从一则案例谈数学对话教学--基于“对数”的课堂教学案.pdf

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1、高中版高中版2014 年 7 月教材教法案例点评教学从本质上说是“沟通”与“合作”的活动.人类的沟通与合作是以语言为媒介的.课堂教学,不管哪一门学科的教学,大都是将教学内容转化为语言并以此为媒介进行的.其中“对话”是教学活动的重要特点,是优秀教学的一种本质性标识.普通高中数学课程标准(实验)明确要求提高学生“数学表达和交流的能力”.实施新课程以来,课堂“对话教学”得到大力倡导,一线教师纷纷响应、积极尝试.相对于独白式讲授而言,实施对话教学的课堂焕发了活力,彰显了魅力.对话教学既是民主与对话时代在教学领域的必然反映,又体现了教学的理性回归.巴西著名学者弗莱雷曾说过:“没有了对话,就没有了交流;没

2、有了交流,也就没有了真正的教育.”近期,笔者观摩了江苏省高中数学优秀课评比现场赛课活动.由一等奖获得者、南师附中张萍老师执教的“对数”一课以平等的师生关系让学生在“对话”中经历概念的形成过程,体验与思维的交流,给笔者留下了深刻印象.下面结合“对数”的课堂教学案例分析,谈谈自己对数学对话教学的认识与体会.一、创设情境,启动对话情境:某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年,这种物质剩留的质量是原来的84%(设该物质的最初质量为1).师:就此情境,你能提出一个数学问题吗?写下来,和同学交流一下.(学生静静地思考,随后书写在课堂练习本上并相互交流,老师巡视)生1:5年以后,剩留的质量是多少?生2

3、:经过多少年后剩留的质量是原来的一半?师:上述问题,怎么解决呢?生3:上述问题可表示为0.845=N,0.84x=12,字母即为所要求的量.师:这两个问题都与指数函数y=0.84x有关,本质上是已知指数式ab=N中的两个量,求第三个量.这类问题我们学过吗?请举几个例子.(经启发,学生举出21=2,22=4,23=8,说明已知底数和指数求幂即为指数运算;a1=2圯a=2,a2=2圯a=2摇姨,a3=2圯a=23姨,说明已知指数和幂求底数即为根式)师:很好!这些问题本质上就是在研究ab=N(其中a0,a1)中已知两个量求第三个量,之前我们已经研究了已知a、b求N和已知b、N求a.现在我们还可以研究

4、什么问题呢?评析:此情境为教材中指数章节的引例,再次引入学生比较熟悉、师生具有共同语言的话题.从对话教学的角度来看,老师发问“你能提出一个数学问题吗”,激发了学生的元认知活动,体现了教学的开放性、生成性,培育了学生的问题意识,启动了师生、生生的对话机制.引导学生举例,可以激活学生已有的概念体系,推动学生自我对话,在此基础上抽象概括出基本数学模型,即已知ab=N(其中a0,a1)中的两个量求第三个量,使学生感受到数学形式化过程的简洁、自然.“现在我们还可以研究什么问题呢”自然引导学生进入新课的学习.但只通过一个事例就让学生概括出一般性问题,例子的数量略少,不足以支持概念的概括活动.如果追问:这样

5、的例子,你们还能举出一些吗?在此基础上让学生进行抽象,适度拉长学生概括的过程,数学模型的建构将更为充分.二、建构概念,深入对话经历上述过程,学生自然引出新的问题模型,即已知a、N求b并举例.比如:2b1圳b0,2b2圳b1,2b4圳b2,此时有学生提到2b3圳b?师:这样的指数b有没有呢?(学生陷入思考并有了争论,随后达成共识,指数b肯定存在.在此期间老师认真观察学生的争论并静静地等待,让学生经历“平等对话”的过程,稍后追问:你能解释吗)从一则案例谈数学对话教学基于“对数”的课堂教学案例分析筅江苏省南京市江宁高级中学陈立军30高中版高中版2014 年 7 月教材教法案例点评生4:2b2圳b1,

6、2b4圳b2,2b从2增加到4,指数b就相应地从1增加到2,若2b3,我想b在1到2之间.师:从数的角度解释,很好,还能从其他角度解释吗?生5:我们可以作出函数的图像来观察,作出y=2x与y=3的图像,发现它们有交点,而且只有一个,交点的横坐标就是我们要求的指数b.师:很好!如图1,函数y=2x与y=3的图像确实有且只有一个交点,看来满足2b3的指数b可由“2和3”唯一确定,那它究竟是个什么数呢?我们现在不能把它写出来,怎么办呢?(学生略显困顿,老师提示:以前我们有没有遇到过类似的问题呢?如已知a3=2,a等于什么呢?有什么启发)生6:我想,类似于a=23姨,b也需要用一个新的符号来表示.师:

7、对,数学家也是这么想的,他们解决问题的办法就是引进一个新的符号.指数b由2和3确定,数学家用log23来表示,读作以2为底3的对数,其中2为底数,写在右下方,3叫真数.有了这个符号,就可以解决我们刚才的问题了,由0.84x=12,得xlog0.8412.你能举几个对数的例子吗?(老师板书学生分别举出的一些例子:3b10圳blog310,4b5圳blog45,2b7圳blog27,)师:根据这些具体的例子,你知道一般情况下对数是怎么表示的吗?生众:ab=N圯b=logaN.(至此,师生共同概括出一般性的对数定义,老师板书课题并介绍指、对数式中字母a、b、N的不同称谓,分析字母a、b、N的取值范围

8、.随后,结合数学史简要介绍对数的发明历史和对数的重要作用)评析:问题是思维的源泉,是对话的焦点,是对话教学的核心,没有问题就没有对话.本节课对数概念的教学过程中,张老师彻底摒弃“一个定义,几项注意”式的概念教学模式,以问题为话题,努力为学生提供充分地抽象概括概念的本质特征的机会,让学生充分经历概念的形成过程,这样的教学过程抛弃了老师的独白与专制,搭建了课堂教学多维度、多方向、多形式对话的平台.其一,展现了教师与文本的对话.课堂教学的设计就体现了教师对“课程标准”的把握,对教材的解读,凝练了教师对数学本质的理解,还原了隐藏在数学概念背后生动活泼的思维过程.其二,展现了教师与学生的对话.课堂教学行

9、为的实施体现了教师的教学观、学生观,概念形成中张老师没有喋喋不休的独白,也没有随意地打断学生的发言,始终注意和学生进行对话沟通,“你怎么知道的”“怎么办呢”“像这样的例子,你能再举一些吗”等这些极具亲和力的圈问、点问、追问,营造了沉静、和谐的课堂教学氛围,引导学生深入思考,逐层逐级挤出学生的想法,充分体现了教师对学生主体的尊重.其三,展现了学生自我的对话.现代学习论表明,概念的学习不是灌输也不是传递,而是认知主体与自我原有的认知结构进行对话,反复经历同化和顺应的过程,让新的概念从脑海里自然地生长出来,“这样的指数b有没有,怎么解释”“b可由2和3唯一确定,那它究竟是个什么数呢”“一般情况下,对

10、数如何表示呢”等都启发学生运用已有的知识逐步解决,体现了数学概念鲜活的生长性.在潜移默化中,让学生体验到与思维的交流.但需要指出的是,学生在由2b3判断这样的b是否存在时,试图通过计算来说明,理由不充分.老师若能启发学生运用已有的指数函数知识来理解,会豁然开朗.因为指数函数y=2x的值域为(0,+),而3(0,+),所以肯定存在x使得2x=b,即说明b一定存在.三、理解概念,反思对话师:现在我们学了一个新的概念,即对数,知道对数其实就是一个数,下面请每位同学写出23个对数,你认识所写的对数吗?(学生书写对数,同桌间相互交流,老师巡视,查看学生书写的结果,有选择地写了几个在黑板上,问:log28

11、=?log139=?log926大概多大?怎么求?学生思考片刻)生7:23=8圯log28=3,13 2=9圯log139=-2.生8:设log926=x,则9x=26.因为91=9,92=81,所以1x2,即1log9260,a1),a1=a圯logaa=1(a0,a1).练习:求下列各式的值.(1)log264;(2)log110100;(3)log927.y54321y=3y=2x-4-2O24x图131高中版高中版2014 年 7 月教材教法案例点评(利用指、对数式的等价转化,学生完成练习,老师评析时将解答过程改写 为log264=log226=6,log110100=log11011

12、0?2=2,向学生提问:你有什么发现?它有一般性吗)学生概括出对数的性质logaab=b(a0,a1)并简述证明过程:由ab=ab,可视ab为一整体直接写出对数式可得.若将方法迁移,由logaN=logaN(a0,a1),视logaN为一整体可得新性质alogaN=N,老师归纳对数的若干性质并板书,随后分别介绍两种特殊对数:常用对数和自然对数.课堂小结:什么是对数?研究对数的基本思想方法是什么?下节课应该研究什么内容?评析:从认知心理学角度而言,所谓概念理解,就是新概念与已有认知结构建立起实质性的非人为的联系.对数概念出来以后,学生远没有真正的理解,那仅仅是一种描述性定义,还需要循环反复地经历

13、辨析、判断、精致的过程,将新概念纳入已有的知识结构,才能真正建立起实质性的非人为的联系.对话教学强调的是差异、多元,整个过程应该是开放的,师生围绕话题各抒己见,形成共识.这一环节,老师再次让学生举例,考量学生对定义的认识,没有出现诸如log(-2)3、log2(-3)的例子就说明学生理解了对数中a0、a1和N0的条件.学生各自写出若干例子后,老师问“你认识所写的对数吗”“怎么办”,再次把学生卷入概念理解的过程.学生回到指数式,可求得log28=3,log139=2,1log9262.此番自我对话的过程促进了学生的自我反思,既加深了学生对对数就是一个数的认识,又建立了相关概念的联系,体现了知识的

14、整体性.练习环节的实施,巩固了指、对数的等价转化,也让学生经历由特殊到一般的过程,归纳出对数的若干性质.课堂小结中,更加重视认知主体“我”的感受、体验,“我”的陈述.通过对话,让学生从概念层面谈理解,从方法层面谈提升,从思想层面谈认识.如此,概念的建构就越发丰满,领悟就越发深刻,教学就越发有效.四、结束语“没有沟通,就没有教学.”让我们的课堂彻底远离“一言堂、满堂灌”,在宽松、民主的氛围中,学生自由表达自己的思想,多些对话,鼓励创新,师生成为沟通与活动的主体,课堂成为对话与探究的舞台,分享彼此的思考、见解和知识,交流彼此的情感、观念与理念,实现教学相长.参考文献:1.钟启泉,等.为了中华民族的

15、复兴为了每位学生的发展基础教育课程改革纲要(试行)解读M.上海:华东师范大学出版社,2001.2.中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(实验)M.北京:人民教育出版社,2003.3.曹才翰,章建跃.数学教育心理学(第二版)M.北京:北京师范大学出版社,2007.4.单墫,主编.苏教版高中教材数学(必修1)M.南京:江苏教育出版社,2012.5.章建跃,陶维林.概念教学必须体现概念的形成过程“平面向量的概念”的教学与反思J.数学通报,2010(5).6.唐锐光.从一个案例管窥数学对话教学二项式定理起始课教学案例分析J.中国数学教育(高中版),2012(10).7.张志超.多些对话、鼓励创新J.中学数学(上),2013(10).WG32

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