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1、误差理论与测量平差基础误差理论与测量平差基础The theory of errors and adjustment of observationsfoundation学时：学时：64学时学时主讲：主讲：魏峰远魏峰远河南理工大学测量工程系河南理工大学测量工程系2005年年2月月1/13/20231第一章观测误差及其传播本课程的主要任务是讲授测量平差的基本理本课程的主要任务是讲授测量平差的基本理论和基本方法，为进一步学习和研究测量数据处论和基本方法，为进一步学习和研究测量数据处理奠定基础。理奠定基础。授课周数：授课周数：1-14周周周学时周学时：6学时学时总学时总学时：84学时学时最后进行闭卷考试
2、。最后进行闭卷考试。本课程的任务1/13/20232第一章观测误差及其传播本课程的主要内容本课程的主要内容1.误差及误差传播理论（第一章）误差及误差传播理论（第一章）2.平差模型的建立、最小二乘原理（第二章）平差模型的建立、最小二乘原理（第二章）3.测量平差基本方法（第三、四、五章）包括条件平差、测量平差基本方法（第三、四、五章）包括条件平差、间接平差、附有参数的条件平差、附有条件的间接平差、间接平差、附有参数的条件平差、附有条件的间接平差、附有条件的条件平差。介绍平差计算的基本原理和相应附有条件的条件平差。介绍平差计算的基本原理和相应的精度评定方法。的精度评定方法。4、误差椭圆（第六章）、误
3、差椭圆（第六章）5、测量平差的统计假设检验方法（第七章）、测量平差的统计假设检验方法（第七章）6、近代平差理论简介、近代平差理论简介。1/13/20233第一章观测误差及其传播学习本课程必须具备的基本理论知识学习本课程必须具备的基本理论知识高等数学、线性代数、高等数学、线性代数、概率论与数理统计、概率论与数理统计、现代测量学等。现代测量学等。1/13/20234第一章观测误差及其传播参参考考文文献献1.测量平差，测量平差，中国矿业大学出版社中国矿业大学出版社，2005年年2.误差理论与测量平差基础，武汉大学出版社，误差理论与测量平差基础，武汉大学出版社，2003年年3.测量平差基础，测绘出版社
4、，测量平差基础，测绘出版社，1996年年4.测量平差基础，测绘出版社，测量平差基础，测绘出版社，1981年年5.测量平差通用习题集，武汉测绘科技大学出版社，测量平差通用习题集，武汉测绘科技大学出版社，1999。6.观测与最小二乘法，测绘出版社，观测与最小二乘法，测绘出版社，1984。7.ObservationsandLeastSquares,E.M.MIKHAIL,NewYork,1976.8.近代平差理论及其应用，解放军出版社，近代平差理论及其应用，解放军出版社，1992年年1/13/20235第一章观测误差及其传播学学习习方方法法课程特点：课程特点：公式多、计算量大，所需数学知识多，比较枯
5、燥学习方法：学习方法：复习测量学、线性代数、高等数学、概率论及数理统计等课程知识，对本课程的知识要通过预习预习-听课听课-复习复习-完成作业完成作业-编写计算机程序编写计算机程序 等步骤来掌握所等步骤来掌握所学知识。学知识。1/13/20236第一章观测误差及其传播1-1 1-1 概述概述测量平差的基本任务测量平差的基本任务1.处理一系列带有偶然误差的观测值，求出未知量的最可靠值（也称为平差值、最佳估值、估值、最或是值、最或然值等）。2.评定测量成果的精度。本章主要介绍：偶然误差的规律性、衡量精度的指标、协方差传播律、权的定义以及测量中常用的定权方法、协因数传播律等内容。1/13/20237第
6、一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播1-2 1-2 观测误差及其分类观测误差及其分类 在同一量的各观测值之间，或在各观测值与其理论上的应有值之间存在差异的现象，在测量工作中是普遍存在的，这是由于观测值中包含有观测误差的缘故。一、一、一、一、观测误差产生的原因观测误差产生的原因观测误差产生的原因观测误差产生的原因1测量仪器2观测者3外界条件：测量仪器、观测者、外界条件三方面的因素是引起误差的主要来源。通常把这三方面的因素合起来称为观测条件观测条件观测条件观测条件。观测条件好-误差小-观测成果质量高。反之亦然。如果观测条件相同，观测成果的质量也就可以说是相同的。不管观测条件如何，测量中产生误
7、差是不可避免的误差是不可避免的误差是不可避免的误差是不可避免的。1/13/20238第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播1-2 1-2 观测误差及其分类观测误差及其分类二、二、二、二、观测误差的分类观测误差的分类观测误差的分类观测误差的分类根据观测误差对观测结果的影响性质，可将观测误差分为系统误差和偶然误差两种。1.系系系系统统统统误误误误差差差差：在相同的观测条件下作一系列的观测，如果误差在大小、符号上表现出系统性，或者在观测过程中按一定的规律变化，或者为某一常数，那么，这种误差称为系统误差。简言之，符合函数规律的误差称为系统误差。2.偶偶偶偶然然然然误误误误差差差差：在相同的观测条
8、件下作一系列的观测，如果误差在大小和符号上都表现出偶然性，即从单个误差看，该列误差的大小和符号没有规律性，但就大量误差的总体而言，具有一定的统计规律，这种误差称为偶然误差。简言之，符合统计规律的误差称为偶然误差。除了系统误差和偶然误差外，还可能发生错误，又叫粗粗粗粗差差差差。一般来说，错误不算作观测误差。1/13/20239第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播1-2 1-2 观测误差及其分类观测误差及其分类三、误差处理措施三、误差处理措施三、误差处理措施三、误差处理措施 错误的存在不仅大大影响测量成果的可靠性，而且往往造成返工浪费，给工作带来难以估量的损失，必须采取适当的方法和措施，保
9、证观测结果中不存在错误。系统误差对于观测结果的影响一般有累积的作用，它对观测成果的质量影响也特别显著。在实际工作中，应该采用各种方法来消除或减弱系统误差对观测成果的影响，达到实际上可以忽略不计的程度。当观测序列中已经排除了系统误差的影响，或者说系统误差与偶然误差相比已处于次要地位，即该观测序列中主要是存在着偶然误差。对于这样的观测序列，就称为带带带带有有有有偶偶偶偶然然然然误误误误差差差差的的的的观观观观测测测测序序序序列列列列。这样的观测结果和偶然误差便都是一些随机变量，如何处理这些随机变量，是测量平差这一学科所要研究的内容。1/13/202310第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播
10、1-2 1-2 观测误差及其分类观测误差及其分类四、测量平差的任务四、测量平差的任务四、测量平差的任务四、测量平差的任务 由于观测结果不可避免地存在着偶然误差的影响，在实际工作中，为了提高成果的质量防止错误发生，通常要使观测值的个数多于未知量的个数，也就是要进行多余观测多余观测多余观测多余观测。由于偶然误差的存在，通过多余观测必然会发现在观测结果之间不相一致，或不符合应有关系而产生的不符值。因此，必须对这些带有偶然误差的观测值进行处理，消除不符值，得到观测量的最可靠的结果。由于这些带有偶然误差的观测值是一些随机变量，因此，可以根据概率统计的方法来求求求求出出出出观观观观测测测测量量量量的的的的
11、最最最最可可可可靠靠靠靠结结结结果果果果，这就是测量平差的一个主要任务。测量平差的另一个主要任务是评评评评定定定定测测测测量量量量成成成成果的精度。果的精度。果的精度。果的精度。1/13/202311第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播1-31-31-31-3偶然误差的规律性偶然误差的规律性偶然误差的规律性偶然误差的规律性一、真值与真误差一、真值与真误差一、真值与真误差一、真值与真误差1.1.1.1.真值真值真值真值任何一个被观测量，客观上总是存在着一个能代表其真正大小的数值。这一数值就称为该观测量的真值。通常用 表示真值。2.2.2.2.真误差真误差真误差真误差设进行了n次观测，各观
12、测值为L1、L2、Ln，真值为，每一个观测值的真值与观测值之间必存在一个差数，称为真误差，即：(1-3-1），用向量表示：用向量表示：用向量表示：用向量表示：（1-3-2）1/13/202312第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播1-31-31-31-3偶然误差的规律性偶然误差的规律性偶然误差的规律性偶然误差的规律性二、偶然误差的规律特性二、偶然误差的规律特性二、偶然误差的规律特性二、偶然误差的规律特性前面已经指出，就单个偶然误差而言，其大小或符号没有规律性，即呈现出一种偶然性（或随机性）。但就其总体而言，却呈现出一定的统计规律性。并且指出它是服从正态分布的随机变量。人们从无数的测量实
13、践中发现，在相同的观测条件下，大量偶然误差的分布也确实表现出了一定的统计规律性。下面用一个实例来说明。在相同的条件下，独立地观测了358个三角形的全部内角，由于观测值带有偶然误差，故三内角观测值之和不等于其真值180。各个三角形内角和的真误差：将计算的真误差按大小和符号列于下表：将计算的真误差按大小和符号列于下表：将计算的真误差按大小和符号列于下表：将计算的真误差按大小和符号列于下表：1/13/202313第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播1-31-31-31-3偶然误差的规律性偶然误差的规律性偶然误差的规律性偶然误差的规律性，误差的区间 为 负 值 为 正 值备注个数vi频率vi/
14、n个数频率0.00-0.200.20-0.400.40-0.600.60-0.800.80-1.001.00-1.201.20-1.401.40-1.601.60以上4540332317136400.1260.1120.0920.0640.0470.0360.0170.0110.0000.0630.5600.4600.3200.2350.1800.0850.0550.0004641332116135200.1280.1150.0920.0590.0450.0360.0140.0060.0000.0640.5750.4600.2950.2250.1800.0700.0300.000=0.02等
15、于 区间 左 端值 的 误差 算 入该 区 间内。和1810.5051770.4951.在一定的观测条件下，误差的绝对值有一定的限值，或者说，超出一定限值的误差，其出现的概率为零。2.绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大。3.绝对值相等的正负误差出现的概率相同。4.偶然误差的数学期望为零，即：1/13/202314第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播1-31-31-31-3偶然误差的规律性偶然误差的规律性偶然误差的规律性偶然误差的规律性二、偶然误差的表示方法二、偶然误差的表示方法二、偶然误差的表示方法二、偶然误差的表示方法1.表格法：见上页2.直方图：以横坐标表示误差的大小，
16、纵坐标代表各区间内误差出现的频率除以区间的间隔值，每一误差区间上的长方条面积就代表误差出现在该区间内的频率。3.误差分布曲线：在n无限大时，如果把误差区间间隔无限缩小，左图中各长方条顶边所形成的折线将变成右图所示的光滑曲线。这种曲线也就是误差的概率分布曲线，或称为误差分布曲线。1/13/202315第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播1-31-31-31-3偶然误差的规律性偶然误差的规律性偶然误差的规律性偶然误差的规律性三、偶然误差的概率分布密度函数三、偶然误差的概率分布密度函数三、偶然误差的概率分布密度函数三、偶然误差的概率分布密度函数式中 为中误差。当上式中的参数确定后，即可画出它
17、所对应的误差分布曲线。由于 ，所以该曲线是以横坐标为0处的纵轴为对称轴。当 不同时，曲线的位置不变，但分布曲线的形状将发生变化。偶然误差是服从 分布的随机变量。1/13/202316第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播小 结1.观测值都是含有误差的，测量误差分为系统误差和偶然误差，除此之外还有粗差；2.测量平差所处理的观测值是仅含有偶然误差的观测值；3.偶然误差服从正态分布，且具有四个规律特性；4.测量平差的两大任务：求出观测量的最可靠结果求出观测量的最可靠结果求出观测量的最可靠结果求出观测量的最可靠结果，评评评评定测量成果的精度。定测量成果的精度。定测量成果的精度。定测量成果的精度。
18、5.偶然误差的数学期望（真值）为零。1/13/202317第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播预 习1.1.1-4 1-4 精度和衡量精度的指精度和衡量精度的指标标 2.2.1-5 1-5 协协方差方差传传播律及其播律及其应应用用 1/13/202318第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播作 业无1/13/202319第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播上节内容回顾1.观测值都是含有误差的，测量误差分为系统误差和偶然误差，除此之外还有粗差；2.测量平差所处理的观测值是仅含有偶然误差的观测值；3.偶然误差服从正态分布，且具有四个规律特性；4.测量平差的两大任务：求出观测量
19、的最可靠结果求出观测量的最可靠结果求出观测量的最可靠结果求出观测量的最可靠结果，评评评评定测量成果的精度。定测量成果的精度。定测量成果的精度。定测量成果的精度。5.偶然误差的数学期望（真值）为零。1/13/202320第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播一、概述一、概述一、概述一、概述精度的定义精度的定义：精度就是指误差分布的密集或离散的程度。误差分布相同，观测成果的精度相同；反之，若误差分布不同，则精度也就不同。从直方图来看，精度高，则误差分布较为密集，图形在纵轴附近的顶峰则较高，且由长方形所构成的阶梯比较陡峭；精度低，则误差分布较为分散，在纵轴附近顶峰则较低，且其阶梯较为平缓。这个
20、性质同样反映在误差分布曲线的形态上。为了衡量观测值的精度高低，可以按上节的方法，把在一组相同条件下得到的误差，用组成误差分布表、绘制直方图或画出误差分布曲线的方法来比较。在实用上，是用一些数字特征来说明误差分布的密集或离散的程度，称它们为衡量用一些数字特征来说明误差分布的密集或离散的程度，称它们为衡量用一些数字特征来说明误差分布的密集或离散的程度，称它们为衡量用一些数字特征来说明误差分布的密集或离散的程度，称它们为衡量精度的指标。精度的指标。精度的指标。精度的指标。衡量精度的指标有很多种，下面介绍几种常用的精度指标。1-41-41-41-4精度和衡量精度的指标精度和衡量精度的指标精度和衡量精度
21、的指标精度和衡量精度的指标1/13/202321第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播二、衡量精度的指标二、衡量精度的指标二、衡量精度的指标二、衡量精度的指标1.1.方差和中误差方差和中误差方差和中误差方差和中误差 误差误差的概率密度函数为：的概率密度函数为：方差定义：方差定义：就就是是中中中中误误误误差差差差：正正态态分分布布曲曲线线具具有有两两个个拐拐点点，它它们们在在横横轴轴上上的的坐坐标标为为，对对于于偶偶然然误误差差，拐拐点点在在横横轴轴上上，其其大大小小可可以以反反映映精精度度的的高高低低，所所以以常常用用中中误误差作为衡量精度的指标。差作为衡量精度的指标。对于离散型：对于离
22、散型：方差和中误差的估值：方差和中误差的估值：1-41-41-41-4精度和衡量精度的指标精度和衡量精度的指标精度和衡量精度的指标精度和衡量精度的指标1/13/202322第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播二、衡量精度的指标二、衡量精度的指标二、衡量精度的指标二、衡量精度的指标2.2.平均误差平均误差 在一定的观测条件下，一组独立偶然误差绝对值的数学期望称为平平平平均均均均误误误误差差差差。以 表示。平均误差与中误差的关系：所以也可以作为衡量精度的指标。1-41-41-41-4精度和衡量精度的指标精度和衡量精度的指标精度和衡量精度的指标精度和衡量精度的指标1/13/202323第一章
23、第一章观测误差及其传播观测误差及其传播二、衡量精度的指标二、衡量精度的指标二、衡量精度的指标二、衡量精度的指标3.3.3.3.或然误差或然误差或然误差或然误差4.4.随机变量随机变量X X落入区间（落入区间（a,b)a,b)内的概率为：内的概率为：5.5.对于偶然误差，误差对于偶然误差，误差落入区间落入区间(a,b)a,b)的概率为：的概率为：6.6.6.6.或然或然或然或然误误误误差的定差的定差的定差的定义义义义是：是：是：是：误误差出差出现现在在 之之间间的概率等于的概率等于 ，即，即 7.7.称为或然误差称为或然误差称为或然误差称为或然误差8.8.与中误差的关系：与中误差的关系：实用上只
24、能得到的估估估估值值值值：将相同观测条件下得到的一组误差，按绝对值的大小排列，当为奇数时，取位于中间的一个误差值作为，当为偶数时，则取中间两个误差值的平均值作为。在实用上，通常都是先求出中误差的估值，然后关系式求出或然误差。1-41-41-41-4精度和衡量精度的指标精度和衡量精度的指标精度和衡量精度的指标精度和衡量精度的指标1/13/202324第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播二、衡量精度的指标二、衡量精度的指标二、衡量精度的指标二、衡量精度的指标4.4.4.4.极限误差极限误差极限误差极限误差误差落在误差落在误差落在误差落在 、和和和和 的概率分别为：的概率分别为：的概率分别为
25、：的概率分别为：一般以三倍中误差作为偶然误差的极限值一般以三倍中误差作为偶然误差的极限值一般以三倍中误差作为偶然误差的极限值一般以三倍中误差作为偶然误差的极限值 ，并称为，并称为，并称为，并称为极限误差极限误差极限误差极限误差。1-41-41-41-4精度和衡量精度的指标精度和衡量精度的指标精度和衡量精度的指标精度和衡量精度的指标1/13/202325第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播二、衡量精度的指标二、衡量精度的指标二、衡量精度的指标二、衡量精度的指标5.5.5.5.相对误差相对误差相对误差相对误差 对于某些长度元素的观测结果，有时单靠中误差还不能完全表达观测结果的好坏。相相相相
26、对对对对中中中中误误误误差差差差，它是中误差与观测值之比。在测量中一般将分子化为1，用 表示。例1-1 观测了两段距离，分别为1000m2cm和500m2cm。问：这两段距离的真误差是否相等？中误差是否相等？它们的相对精度是否相同？解：这两段距离的真误差不相等。这两段距离中误差是相等，均为2cm。它们的相对精度不相同，前一段距离的相对中误差为2/100000=1/50000，后一段距离的相对中误差为2/50000=1/25000。第一条边精度高。角度元素没有相对精度。1-41-41-41-4精度和衡量精度的指标精度和衡量精度的指标精度和衡量精度的指标精度和衡量精度的指标1/13/202326第
27、一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播协方差传播律是研究函数与自变量之间的协方差运算规律。协方差传播律是研究函数与自变量之间的协方差运算规律。协方差传播律是研究函数与自变量之间的协方差运算规律。协方差传播律是研究函数与自变量之间的协方差运算规律。描述描述描述描述观测值方差观测值方差观测值方差观测值方差与与与与观测值函数方差观测值函数方差观测值函数方差观测值函数方差之间的关系式。之间的关系式。之间的关系式。之间的关系式。例如，图中A和B为已知点，为了确定P的平面坐标，观测了边长s和角度。P点坐标为：式中：现在的问题是在已知观测边长s和角度的方差和协方差条件下，如何计算P点坐标的方差和协方差。
28、1-5 1-5 1-5 1-5 协协协协方差方差方差方差传传传传播律及其播律及其播律及其播律及其应应应应用用用用 1/13/202327第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播一、协方差与相关一、协方差与相关一、协方差与相关一、协方差与相关1协方差协方差是用数学期望来定义的。设有观测值向量X和Y，它们的协方差定义是：2.相关如果协方差为零，表示这两个（或两组）观测值的误差之间是不相关的，并称这些观测值为不相关观测值；如果协方差不为零，则表示它们的误差之间是相关的，称这些观测值是相关观测值。由于在测量上所涉及的观测值和观测误差都是服从正态分布的随机变量，“不相关”与“独立”是等价的，所以把不
29、相关观测值也称为独立观测值，同样把相关观测值也称为不独立观测值。1-5 1-5 1-5 1-5 协协协协方差方差方差方差传传传传播律及其播律及其播律及其播律及其应应应应用用用用 1/13/202328第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播一、协方差与相关一、协方差与相关一、协方差与相关一、协方差与相关3.方差-协方差阵假定有 个不同精度的相关观测值 ，数学期望和方差分别为 和 ，它们两两之间的协方差为 ,用矩阵表示为:为观测值向量的方差-协方差阵，简称为协方差阵协方差阵协方差阵协方差阵。1-5 1-5 1-5 1-5 协协协协方差方差方差方差传传传传播律及其播律及其播律及其播律及其应应应
30、应用用用用 ，1/13/202329第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播一、协方差与相关一、协方差与相关一、协方差与相关一、协方差与相关3.方差-协方差阵设有观测值向量 和 ，它们的数学期望分别为 和 。令：；则 的方差阵为：是X关于Y的互互互互协协协协方差方差方差方差阵阵阵阵。1-5 1-5 1-5 1-5 协协协协方差方差方差方差传传传传播律及其播律及其播律及其播律及其应应应应用用用用 和1/13/202330第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播二、观测值线性函数的方差二、观测值线性函数的方差二、观测值线性函数的方差二、观测值线性函数的方差 设有观测值向量设有观测值向量设有
31、观测值向量设有观测值向量 ，其数学期望为，其数学期望为，其数学期望为，其数学期望为 ，协方差阵为，协方差阵为，协方差阵为，协方差阵为 ,即即即即 又设有的线性函数为：又设有的线性函数为：又设有的线性函数为：又设有的线性函数为：如何求如何求如何求如何求Z Z的方差？的方差？的方差？的方差？1-5 1-5 1-5 1-5 协协协协方差方差方差方差传传传传播律及其播律及其播律及其播律及其应应应应用用用用 1/13/202331第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播二、观测值线性函数的方差二、观测值线性函数的方差二、观测值线性函数的方差二、观测值线性函数的方差令：令：令：令：则则则则对上式两边取
32、数学期望：对上式两边取数学期望：对上式两边取数学期望：对上式两边取数学期望：Z Z Z Z的方差为的方差为的方差为的方差为 协方差传播律协方差传播律协方差传播律协方差传播律1-5 1-5 1-5 1-5 协协协协方差方差方差方差传传传传播律及其播律及其播律及其播律及其应应应应用用用用 1/13/202332第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播二、观测值线性函数的方差二、观测值线性函数的方差二、观测值线性函数的方差二、观测值线性函数的方差 的纯量形式：当向量中的各分量 两两独立时 （中误差传播律）（中误差传播律）（中误差传播律）（中误差传播律）线性函数的协方差传播律叙述为：设有函数：则：
33、1-5 1-5 1-5 1-5 协协协协方差方差方差方差传传传传播律及其播律及其播律及其播律及其应应应应用用用用 1/13/202333第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播二、观测值线性函数的方差二、观测值线性函数的方差二、观测值线性函数的方差二、观测值线性函数的方差例例1-2 1-2 在在1 1：500500的图上，量得某两点间的距离的图上，量得某两点间的距离 =23.4mm,d =23.4mm,d的量的量测中的误差测中的误差 =0.2mm =0.2mm，求该两点实地距离，求该两点实地距离 及中误差及中误差 。解：解：最后写成最后写成:1-5 1-5 1-5 1-5 协协协协方差方差
34、方差方差传传传传播律及其播律及其播律及其播律及其应应应应用用用用 1/13/202334第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播三、多个观测值线性函数的协方差阵三、多个观测值线性函数的协方差阵三、多个观测值线性函数的协方差阵三、多个观测值线性函数的协方差阵设有观测值向量设有观测值向量设有观测值向量设有观测值向量 和和和和 1-5 1-5 1-5 1-5 协协协协方差方差方差方差传传传传播律及其播律及其播律及其播律及其应应应应用用用用 1/13/202335第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播三、多个观测值线性函数的协方差阵三、多个观测值线性函数的协方差阵三、多个观测值线性函数的协方
35、差阵三、多个观测值线性函数的协方差阵若有的若有的若有的若有的X X X X个线性个线性个线性个线性t t t t函数：函数：函数：函数：令：令：令：令：1-5 1-5 1-5 1-5 协协协协方差方差方差方差传传传传播律及其播律及其播律及其播律及其应应应应用用用用 则则则则现求现求现求现求Z Z的协方差阵？的协方差阵？的协方差阵？的协方差阵？1/13/202336第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播三、多个观测值线性函数的协方差阵三、多个观测值线性函数的协方差阵三、多个观测值线性函数的协方差阵三、多个观测值线性函数的协方差阵推导过程：推导过程：推导过程：推导过程：Z Z Z Z的协方差
36、阵：的协方差阵：的协方差阵：的协方差阵：协方差传播律协方差传播律协方差传播律协方差传播律1-5 1-5 1-5 1-5 协协协协方差方差方差方差传传传传播律及其播律及其播律及其播律及其应应应应用用用用 函数：函数的协方差阵：1/13/202337第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播三、多个观测值线性函数的协方差阵三、多个观测值线性函数的协方差阵三、多个观测值线性函数的协方差阵三、多个观测值线性函数的协方差阵 设另有设另有设另有设另有Y Y Y Y的的的的S S S S个线性函数：个线性函数：个线性函数：个线性函数：如果如果如果如果W W W W也是也是也是也是X X X X的函数，同学
37、们考虑公式该是什么样？的函数，同学们考虑公式该是什么样？的函数，同学们考虑公式该是什么样？的函数，同学们考虑公式该是什么样？协方差传播律协方差传播律协方差传播律协方差传播律1-5 1-5 1-5 1-5 协协协协方差方差方差方差传传传传播律及其播律及其播律及其播律及其应应应应用用用用 1/13/202338第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播三、多个观测值线性函数的协方差阵三、多个观测值线性函数的协方差阵三、多个观测值线性函数的协方差阵三、多个观测值线性函数的协方差阵 例例例例1-3 1-3 1-3 1-3 设有函数：设有函数：设有函数：设有函数：的的的的方方方方差差差差阵阵阵阵 ，的
38、的的的方方方方差差差差阵阵阵阵 ，关关关关于于于于的的的的互互互互协协协协方方方方差差差差阵阵阵阵为为为为 ，其中其中其中其中 为常系数阵。且为常系数阵。且为常系数阵。且为常系数阵。且求：求：求：求：、（1）计算 、1-5 1-5 1-5 1-5 协协协协方差方差方差方差传传传传播律及其播律及其播律及其播律及其应应应应用用用用 1/13/202339第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播三、多个观测值线性函数的协方差阵三、多个观测值线性函数的协方差阵三、多个观测值线性函数的协方差阵三、多个观测值线性函数的协方差阵（2 2 2 2）计算）计算）计算）计算（3 3 3 3）计算）计算）计算）
39、计算（4 4 4 4）计算）计算）计算）计算 ，（，（，（，（表示单位阵）表示单位阵）表示单位阵）表示单位阵）1-5 1-5 1-5 1-5 协协协协方差方差方差方差传传传传播律及其播律及其播律及其播律及其应应应应用用用用 1/13/202340第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播三、多个观测值线性函数的协方差阵三、多个观测值线性函数的协方差阵三、多个观测值线性函数的协方差阵三、多个观测值线性函数的协方差阵（5 5 5 5）计算）计算）计算）计算或或或或:1-5 1-5 1-5 1-5 协协协协方差方差方差方差传传传传播律及其播律及其播律及其播律及其应应应应用用用用 1/13/2023
40、41第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播小 结1.精度的概念2.衡量精度的指标：方差和中误差、平均误差、或然误差、极限误差、相对中误差。3.协方差传播律：1/13/202342第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播预 习1.1.1-5 1-5 协协方差方差传传播律及其播律及其应应用用(非非线性函数情况线性函数情况)2.看有关例题1/13/202343第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播作 业1.31/13/202344第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播小 结1.协方差传播律：1/13/202345第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播五、非五、非五、非五、
41、非线线线线性函数的情况性函数的情况性函数的情况性函数的情况1 1 1 1单单单单个非个非个非个非线线线线性函数性函数性函数性函数 设设设设有有有有观测值观测值观测值观测值 的非的非的非的非线线线线性函数性函数性函数性函数 已知的已知的已知的已知的协协协协方差方差方差方差阵阵阵阵 ，求的方差，求的方差，求的方差，求的方差 。为为为为了求非了求非了求非了求非线线线线性函数的方差，只要性函数的方差，只要性函数的方差，只要性函数的方差，只要对对对对它求全微分就可以了。它求全微分就可以了。它求全微分就可以了。它求全微分就可以了。1-5 1-5 1-5 1-5 协协协协方差方差方差方差传传传传播律及其播律
42、及其播律及其播律及其应应应应用用用用 1/13/202346第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播五、非五、非五、非五、非线线线线性函数的情况性函数的情况性函数的情况性函数的情况2 2 2 2多多多多个非个非个非个非线线线线性函数性函数性函数性函数 设设设设有有有有观测值观测值观测值观测值 的的的的多个多个多个多个非非非非线线线线性函数性函数性函数性函数 将函数求全微分得将函数求全微分得将函数求全微分得将函数求全微分得 两组非线性函数时怎么做？两组非线性函数时怎么做？两组非线性函数时怎么做？两组非线性函数时怎么做？1-5 1-5 1-5 1-5 协协协协方差方差方差方差传传传传播律及其播
43、律及其播律及其播律及其应应应应用用用用 1/13/202347第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播例例例例1-4 1-4 1-4 1-4 量得某矩形的长和宽为量得某矩形的长和宽为量得某矩形的长和宽为量得某矩形的长和宽为 和和和和 ，且，且，且，且 ，计算，计算，计算，计算该该该该矩形面积的方差。矩形面积的方差。矩形面积的方差。矩形面积的方差。解：面积：解：面积：解：面积：解：面积：线性化线性化线性化线性化:用协方差传播律得：用协方差传播律得：用协方差传播律得：用协方差传播律得：先取对数然后再全微分能简化计算。先取对数然后再全微分能简化计算。先取对数然后再全微分能简化计算。先取对数然后再
44、全微分能简化计算。对函数式取自然对数：对函数式取自然对数：对函数式取自然对数：对函数式取自然对数：再微分：再微分：再微分：再微分：1-5 1-5 1-5 1-5 协协协协方差方差方差方差传传传传播律及其播律及其播律及其播律及其应应应应用用用用 1/13/202348第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播例例例例1-51-51-51-5 设：，和 的方差为零，的方差为 ，的方差为 ，且计算？解：为什么要除为什么要除为什么要除为什么要除?1-5 1-5 1-5 1-5 协协协协方差方差方差方差传传传传播律及其播律及其播律及其播律及其应应应应用用用用 1/13/202349第一章第一章观测误差
45、及其传播观测误差及其传播 是用于角度与弧度的换算。如果 以弧度为单位，则该项不需要。通常以秒为单位，则 。在测量工作中，常用点点点点位位位位方方方方差差差差来衡量点的精度，点位方差等于该点在两个互相垂直方向上的方差之和，即：通常 称为纵向方差，它是由边长BP方差引起的。在BP边的垂直方向的方差 称为横向方差，它是由边的坐标方位角的方差引起的。点位方差也可由和来计算。即：1-5 1-5 1-5 1-5 协协协协方差方差方差方差传传传传播律及其播律及其播律及其播律及其应应应应用用用用 1/13/202350第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播应用协方差传播律的具体步骤为：应用协方差传播律的
46、具体步骤为：应用协方差传播律的具体步骤为：应用协方差传播律的具体步骤为：1.按要求写出函数式，如：或：2.如果为非线性函数，则对函数式求全微分，得：3.写成矩阵形式：4.应用协方差传播律求方差或协方差阵。1-5 1-5 1-5 1-5 协协协协方差方差方差方差传传传传播律及其播律及其播律及其播律及其应应应应用用用用 1/13/202351第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播例例例例1-61-61-61-6 经个N测站测定两水准点A、B间的高差，其中第i(i=1,2N)站的观测高差为解：A、B两水准点间的高差为：设：各测站观测高差是精度相同的独立观测值，其中误差均为 ，。应用协方差传播律
47、，得设：若水准路线敷设在平坦的地区，前后量测站间的距离s大致相等，设A、B间的距离为S，则测站数N=S/s，代入上式得：如果S=1km，s以km为单位，则一公里的测站数为：而一公里观测高差的中误差即为：所以，距离为S公里的A、B两点的观测高差的中误差为：可见，当各测站高差的观测精度相同时，水准测量高差的中误差与测站数的平方根成正比；当各测站的距离大致相等时，水准测量高差的中误差与距离的平方根成正比。1-5 1-5 1-5 1-5 协协协协方差方差方差方差传传传传播律及其播律及其播律及其播律及其应应应应用用用用 1/13/202352第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播例例例例1-71-
48、71-71-7 设对某量以同精度独立观测了N次，得观测值 ，它们的中误差均等于 。求N个观测值的算术平均值的中误差。解：应用协方差传播律得：即：N个同精度独立观测值的算术平均值的中误差，等于各观测值的中误差除以 。1-5 1-5 1-5 1-5 协协协协方差方差方差方差传传传传播律及其播律及其播律及其播律及其应应应应用用用用 1/13/202353第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播例例例例1-81-81-81-8 一个观测结果同时受到许多独立误差的联合影响。在这种情况下，观测结果的真误差是各个独立误差的代数和，即由于这里的真误差是相互独立的，各种误差的出现都是随机的，因而也可由（1-
49、5-12）并顾及 得出它们之间的方差关系式 即观测结果的方差 ，等于各独立误差所对应的方差之和。1-5 1-5 1-5 1-5 协协协协方差方差方差方差传传传传播律及其播律及其播律及其播律及其应应应应用用用用 1/13/202354第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播协方差传播律小 结1.线性函数：2.2.非线性函数3.只需对函数全微分，然后按协方差传播律计算即可。1/13/202355第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播预 习1.1.1-5 1-5 权与定权的常用方法权与定权的常用方法1/13/202356第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播作 业1.2 1.3 1.
50、4 1.5 1.61/13/202357第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播一、一、一、一、权权权权的定的定的定的定义义义义 1 1.权的定义式权的定义式表示各观测值方差之间比例关系的数字特征称之为权。设有观测值 ，它们的方差为 ，选定任一常 数 ，定义观测值 的权为：由权的定义知，观测值的权与其方差成反比。即方差愈小，其权愈大，或者说，精度愈高，其权愈大。因此，权同样可以作为比较观测值之间的精度高低的一种指标。1-6 1-6 1-6 1-6 权与定权的常用方法权与定权的常用方法权与定权的常用方法权与定权的常用方法 1/13/202358第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播一、