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1、J与质量大小、质量分布、转轴位置有关与质量大小、质量分布、转轴位置有关演示程序：演示程序： 影响刚体转动惯量的因素影响刚体转动惯量的因素2iirmJmrJd2 质量离散分布的刚体质量离散分布的刚体 质量连续分布的刚体质量连续分布的刚体 dm为质量元，简称质元。其计算方法如下：为质量元，简称质元。其计算方法如下：lmdd质量为线分布质量为线分布smdd质量为面分布质量为面分布Vmdd质量为体分布质量为体分布5.3 定轴转动的转动惯量定轴转动的转动惯量例题例题1 求质量为求质量为m，长为，长为l的均匀细棒对下面转轴的均匀细棒对下面转轴的转动惯量：的转动惯量：(1)转轴通过棒的中心并和棒垂直；转轴通
2、过棒的中心并和棒垂直；(2) 转轴通过棒的一端并和棒垂直。转轴通过棒的一端并和棒垂直。OAdxxlmrJd212dd322220lxxmrJll有有ml 将将代入上式，得：代入上式，得：20121mlJ 解：解：(1) 在棒上离轴在棒上离轴x处，取一长度元处，取一长度元dx（如图所（如图所示），如果棒的质量线密度为示），如果棒的质量线密度为 ，则长度元的质，则长度元的质量为量为dm= dx，根据转动惯量计算公式：，根据转动惯量计算公式：（2）当转轴通过棒的一端）当转轴通过棒的一端A并与棒垂直时并与棒垂直时OAldxx222001dd3lJrmxxml例题例题2）半径为）半径为R的质量均匀分布的
3、细圆环，质的质量均匀分布的细圆环，质量均为量均为m，试分别求出对通过质心并与环面垂，试分别求出对通过质心并与环面垂直的转轴的转动惯量。直的转轴的转动惯量。Rdl例题例题3 求质量为求质量为m、半径为、半径为R、厚为、厚为h的均质圆盘的均质圆盘对通过盘心并与盘面垂直的轴的转动惯量。对通过盘心并与盘面垂直的轴的转动惯量。mrJdd2dm为薄圆环的质量。以为薄圆环的质量。以 表示圆盘的质量体密度表示圆盘的质量体密度rrhVmd2dd解：如图所示，将圆盘看成许多薄圆环组成。取解：如图所示，将圆盘看成许多薄圆环组成。取任一半径为任一半径为r，宽度为，宽度为dr的薄圆环，此薄圆环的转的薄圆环，此薄圆环的转
4、动惯量为动惯量为hRrhrJJR40321d2dhRm2代入得代入得221mRJ J与与h无关无关rhrJd2d3一个质量为一个质量为m、半径为、半径为R的实心圆柱体对其中的实心圆柱体对其中心轴的转动惯量也与上述结果相同。心轴的转动惯量也与上述结果相同。例例4）求一质量为）求一质量为m的均匀实心球对其一条直径的均匀实心球对其一条直径为轴的转动惯量。为轴的转动惯量。解：一球绕解：一球绕Z轴旋转，离球轴旋转，离球心心Z高处切一厚为高处切一厚为dz的薄圆的薄圆盘。其半径为盘。其半径为22ZRrdZZRdZrdV)(222dZZRdVdm)(22dZZRdmrdJ2222)(2121其体积：其体积：其
5、质量：其质量：其转动惯量：其转动惯量：YXZORrd ZZdmrdJ2212552158mRR334RmdJJRRdZZR222)(21dZZR222)(21（2 2）薄板的正交轴定理）薄板的正交轴定理 yxzJJJyxzo（1 1）平行轴定理）平行轴定理2mdJJCDdJCJDC常见刚体的转动惯量常见刚体的转动惯量2mrJ 2/2mrJ 2/ )(2221rrmJ2/2mrJ 2/2mrJ 12/2mlJ 5/22mrJ 3/22mrJ 取任一状态取任一状态, ,由转动定律由转动定律JmglMsin21外231mlJ sin23lg例题例题1 1 一长为一长为l, ,质量为质量为m的匀质细杆
6、竖直放置的匀质细杆竖直放置, ,其下端与一固定铰链其下端与一固定铰链o o相连相连, ,并可绕其转动并可绕其转动. .当其当其受到微小扰动时受到微小扰动时, ,细杆将在重力的作用下由静止细杆将在重力的作用下由静止开始绕铰链开始绕铰链o o转动转动. .试计算细杆转到与铅直线呈试计算细杆转到与铅直线呈角时的角加速度和角速度角时的角加速度和角速度. . Po)cos1 (23lg00dsin23dlgsin23 dddd ddlgttdsin23dlg初始条件为：初始条件为： =0， =0 例题例题2 一个质量为一个质量为M，半径为，半径为R的定滑轮（当作均的定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳。绳
7、的一端固定在滑轮边匀圆盘）上面绕有细绳。绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为上，另一端挂一质量为m的物体而下垂。忽略轴处的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体摩擦，求物体m由静止下落由静止下落h高度时的速度和此时高度时的速度和此时滑轮的角速度。滑轮的角速度。 MmgahROT2T1221MRJRT对物体对物体m，由牛顿第二定律，由牛顿第二定律，maTmg滑轮和物体的运动学关系为滑轮和物体的运动学关系为Ra 解：对定滑轮解：对定滑轮M，由转动定律，由转动定律，对于轴对于轴O，有，有物体下落高度物体下落高度h时的速度时的速度Mmmghahv242这时滑轮转动的角速度这时滑轮转动的角速度RMmmgh
8、Rv24gMmma2以上三式联立，可得物体下落的加速度为以上三式联立，可得物体下落的加速度为CmafF圆柱对质心的转动定律：圆柱对质心的转动定律：CJRflF纯滚动条件为：纯滚动条件为：RaC圆柱对质心的转动惯量为：圆柱对质心的转动惯量为：221mRJC例题例题3 一质量为一质量为m、半径为、半径为R的均质圆柱，在水的均质圆柱，在水平外力作用下，在粗糙的水平面上作纯滚动，力平外力作用下，在粗糙的水平面上作纯滚动，力的作用线与圆柱中心轴线的垂直距离为的作用线与圆柱中心轴线的垂直距离为l，如图所，如图所示。求质心的加速度和圆柱所受的静摩擦力。示。求质心的加速度和圆柱所受的静摩擦力。lFac f解：
9、设静摩擦力解：设静摩擦力f的方向如的方向如图所示，则由质心运动方程图所示，则由质心运动方程联立以上四式，解得：联立以上四式，解得：mRlRFaC3)(2FRlRf32由此可见由此可见，静摩擦力向前。，静摩擦力向前。时，时，当当02 fRl，静摩擦力向后；，静摩擦力向后；时，时，当当02 fRl例一静止刚体受到一等于例一静止刚体受到一等于M M0 0（N.m)N.m)的不变力矩的的不变力矩的作用作用, ,同时又引起一阻力矩同时又引起一阻力矩M M1 1， M1M1与刚体转动的与刚体转动的角速度成正比角速度成正比, ,即即| M| M1 1 |= |= a a (Nm),(a(Nm),(a为常数为
10、常数) )。又。又已知刚体对转轴的转动惯量为已知刚体对转轴的转动惯量为J,J,试求刚体角速度试求刚体角速度变化的规律。变化的规律。M+M0M1已知：已知：M0M1= a J |t=0=0求：求： （t）=？解：解： 1）以刚体为研究对象；）以刚体为研究对象；2）分析受力矩）分析受力矩3）建立轴的正方向；）建立轴的正方向；4）列方程：）列方程：JMM10JM+M0M1=a 解：解：4）列方程：）列方程：JMM10JMM10JaM0JaMdtd0JdtaMd0tJdtaMd000JtMaMa)(ln100JateMaM00分离变量：分离变量：例）设一细杆的质量为例）设一细杆的质量为m，长为，长为L
11、，一端支以，一端支以枢轴而能自由旋转，设此杆自水平静止释放。枢轴而能自由旋转，设此杆自水平静止释放。求：求：1 1 ）当杆与铅直方向成）当杆与铅直方向成 角时的角加速度：角时的角加速度：2 2 ）当杆过铅直位置）当杆过铅直位置时的角速度：时的角速度： 3 ) 3 ) 当杆过铅直位置当杆过铅直位置时，轴作用于杆上的力。时，轴作用于杆上的力。已知已知：m，L求求： ， ，N解解：1） 以杆为研究对以杆为研究对象象 受力：受力： mg，N（不产生（不产生对轴的力矩）对轴的力矩）建立建立OXYZ坐标系坐标系 ZNmgYX OLM建立建立OXYZOXYZ坐标系（并以坐标系（并以Z Z轴为转动量的正方向）
12、轴为转动量的正方向）sin2LmgM sin2331sin2LgmLmgJM231mLJ ZmgYX ON) 1 (故取正值。故取正值。Fr沿沿Z轴正向，轴正向，rLg 2/32/00则则 L2） =？dtddddtd)2sin(23LgdLgdcos23两边积分：两边积分：dLgdcos232/00 sin23LgZmgYX ONr dd2） =？3）求）求N=？轴对杆的力，不影响到杆的转动，但影响质轴对杆的力，不影响到杆的转动，但影响质心的运动，故考虑用质心运动定理来解。心的运动，故考虑用质心运动定理来解。ZmgYXONr dLgcos232/00dLgLg23sin23212/02Lg3
13、ZNXNyNNmgCXamgNNYNX3）求）求N=？CamgmNCXXmaNCYYmamgN写成分量式：写成分量式：CYXONCYaCCa求求N，就得求，就得求，即，即C点的点的加速度，现在加速度，现在C点作圆周运动，点作圆周运动，可分为切向加速度和法向加速可分为切向加速度和法向加速度但对一点来说，只有一个加度但对一点来说，只有一个加速度。故这时：速度。故这时：CXaCYa. .实际上正是质心的转动的切向加速度实际上正是质心的转动的切向加速度. .实际上正是质心的转动的法向加速度实际上正是质心的转动的法向加速度RaCX2RaCYLg300sin232LgL232LgL23gZNmgCXaYXONCYaC由角量和线量的关系由角量和线量的关系:CXXmaNCYYmamgNsin23Lg)1 (CXXmaN)2(CYYmamgN0CXa23gaCY代入代入(1)(1)、（、（2 2）式中：）式中：0CXXmaNCYYmamgNjmgN25ZNmgCXaYXONCYaCmggmmg2523