跃响应是一条指数曲线，它的
3、特点是：（）在t=0处，曲线的斜率为 。（）t=时，曲线上升到稳态值的63.2%。（）t=时，输出达稳态值的95%， 。可见一阶系统的时间常数反映了系统的响应速度，响应快。13%984时，1当系统的输出达到稳态值的95%或98%时，我们认为系统已达到稳态，系统达到稳态的时间称为系统的响应时间，对于一阶系统，响应时间为。)43(一阶系统的时域响应单位斜坡响应0)1 ()(,11111)(,1)(2222tetettcssssssCssRtt，输出与输入的误差为0),1 ()()()(tetctrtet当时，t)(te越小，系统跟踪斜坡输入信号的稳态误差也越小。一阶系统的时域响应单位脉冲响应01)
4、(11)(1)(tetcssCsRt，也可直接由单位阶跃响应的求导得出上式结果一阶系统的特征可用一个参量时间常数来表示一阶系统的时域响应响应时间为（）t=0时，单位阶跃响应的变化率为t=0时，单位脉冲响应的幅值为单位斜坡响应的稳态误差为一阶系统的单位脉冲响应，单位阶跃响应和斜坡响应可以看出，系统对某信号导数的响应，等于对该输入信号响应的导数反之，系统对某信号积分的响应，等于系统对该信号响应的积分。这是线性定常系统不同于线性时变系统和非线性系统的重要特性。11二阶系统的时域响应在分析和设计系统时，二阶系统的响应特性常被视为一种基准，虽然实际中的系统不尽是二阶系统，但高阶系统常可以用二阶系统近似。
5、因此对二阶系统的响应进行重点讨论。21221)()(kksskksRsC212211kksskk二阶系统的时域响应令则,21,221nnkk2222)()(nnnsssRsC上式为典型二阶系统的传递函数。阻尼比或衰减系数无阻尼自然震荡角频率由系统的特征方程不难求出闭环系统的极点为nnss)1()1(2221n二阶系统的时域响应一二阶系统的单位阶跃响应一二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的响应分三种情况讨论过阻尼的情况闭环极点为）（1nnss)1()1(2221是小于零的两个实根21,1ss，二阶系统的时域响应系统的单位阶跃响应可求得如下：22110212222)()2()(ssAssAsAssss
6、sssssCnnnn按不同极点的情况求系数210,AAA)1(121)()()1(121)()(1)(222222110021ssssssssCAsssCAssCA二阶系统的时域响应求拉氏反变换，得 0,111211)(2)1(2)1(222teetcttnn可见，单位阶跃响应由稳态分量和暂态分量两部分组成，而暂态分量包含两项衰减的指数项比较两项的衰减指数，当 时，后一项的衰减指数远大于前一项，就是后一项衰减得很快，只在响应的初期有影响。所以对过阻尼二阶系统，当时，可以近似为一阶系统，将后一项忽略。得到近似传递函数：222211)()(sssssRsCnnnn二阶系统的时域响应近似传函与原传函
7、的初始值和终值保持不变。01)()1(2tetctn，系统的响应时间为）达到%95()1(32n相当于惯性时间常数n)1(12在工程上，当时，使用上述近似关系已有足够的准确度了5 . 1此时系统的单位阶跃响应为：二阶系统的时域响应欠阻尼的情况系统的闭环极点为10nnjsjs)1()1(2221是一对共轭复数极点，因为实部极点为负所以位于左半平面。单位阶跃输入时，输出的拉氏变换为：),(n)1)(1()(222nnnnnjsjsssC 二阶系统的时域响应查拉氏变换表，可求得：0),1arctan1sin(111)(222ttetcntn欠阻尼时，系统的阶跃响应 的第一项是稳态分量，第二项是振幅按
8、指数规律衰减的阻尼正弦振荡，其振荡频率为)(tc21ndd称为阻尼自然振荡频率。响应为时，可得系统的无阻尼当0ttcncos1)(是无阻尼等幅振荡，为系统的无阻尼自然频率。越小。的范围在越大的总是小于dnd),10( ,n.临界阻尼的情况) 1(1当时，闭环极点为：ns2, 1单位阶跃响应的拉氏变换为22)()(nnsssc求其拉氏反变换，得0)1 (1)(ttetcntn，此时二阶系统的单位阶跃响应为单调上升曲线。二阶系统有两个参数和，阻尼比是二阶系统的重要特征参数，不同阻尼比的二阶系统的阶跃响应有很大区别。n二阶系统的时域响应二阶系统的时域响应取横坐标为，不同阻尼比值下的二阶系统单位阶跃响
9、应曲线族如图所示：tn从图可见：（）越小，振荡越厉害，当增大到以后，曲线变为单调上升。（）之间时，欠阻尼系统比临界阻尼系统更快达到稳态值。（）在无振荡时，临界阻尼系统具有最快的响应。（）过阻尼系统过渡过程时间长。8 . 05 . 0二阶系统的时域响应响应二二阶系统暂态响应的性能指标二二阶系统暂态响应的性能指标二阶系统的特征参量阻尼比和无阻尼自然振荡角频率对系统的响应具有决定性的影响。现在针对阻尼的情况，讨论暂态响应指标与特征参量的关系。欠阻尼时，二阶系统的单位阶跃响应为n) 10(0),1arctan1sin(11)(222ttetcntn（）（）1.上升时间在暂态过程中，第一次达到稳态值的时
10、间在（）式中令c(t)=1，可得rt0)1arctan1sin(1222tentn故只有时，, 0rntrett0)1arctan1sin(22tn.2 , 1 , 0,1arctan122nntrn则必有二阶系统的时域响应响应因为上升时间是第一次达到稳态值的时间，故取n=1,于是)1arctan(111arctan222dnrt峰值时间响应由零上升到第一个峰值所需的时间pt对（）求一阶系数，并令其为零，得0)sin(1)cos(1)(22pdtnpdtdtttetedttdcnnp二阶系统的时域响应响应移项并约去公因子后得21)tan(ndpdt到达第一个峰值时，从而得pdt21ndptpn
11、pntt一定时，一定时，二阶系统的时域响应响应3最大超调量pM最大超调量发生在时刻，将代入（）式，便得ptt ptt %10021eMp从上式可见，完全由决定，pMpM01%1000ppMM，调整时间st)(tc与稳态值之间的差值达到允许范围（取或）时的暂态过程时间)(c)02. 0(05. 0)sin(11)()(2或tetccedtn满足上式的值有多个，按定义，其中最小的值是调整时间stst为简单起见，采用近似的计算方法，认为指数项衰减到0.05或0.02时，暂态过程结束，因此忽略正弦函数的影响，得到二阶系统的时域响应响应)02.0(05.0112或tne由此可求得nnsnnstt4)1l
12、n(2141%)2(3)1ln(2131%)5(229 . 00st近似与成反比n在设计系统时，通常由要求的决定，所以由所决定pMstn二阶系统的时域响应响应结论：（）根据值的大小可以间接判断一个二阶系统的暂态特性 ，单位阶跃响应为单调曲线，没有超调和振荡，但调整时间较长，系统反应迟缓 ，响应为单调曲线，调整时间比的情况短 ，输出为等幅振荡，系统不能稳定工作。a.一般希望二阶系统工作在欠阻尼状态下，但不能过小，否则大，多，长，为了限制超调量，应在0.40.8之间，这时超调量将在25%2.5%之间 101110pMst二阶系统的时域响应响应因为只和有关，常根据允许的来选择pMpM（）以闭环极点在
13、平面上的位置可以大致估计和的大小 与闭环极点，到实轴的距离成反比 可近似地认为与闭环极点到虚轴的距离成反比a.在一定时，可通过改变来改变，越大，越短stptpt21nst21nstnnst二阶系统的时域响应响应例：已知单位反馈系统的开环传递函数为)2(4)(sssG确定系统的和，并求最大超调量和调整时间npMst解：因为可得steMsssssGnspnnnn33%)5(%3.16%1005.02224)2(4)2()(212，二阶系统的时域响应响应三二阶系统的脉冲响应三二阶系统的脉冲响应2222)(nnnsssc通过对单位阶跃响应求导可得到单位脉冲响应时1001sin1)(22ttetcntn
14、n，10)(2ttetctnn，101212)()1(2)1(222teetctntnnn，二阶系统的时域响应响应临界阻尼和过阻尼情况，单位脉冲响应总是大于，系统的单位阶跃响应是单调曲线欠阻尼时，响应曲线围绕零值衰减振荡根据单位阶跃响应与单位脉冲响应之间的关系，单位脉冲响应以一段曲线下所包围的面积等于，曲线与t 轴所包围面积的总和（或数和）为ptt0pM1高阶系统的时域响应凡是用高阶微分方程描述的系统，称为高阶系统。高阶系统的闭环传函分母中s的最高幕次n2.高阶系统闭环传函的一般形式为qirknknkkimjjnnnnmmmmsspszsKsRsCasasasabsbsbsbsRsC11221
15、11101110)2()()()()()()(或为共轭复数极点对数实数极点个数，rqrqn2高阶系统的时域响应系统的单位阶跃响应为0)1cos(1)(121tteDeAtcrkkknktkqitpinkki，数。是由零、极点确定的常式中knkiDA,从上式可见，高阶系统的单位阶跃响应由稳态分量和暂态分量两个部分组成。而暂态分量又是由一阶惯性环节和二阶振荡环节的响应分量的合成.高阶系统暂态响应各分量的衰减快慢由指数衰减系数决定。系统极点在左半平面离虚轴越远，响应的分量衰减得越快。高阶系统的时域响应.各暂态分量的系数还和零点的位置有关。若一对零、极点很靠近，则该极点对暂态响应的影响很小（此时对应的
16、系数很小）。若某个极点附近没有零点，且距离原点较近，则就大，对暂态分量的影响就大。由于以上两点，对于系数很小的分量和衰减很快的分量常常忽略，用低阶系统的响应去近似高阶系统的响应。这就是合理的简化，既不改变问题的性质，又使处理过程简单。iAiAiA高阶系统的时域响应.如果高阶系统中距虚轴最近的极点，其实部比其他极点实部的五分之一还要小，并且附近不存在零点可以认为系统的响应主要由该极点决定这些对系统响应起主导作用的闭环极点，称为系统的主导极点如果找到一对共轭复数主导极点，高阶系统就可近似地作为二阶系统分析。线性系统的稳定性一稳定的基本概念一稳定的基本概念一个线性系统正常工作的首要条件是系统必须保持
17、稳定这向我们提出两个问题：什么样的系统是稳定的；线性系统稳定的充分必要条件是什么一个控制系统，如果在扰动的作用下，偏离了原有的平衡状态，而当扰动消失后，又能回到原来的平衡状态，则该系统为稳定系统；反之，当扰动消失后，系统不能回到原有的平衡状态，或偏离量随时间增长而增长，则该系统为不稳定系统在实际使用中，系统总要受到各种扰动的作用，显然不稳定系统就无法工作线性系统的稳定性高阶系统的单位阶跃响应为rkkknktkqitpiteDeAtcnkki121)1cos(1)(如果系统稳定，其暂态分量的各个项随着时间的增长应很快趋近于，从上式看：指数项的系数应为负值，就是说实数极点应位于负实轴上；振荡衰减项
18、的指数部分应为负值，也就是说共轭复数极点的实部应为负，即共轭复数极点位于左半平面；系统中只要有一个极点位于右半平面，或虚轴上，暂态分量就是发散的或不衰减的，系统就不稳定iPnkk由此可得到线性系统稳定的充分必要条件系统特征方程的所有根（系统的所有闭环极点），均位于左半平面线性系统的稳定性二劳斯稳定判据二劳斯稳定判据线性系统的稳定与否，取决于特征根的实部是否均为负值（左半平面）但是求解高阶系统的特征方程是相当困难的而劳斯判据，避免解特征方程，只需对特征方程的系数进行代数运算，就可以判断系统的稳定性，因此这种数据又称为代数稳定判据劳斯判据将系统的特征方程写成如下标准形式0121110nnnnnas
19、asasasa线性系统的稳定性并将各系数排列成劳斯表.170613150412130211aaaaabaaaaabaaaaab线性系统的稳定性表中的有关系数为一直进行到求得的b值全部等于零为止。线性系统的稳定性这一计算过程一直进行到与对应的一行为止。为了简化数值运算，可以用一个正整数去除或乘某一行的各项，并不改变结论的性质。.141713131512121311bbaabbbbaabcbbaabc0S 劳斯判据：系统极点实部为正实数根的劳斯判据：系统极点实部为正实数根的数目等于劳斯表中第一列的系数符号改变的数目等于劳斯表中第一列的系数符号改变的次数。系统极点全部在复平面的左半平面的次数。系统极
20、点全部在复平面的左半平面的充分必要条件是方程的各项系数全部为正值，充分必要条件是方程的各项系数全部为正值，并且劳斯表的第一列都具有正号。并且劳斯表的第一列都具有正号。线性系统的稳定性KsssKKsssKsRsC56)5(1)()(2305623Ksss例3-2 设反馈控制系统如图 所示，求满足稳定要求时K的临界值。解：闭环传函系统的特征方程为列出劳斯表根据劳斯判据，要使系统稳定，其第一列均为正数，即K0，30-K0 0K30得到满足稳定的临界值30CK线性系统的稳定性（1）若得 负值 ，应将结果改 假定我们不取K为负值。（2）实际上要求系统工作在K小于临界值的状态，当K=临界值时，系统的单位阶
21、跃响应是等幅振荡，相当于有一对共轭负数极点位于虚轴上。显然不能正常工作。CK CK 02 .劳斯判据的两种特殊情况（1）某行第一列的系数为零，该行其余各项中某些项不等于零。在这种情况下，可以用一个很小的正数 来代替零值项，然后按通常的方法计算劳斯表中其余各项。如果 上面一行的系数符号与 下面一行的系数符号相反，表明有一个符号变化。线性系统的稳定性例3-3 特征方程为0122234ssss劳斯表为考察第一列各项系数。当时，是一个很大的负数因此第一列各项数值的符号改变了两次。按劳斯判据，该系统有两个极点具有正实部，系统是不稳定的022 线性系统的稳定性（）某行所有系数均为零的情况如果出现这种情况，
22、则表明在平面中有对称于原点的实根，或共轭虚根存在。可用下述方法处理第一步：取元素全为零的前一行，以其系数组成辅助方程，式中的均为偶次（根是对称出现的）第二步：求辅助方程对的导数，以其系数代替全为零值的一行，第三步：用通常的方法继续求下面各行的系数，并判断稳定性第四步：解辅导方程，得各对称根线性系统的稳定性例已知系统特征方程，判断稳定性01616201282)(23456sssssssD劳斯表为行的各项组成辅助方程将4sssdssdAsssA124)(86)(324将辅助方程求导后的系数作为行的元素，并往下计算各行，得：3s线性系统的稳定性劳斯表的第一列各项符号没有改变，因此系统在右半平面没有极
23、点但由于行的各项为零，说明有共轭虚数极点。可由辅助方程求出。解3s220864, 32, 124jsjsss，得线性系统的稳定性小结：系统稳定的充要条件是系统的特征根位于左半平面劳斯判据不仅可判定系统的稳定性，还可给出使系统稳定的某一参数的范围。劳斯判据没有也不能说明为避免系统不稳定，应该争取的校正途径系统的稳态误差分析我们曾经规定了系统暂态响应性能指标现在要讨论系统跟踪输入信号的精确度或抑制干扰信号的能力稳态误差：一个稳定系统经过足够长的时间后其暂态响应已衰减到微不足道，稳态响应的期望值与实际值之间的误差我们不考虑由于元件的不灵敏，零点漂移和老化所造成的永久性误差稳态误差只与输入信号的形式和
24、系统结构参量有关线性系统的稳定性型系统型型分别称为节个数开环传函中串联积分环系统的时间常数，系统的总开环增益OvvTK, 2 , 1 , 0) 1() 1() 1() 1)(1() 1() 1)(1()()(112121vnjjvmiivnvmsTssksTsTsTsssksHsG一、控制系统的类型一、控制系统的类型对控制系统按照跟踪阶跃输入信号，斜坡输入信号和抛物线输入信号的能力进行分类设系统的开环传函为线性系统的稳定性二、误差传递函数、单位反馈系统的误差传递函数闭：)()(11)()(1)()()()()(sRsGsRsGsGsRsCsRsE)(1)()()(sGsGsRsC)(11)()
25、(sGsRsE)(1)(lim)(lim)(limsGsRssSEteesstsr误差信号定义为单位反馈系统的误差传递函数系统对输入信号的稳态误差可由终值定理求得，为：线性系统的稳定性例一阶系统TsTsTssRsE1111)()(a)(b)TsTsTssessRsTsTssessRssrssr202011lim1)(011lim1)(，线性系统的稳定性例二阶系统222)2()()(nnnsssssRsE(a)(b)nnnnssrnnnssrssssssessRssssssessR212)2(lim1)(012)2(lim1)(22202220，这两个都是型系统（ =1），对阶跃输入的稳态误差为
26、，对斜坡输入的稳态误差为一个常数。v线性系统的稳定性扰动误差传递函数干扰误差传函的形式随干扰信号源在系统中作用点的改变而不同，现只说明一种情形，根据同样方法可以推出其他情形的扰动误差传函。)()(1)()()(212sGsGsGsNsC令，得等效框图0)(sR线性系统的稳定性扰动稳态误差)()()(1)(1lim2120sNsGsGsGsessn)()(1)()()(212sGsGsGsNsEn扰动误差传函而在时，0)(sR)()(sCsEn线性系统的稳定性三静态误差系数三静态误差系数静态位置误差系数静态位置误差系数在单位阶跃信号作用下，系统的稳态误差pK)0()0(111)()(1lim0H
27、GssHsGsessr令)0()0()()(lim0HGsHsGKsp为静态位置误差系数，则稳态误差终值为psrKe11线性系统的稳定性a.型系统KeKsTsKKsrnjjmiisp11)1()1(lim110b.型、型系统0)1()1(lim110srvnjjvmiispesTssKK21或v线性系统的稳定性结论结论： （1）当系统的开环传函中无积分环节时，系统的单位阶跃响应存在稳态误差，欲减小稳态误差，应增大开环增益K。但K的增大受系统稳定性的制约。（2）若要求系统对单位阶跃输入的稳态误差为零，应使系统开环传函中有一个以上的积分环节。也即采用型或型系统。线性系统的稳定性2速度误差系数速度误
28、差系数系统在单位斜坡信号作用下，稳态误差终值为定义为静态速度误差系数，于是稳态误差终值为)()(lim0sHssGKsvvsrKe1)()(1lim1)()(1lim020sHssGssHsGsesssrvK线性系统的稳定性b. 型系统KeKsTssKsKsrnjjmiisv1)1()1(lim1110srnjjmiisvesTsKsK0)1()1(lim110a.型系统线性系统的稳定性结论结论：（）型系统不能跟踪斜坡输入信号（）I型系统能跟踪斜坡输入信号，但存在稳态误差（）要使斜坡响应的稳态误差为零，需选用II型系统0)1()1(lim21210srnjjmiisvesTssKsKc.2型系
29、统线性系统的稳定性定义为静态加速度误差系数，于是稳态误差终值为)()(lim20sHsGsKsvasrKe13加速度误差系数加速度误差系数)()(1lim1)()(1lim2030sHsGsssHsGsesssraK系统在单位抛物线信号作用下，系统的稳态误差终值线性系统的稳定性a.型系统srnjjmiisaesTsKsK0)1()1(lim1120b. 型系统srnjjmiisaesTssKsK0)1()1(lim11120线性系统的稳定性c.2型系统asrnjjmiisaKeKsTssKsK1)1()1(lim212120结论结论：（）型、型系统都不能跟踪抛物线信号（） 型系统能跟踪抛物线信号，但有稳态误差（）为使系统的稳态误差为零，需使系统的积分环节增多。系统的稳定性越来越差。实际上， 型以上的系统是很少见的。线性系统的稳定性例- 设单位反馈系统的开环传函为) 1(10)(sssG221021)( 1)(tAtAtAtr其中均为大于零的常数，求系统给定稳态误差终值 。210,AAAsre线性系统的稳定性解：此为型系统010110)(lim10)(lim)(lim2102102000AAAKAKAKAesGsKssGKsGKavpsrsasvsp