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1、关于计算转动惯量的一些想法 转动惯量是刚体动力学里一个重要的转动惯量是刚体动力学里一个重要的概念，是物体内禀属性的反映。它类似于概念，是物体内禀属性的反映。它类似于牛顿力学当中的质量牛顿力学当中的质量。而且关于转动惯量的一些公式与牛顿而且关于转动惯量的一些公式与牛顿定律中的公式以及其他一些公式很相像。定律中的公式以及其他一些公式很相像。然而，比起质量来说，转动惯量并不然而，比起质量来说，转动惯量并不是那么明显和易于测量，因此计算转动惯是那么明显和易于测量，因此计算转动惯量就显得尤为重要。量就显得尤为重要。关于计算转动惯量的一些想法书中原有内容的简单回顾书中原有内容的简单回顾新的方法（原创）新的
2、方法（原创）总结与反思总结与反思结束放映结束放映书中原有内容回顾书中原有内容回顾转动惯量的定义。(这个是基础)转动惯量的计算。(积分法，几乎是万能的)平行轴定理。(于质心联系，适用广泛)薄面的正交轴定理。标度变换法。(很好的方法，巧妙而简洁)赵老师的书中关于这部分的东西很多，虽然页数较少，赵老师的书中关于这部分的东西很多，虽然页数较少，但是内容丰富，主要有如下几点：但是内容丰富，主要有如下几点：书中内容是根本，望大家好好理解并掌握。书中内容是根本，望大家好好理解并掌握。新的方法新的方法沿轴延伸定理。垂轴延伸定理。壳体定理。关于空心圆柱体转动 惯量公式的解释。这是我在看书上转动惯量部分，参看这是
3、我在看书上转动惯量部分，参看P143 表表4-1时，时，想到的一些东西，而后又做了一些计算和证明，是自己原想到的一些东西，而后又做了一些计算和证明，是自己原创的。我认为对于转动惯量的计算有一定的作用。创的。我认为对于转动惯量的计算有一定的作用。返回返回沿轴延伸定理沿轴延伸定理 公设公设：回顾我们课上讲的杆的转动惯量的计算，如果，我们在原系统的基础上再加上一个一模一样的杆，那这个新系统的转动惯量又是什么呢？是不是两者的叠加（就是原来的二倍，亦即将质量改为原来的两倍）？答案是肯定的。其实我们可以这样想：原来的那个杆不是可以看成是两个杆的“无缝连接”吗？！质量m与转动惯量I是线性关系，完全相同的物体
4、按同种方式转动，如果组合到一起，其转动惯量的无量纲系数k是不变的，只不过是要改变一下质量而已。证明证明：设原物体质量为m，转动惯量为I,则它沿轴延伸为质量为M的物体后，相当于n个原物体的叠加。因此，定理内容定理内容：一物体沿转轴方向延伸，其转动惯量的无量纲一物体沿转轴方向延伸，其转动惯量的无量纲系数系数k不变，只是质量改为延伸后新物体的质量。不变，只是质量改为延伸后新物体的质量。垂轴延伸定理垂轴延伸定理公设：公设：微积分的正确性。平行轴定理。证明：证明：设原物体的质量为m，转动惯量的量纲为ML2,所以设I=kml2,垂轴延伸的距离为R，则：定理内容：定理内容：一物体垂直与转轴方向延伸，延伸长度
5、为一物体垂直与转轴方向延伸，延伸长度为R,新新物体的质量为物体的质量为M，则其转动惯量为，则其转动惯量为kMl2+1/3 MR2。应用举例（一）由沿轴延伸定理和垂轴延伸定理我们可以比较简单的求出立方体沿过中心且与一面垂直的轴转动时的转动惯量。即立方体可以看成杆先垂轴延伸成平方形，再沿轴延伸成立方体。设立方体质量为M，因为杆的转动惯量的无量纲系数k为1/12,所以：返回返回壳体定理（一）壳体定理（一）公设：公设：极限思想、微积分中求积思想的正确性。证明：证明：壳体，即圆与圆盘、圆环与圆柱、圆帽与圆锥等。下面先介绍一下“壳的维数”。这个概念是在几何体维数的基础上发展的，唯一的区别在于如果壳在沿轴方
6、向上是相同的，则维数减一。例如圆环（圆柱的壳）是二维图形，但其壳的维数却是一。而圆帽是二。体实际上是无数个逐渐变小的壳的叠加。设体的质量为M，壳的维数为 ,壳体的共同面（圆盘的原面、圆柱的底、圆锥的底面）的量度为R，设壳体转动惯量的无量纲系数为k，t为体的“积”（面积或体积）的计算公式中的常数，如2 等。则有：壳体定理（二）壳体定理（二）定理内容：定理内容：内容显而易见，如证明中的公式一样，壳体定理只是揭示 了壳与体转动惯量之间的关系。应用举例（二）有了壳体定理，我们可以减少一部分计算，即知道壳或体的转动惯量后，我们经过简单的判断，就可以知道对应的体或壳的转动惯量。例如：薄圆盘所对应的壳圆的转
7、动惯量是mR2（等效为质点来计算）,我们可以由此马上得知薄圆盘的转动惯量为1/2 mR2，因为，壳，圆的维数为1，由壳体定理的公式，简单计算即可求得。类似地，我们可以由圆球壳的转动惯量来推出圆球的；由正方型面的转动惯量来推出正方型框的。返回返回关于空心圆柱体转动关于空心圆柱体转动惯量公式的解释惯量公式的解释 所谓空心圆柱体，即半径为R2的圆柱，其中间为以R1为半径的空心的几何体。书上给出的转动惯量公式为：然而，根据常识和经验判断，明明是少了一块，为什么公式当中反而是加号呢？有人可能会说，计算结果就是这样！不对。我认为物理是联系实际、是应该可以被主观理解的一门科学，所以我对这个公式研究了一番，发
8、现“相减”的想法是正确的。为什么呢？请听我慢慢道来！解释解释续续 我们假设未成空心前的圆柱的质量为M，空心的那一块的质量为m0,那么按照“相减”的想法，则有：由于空心部分和圆柱的密度相同（否则未成空心前的那个几何体就不能称之为圆柱了），所以有：即，即，（1）（2）(1)+(2),得：得：解释解释完结完结而(M-m0)就是空心圆柱体的质量，所以：因此：因此：返回返回总结与反思总结与反思以上的那些定理名字挺大、挺吓人，其实都是我以上的那些定理名字挺大、挺吓人，其实都是我自己起的，没什么东西。自己起的，没什么东西。我到网上查资料时，发现现在都有专门用于计算我到网上查资料时，发现现在都有专门用于计算转动惯量的软件了！我这点东西实在是转动惯量的软件了！我这点东西实在是不过，这些东西虽不怎么样，但都是我认真思考，不过，这些东西虽不怎么样，但都是我认真思考，独立完成的。其原创性毋庸置疑，而且，好像还独立完成的。其原创性毋庸置疑，而且，好像还从来没有人做过。从来没有人做过。生活和生产当中，需要计算转动惯量的东西要复生活和生产当中，需要计算转动惯量的东西要复杂很多，远不是什么规则的单一几何体。但是，杂很多，远不是什么规则的单一几何体。但是，复杂的东西也要从简单的入手，一步一步我们就复杂的东西也要从简单的入手，一步一步我们就会解决问题。会解决问题。