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1、一一.中心对称中心对称(关于点的对称关于点的对称)(一）点关于点的对称一）点关于点的对称 点点P P1 1(x(x1 1,y,y1 1)关于点关于点M(m,n)M(m,n)对称的点对称的点P P2 2为为(2m-x(2m-x1,1,2n-y2n-y1 1););特别地特别地,P(x,y),P(x,y)关于原点关于原点(0,0)(0,0)的对称点坐标为的对称点坐标为(-x,-y).(-x,-y).练习练习:(1)求点求点P(2,5)关于点关于点Q(-3,-7)的对称点的对称点.(2)若点若点A(0,-3)关于点关于点M的对称点为的对称点为B(-7,5).求求M的坐标的坐标.(二）直线关于点的对称
2、二）直线关于点的对称 直线直线l:Ax+By+C=0关于点关于点M(m,n)对称的直对称的直线线l1的方程为的方程为A(2m-x)+B(2n-y)+C=0.例例1.求直线求直线m:2x+3y-1=02x+3y-1=0关于点关于点P(1,4)P(1,4)对称对称的直线的直线n n的方程的方程.解解:(法一法一)直接代入上面结论直接代入上面结论 (法二法二)在直线在直线m上任取两点上任取两点A,B.则则A,B关于点关于点P的对称点的对称点落在直线落在直线n上上.(法三法三)显然直线显然直线m和直线和直线n是平行直线是平行直线,因此斜率相等因此斜率相等.一般地：曲线一般地：曲线f（x，y）=0关于点
3、关于点M（m，n）的对称曲线）的对称曲线方程为方程为f（2m-x，2n-y）=0 特别地曲线特别地曲线f（x，y）=0关关于原点（于原点（0，0）的对称曲线方程为）的对称曲线方程为f（-x，-y）=0 .二二.轴对称轴对称(即关于直线的对称即关于直线的对称)例例2.求点求点A(-7,1)关于直线关于直线l:2x-y-5=0的对称点的对称点B的坐标的坐标.解解(法一法一)设设B(m,n）由点关于直线对称的定义知）由点关于直线对称的定义知:线段线段AB l 即;=-1 线段线段AB被直线被直线l平分平分,即线段即线段AB的中点的中点在直线在直线l上上,故有故有 2 -5=0 (一一)点关于直线的对
4、称点关于直线的对称:联立联立 解得解得m=9 n=-7 B(9,-7)（法二）（法二）直线直线AB l,直线直线AB过点（过点（-7，1）直线直线AB的方程为的方程为y-1=-y-1=-（x+7x+7）即即x+2y+5=0 x+2y+5=0由 解得 即即AB的中点为（的中点为（1，-3），又，又A（-7，1）由中点坐标公式得由中点坐标公式得B的坐标为（的坐标为（9，-7）.小结小结:求点求点P(x0,y0)关于直线关于直线l:Ax+By+C=0By+C=0对称对称点点Q(x1,y1)的方法的方法:(1)（综合求解）（综合求解）由点关于直线对称的定义及直线由点关于直线对称的定义及直线l垂直平分线
5、段垂直平分线段PQ得方程组得方程组:由（由（1）（）（2）可解得）可解得x1,y1的值即对称点的值即对称点Q的坐标的坐标(2)（分步求解）可先求直线（分步求解）可先求直线PQ的方程的方程,然后解出然后解出直线直线PQ与直线与直线l的交点即线段的交点即线段PQ的中点的中点M的坐标的坐标,最后利用中点坐标公式最后利用中点坐标公式,求出对称点求出对称点Q的坐标的坐标.（3）（利用公式）点P（x0，y0）关于直线Ax+By+C=0的对称点Q的坐标为一般地一般地：点（点（x0，y0）关于直线）关于直线y=x的对称点为（的对称点为（y0，x0）点（点（x0，y0）关于直线）关于直线y=-x的对称点为（的对
6、称点为（-y0，-x0）点（点（x0，y0）关于直线）关于直线y=x+b的对称点为（的对称点为（y0-b，x0+b）点（点（x0，y0）关于直线）关于直线y=-x+b的对称点为（的对称点为（b-y0，-x0+b）点（点（x0，y0）关于直线）关于直线y=0（即（即x轴）的对称点为（轴）的对称点为（x0，-y0）点（点（x0，y0）关于直线）关于直线x=0（即（即y轴）的对称点为（轴）的对称点为（-x0，y0）点（点（x0，y0）关于直线）关于直线y=m的对称点为（的对称点为（x0，2m-y0）点（点（x0，y0）关于直线）关于直线x=n的对称点为（的对称点为（2n-x0，y0）注：注：当对称轴
7、的斜率为当对称轴的斜率为1或对称轴与或对称轴与坐标轴垂直坐标轴垂直时可用上时可用上述方法直接求出对称点的坐标。述方法直接求出对称点的坐标。（二）直线关于直线的对称（二）直线关于直线的对称例例3.求直线求直线m:x-y-2=0关于直线关于直线l:3x-y+3=0对称的直线对称的直线n的方程的方程.解解:设直线设直线m,l,n的斜率分别为的斜率分别为k1,k,K2.由直线关于直线对称的定义知由直线关于直线对称的定义知:直线直线m到到直线直线l的角等于直线的角等于直线l到直线到直线n的角的角.又又k1=1,k=3解得解得:k2=-7 由 解得xyomnl即直线即直线m,l,n的交点为的交点为 直线直
8、线n的方程为的方程为法法(二二):在直线在直线x-y-2=0上任取一点如上任取一点如A(2,0),则则A关于直关于直线线l的对称点的对称点A1 落落 在直线在直线n上上,然后解出直线然后解出直线l和和m的交点的交点,由直线方程的两点式求出直线由直线方程的两点式求出直线n的方程的方程.例例4.已知已知ABC的顶点为的顶点为A(-3,0),B(0,3),C(3,-12)求求:A的的内角平分线所在的直线方程内角平分线所在的直线方程.解解（法一）设法一）设:A平分线所在直线平分线所在直线l的斜率为的斜率为k 直线直线AC到到l的角等于的角等于l到直线到直线AB的角的角,又又kAC=-2,kAB=1K=
9、3-其方程为其方程为即（法二）设（法二）设A的内角平分线的内角平分线交直线交直线BC与点与点T A的内角平分线的斜率的内角平分线的斜率K(-2,1),点点T分有向线段分有向线段 的的比为比为设设T（x，y），由定比分点坐标公式得：），由定比分点坐标公式得：xABCyoTT由直线方程的两点式求得由直线方程的两点式求得A内角平分线所在直线的方程内角平分线所在直线的方程问问（1）你会用第三种方法解这道题吗？你会用第三种方法解这道题吗？（2）你会求你会求A外角平分线所在直线的方程吗？外角平分线所在直线的方程吗？一般地：求直线关于直线对称的直线方程利用求交点和斜率；也可一般地：求直线关于直线对称的直线方
10、程利用求交点和斜率；也可以转化为求点关于直线的对称点来解决。以转化为求点关于直线的对称点来解决。特别地：当对称轴所在的直线与坐标轴垂直或斜率为特别地：当对称轴所在的直线与坐标轴垂直或斜率为1时可用以下时可用以下结论直接代入；结论直接代入；设直线方程为设直线方程为f（x，y）=0则：则：直线直线f（x，y）=0关于直线关于直线y=x对称的直线方程为对称的直线方程为f（y，x）=0直线直线f（x，y）=0关于直线关于直线y=-x对称的直线方程为对称的直线方程为f（-y，-x）=0直线直线f（x，y）=0关于直线关于直线y=x+b对称的直线方程为对称的直线方程为f（y-b，x+b）=0直线直线f（x
11、，y）=0关于直线关于直线y=-x+b对称的直线方程对称的直线方程 为为f（b-y，-x+b）=0直线直线f（x，y）=0关于直线关于直线y=0（x轴）对称的直线方程为轴）对称的直线方程为f（x，-y）=0直线直线f（x，y）=0关于直线关于直线x=0（y轴）对称的直线方程为轴）对称的直线方程为f（-x，y）=0直线直线f（x，y）=0关于直线关于直线y=m对称的直线方程为对称的直线方程为f（x，2m-y）=0直线直线f（x，y）=0关于直线关于直线x=n对称的直线方程为对称的直线方程为f（2n-x，y）=0三三.对称问题的应用：对称问题的应用：（一）涉及定直线（一）涉及定直线l上一点上一点P
12、与两定点与两定点A，B的距离和（或差）的距离和（或差）的最值问题的最值问题1.若若A，B两点在直线的同侧：两点在直线的同侧：（1）设点）设点B关于直线的对称点为点关于直线的对称点为点C,则直线则直线AC与直线与直线l的的交点交点P使得使得|PA|+|PB|最小；最小；（2）直线）直线AB与直线与直线l的交点的交点P使得使得|PA|-|PB|最大。最大。2.若若A,B两点在直线的异侧两点在直线的异侧:(1)直线直线AB与直线与直线l的交点的交点P使得使得|PA|+|PB|最小最小;(2)设点设点B关于直线的对称点为点关于直线的对称点为点C,则直线则直线AC与直线与直线l的交点的交点P使得使得|P
13、A|-|PB|最大最大.(二二)涉及角平分线及光线的入射和反射问题一般都转化为对涉及角平分线及光线的入射和反射问题一般都转化为对称问题来解决称问题来解决.例例5.已知两点已知两点A(2,15),B(-3,5),在直线在直线l:3x-4y+4=0上找一上找一点点P,使得使得:(1)|PA|+|PB|最小最小,并求出其最小值并求出其最小值;(2)|PA|-|PB|最大最大,并求出其最大值并求出其最大值.例例6.自点自点A(-3,3)发出的光线发出的光线l射到射到x轴上轴上,被被x轴反射轴反射,其其反射光线所在直线与圆反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切相切,求光线求光线l所在直所
14、在直线的方程线的方程.练习题：练习题：(1)(1)点点M(-1,3)M(-1,3)关于直线关于直线x+y-1=0 x+y-1=0的对称点为的对称点为_关于直线关于直线y=2xy=2x的对的对称点为称点为_ _ _ _ 关于点关于点(9,0)(9,0)的对称点为的对称点为 (2)(2)直线直线x+2y-1=0 x+2y-1=0关于直线关于直线x-y+2=0 x-y+2=0的对称直线的方程为的对称直线的方程为_关关于直线于直线y=-xy=-x的对称直线为的对称直线为_关于直线关于直线x+3=0 x+3=0对称直线为对称直线为_(3)(3)直线直线3x-4y+3=03x-4y+3=0关于关于x x轴
15、对称的直线方程为轴对称的直线方程为_关于关于y y轴轴的对称直线方程为的对称直线方程为_关于原点的对称直线方程为关于原点的对称直线方程为 (4)光线从光线从M(-2,3)射到射到x轴上一点轴上一点P(1,0)后被后被x轴反射轴反射,则入射光线和则入射光线和反射光线所在的直线方程分别为反射光线所在的直线方程分别为_若光线射到直线若光线射到直线y=2x上呢上呢?(5)光线沿着斜率为光线沿着斜率为 的直线的直线l1射在斜率为射在斜率为 的直线的直线l2上反射上反射,若若l1和和l2的交点为的交点为(-1,2),求反射光线所在的直线方程求反射光线所在的直线方程.(6)已知已知ABC的一个顶点的一个顶点
16、A(4,-1),其内角其内角B,C的平分线方的平分线方程分别为程分别为y=x-1和和x=1,求边求边BC,AB所在的直线方程所在的直线方程.(7)直线直线y=2x是是ABC中角中角C的平分线所在的直线方程的平分线所在的直线方程,A(-4,2),B(3,1)求求C的坐标的坐标,并判断并判断ABC的形状的形状.(8)ABC的两条高线方程为的两条高线方程为2x-3y+1=0和和x+y=0,顶点顶点A的坐的坐标为标为(1,2),求求BC 边所在的直线方程边所在的直线方程.(9)已知已知ABC的一个顶点的一个顶点A(-4,2),中线中线BD,CE所在的直线方所在的直线方程分别为程分别为3x-2y+2=0
17、和和3x+5y-12=0,求边求边BC所在的直线方程所在的直线方程.(10)已知已知ABC的一个顶点的一个顶点A(3,-1),AB边上的中线所在的边上的中线所在的直线方程为直线方程为6x+10y-59=0 B的平分线所在直线方程为的平分线所在直线方程为x-4y+10=0,求边求边BC所在的直线方程所在的直线方程.(11)已知点已知点A(2,0),B(-2,-2),在直线在直线l:x+y-3=0上求一点上求一点P使使|PA|+|PB|最小最小变形变形:在在l上求一点上求一点Q使得使得|QA|-|QB|最大最大.(12)已知点已知点A(4,1),B(0,4),在直线在直线l:3x-y-1=0上求一
18、点上求一点P使使|PA|+|PB|最小最小.变形变形:在直线在直线l上求一点上求一点Q使得使得|QA|-|QB|最大最大.小魔方站作品小魔方站作品 盗版必究盗版必究语文语文更多精彩内容，微信扫描二维码获取更多精彩内容，微信扫描二维码获取扫描二维码获取更多资源扫描二维码获取更多资源谢谢您下载使用谢谢您下载使用！附赠附赠 中高考状元学习方法中高考状元学习方法 前前 言言 高考状元是一个特殊的群体，在许多高考状元是一个特殊的群体，在许多人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目的星星那样遥不可及。但实际上他们和我的星星那样遥不可及。但实际上他们和我们每一个同学都一样平凡
19、而普通，但他们们每一个同学都一样平凡而普通，但他们有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处就是在学习方面有一些独到的个性，又有就是在学习方面有一些独到的个性，又有着一些共性，而这些对在校的同学尤其是着一些共性，而这些对在校的同学尤其是将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。青春风采北京市文科状元北京市文科状元 阳光女孩阳光女孩-何旋何旋 高考总分：高考总分：692分分(含含20分加分分加分)语文语文131分分 数学数学145分分英语英语141分分 文综文综255分分毕业学校：北京二中毕业学校：北京二中报考高校：报考高校：北京大学光
20、华管理学院北京大学光华管理学院来自北京二中，高考成绩672分，还有20分加分。“何旋给人最深的印象就是她的笑声，远远的就能听见她的笑声。”班主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。“她是学校的摄影记者，非常外向，如果加上20分的加分，她的成绩应该是692。”吴老师说，何旋考出好成绩的秘诀是心态好。“她很自信，也很有爱心。考试结束后，她还问我怎么给边远地区的学校捐书”。班主任：我觉得何旋今天取得这样的成绩，我觉得，很重要的是，何旋是土生土长的北京二中的学生，二中的教育理念是综合培养学生的素质和能力。我觉得何旋，她取得今天这么好的成绩，一个来源于她的扎实的学习上的基础，还有一个非常重要的，我觉得特别想提的
21、，何旋是一个特别充满自信，充满阳光的这样一个女孩子。在我印象当中，何旋是一个最爱笑的，而且她的笑特别感染人的。所以我觉得她很阳光，而且充满自信，这是她突出的这样一个特点。所以我觉得，这是她今天取得好成绩当中，心理素质非常好，是非常重要的。高考总分高考总分:711分分毕业学校毕业学校:北京八中北京八中语文语文139分分 数学数学140分分英语英语141分分 理综理综291分分报考高校：报考高校：北京大学光华管理学院北京大学光华管理学院北京市理科状元杨蕙心北京市理科状元杨蕙心 班主任 孙烨：杨蕙心是一个目标高远的学生，而且具有很好的学习品质。学习效率高是杨蕙心的一大特点，一般同学两三个小时才能完成
22、的作业，她一个小时就能完成。杨蕙心分析问题的能力很强，这一点在平常的考试中可以体现。每当杨蕙心在某科考试中出现了问题，她能很快找到问题的原因，并马上拿出解决办法。孙老师说，杨蕙心学习效率很高，认真执行老师的复习要求，往往一个小时能完成别人两三个小时的作业量，而且计划性强，善于自我调节。此外，学校还有一群与她实力相当的同学，他们经常在一起切磋、交流，形成一种良性的竞争氛围。谈起自己的高考心得，杨蕙心说出了“听话”两个字。她认为在高三冲刺阶段一定要跟随老师的脚步。“老师介绍的都是多年积累的学习方法，肯定是最有益的。”高三紧张的学习中，她常做的事情就是告诫自己要坚持，不能因为一次考试成绩就否定自己。
23、高三的几次模拟考试中，她的成绩一直稳定在年级前5名左右。上海上海20062006高考高考理科理科状元状元-武亦武亦文文武亦文武亦文 格致中学理科班学生格致中学理科班学生 班级职务：学习委员班级职务：学习委员 高考志愿：复旦经济高考志愿：复旦经济 高考成绩：语文高考成绩：语文127127分分 数学数学142142分分 英语英语144144分分 物理物理145145分分 综合综合2727分分 总分总分585585分分 “一分也不能少一分也不能少”“我坚持做好每天的预习、复习，每我坚持做好每天的预习、复习，每天放学回家看半小时报纸，晚上天放学回家看半小时报纸，晚上1010：3030休息，感觉很轻松地
24、度过了三年高休息，感觉很轻松地度过了三年高中学习。中学习。”当得知自己的高考成绩后，当得知自己的高考成绩后，格致中学的武亦文遗憾地说道，格致中学的武亦文遗憾地说道，“平平时模拟考试时，自己总有一门满分，时模拟考试时，自己总有一门满分，这次高考却没有出现，有些遗憾。这次高考却没有出现，有些遗憾。”坚持做好每个学习步骤坚持做好每个学习步骤 武亦文的高考高分来自于她日常严谨的学习武亦文的高考高分来自于她日常严谨的学习态度，坚持认真做好每天的预习、复习。态度，坚持认真做好每天的预习、复习。“高中三年，从来没有熬夜，上课跟着老师高中三年，从来没有熬夜，上课跟着老师走，保证课堂效率。走，保证课堂效率。”武
25、亦文介绍，武亦文介绍，“班主班主任王老师对我的成长起了很大引导作用，王任王老师对我的成长起了很大引导作用，王老师办事很认真，凡事都会投入自己所有精老师办事很认真，凡事都会投入自己所有精力，看重做事的过程而不重结果。每当学生力，看重做事的过程而不重结果。每当学生没有取得好结果，王老师也会淡然一笑，鼓没有取得好结果，王老师也会淡然一笑，鼓励学生注重学习的过程。励学生注重学习的过程。”上海高考文科状元上海高考文科状元-常方舟常方舟曹杨二中高三曹杨二中高三(14)(14)班学生班学生 班级职务：学习委员班级职务：学习委员 高考志愿：北京高考志愿：北京 大学中文系大学中文系高考成绩：语文高考成绩：语文1
26、21121分数学分数学146146分分 英语英语146146分历史分历史134134分分 综合综合2828分总分分总分575575分分 (另有附加分另有附加分1010分分)“我对竞赛题一样发怵我对竞赛题一样发怵”总结自己的成功经验，常方舟认为学习的高总结自己的成功经验，常方舟认为学习的高效率是最重要因素，效率是最重要因素，“高中三年，我每天晚高中三年，我每天晚上都是上都是10:3010:30休息，这个生活习惯雷打不动。休息，这个生活习惯雷打不动。早晨总是早晨总是6:156:15起床，以保证八小时左右的睡起床，以保证八小时左右的睡眠。平时功课再多再忙，我也不会眠。平时功课再多再忙，我也不会开夜车
27、开夜车。身体健康，体力充沛才能保证有效学习。身体健康，体力充沛才能保证有效学习。”高三阶段，有的同学每天学习到凌晨两三高三阶段，有的同学每天学习到凌晨两三点，这种习惯在常方舟看来反而会影响次日点，这种习惯在常方舟看来反而会影响次日的学习状态。每天课后，常方舟也不会花太的学习状态。每天课后，常方舟也不会花太多时间做功课，常常是做完老师布置的作业多时间做功课，常常是做完老师布置的作业就算完。就算完。“用好课堂用好课堂4040分钟最重要。我的经验是，哪怕分钟最重要。我的经验是，哪怕是再简单的内容，仔细听和不上心，效果肯是再简单的内容，仔细听和不上心，效果肯定是不一样的。对于课堂上老师讲解的内容，定是
28、不一样的。对于课堂上老师讲解的内容，有的同学觉得很简单，听讲就不会很认真，有的同学觉得很简单，听讲就不会很认真，但老师讲解往往是由浅入深的，开始不认真，但老师讲解往往是由浅入深的，开始不认真，后来就很难听懂了；即使能听懂，中间也可后来就很难听懂了；即使能听懂，中间也可能出现一些知识盲区。高考试题考的大多是能出现一些知识盲区。高考试题考的大多是基础知识，正就是很多同学眼里很简单的内基础知识，正就是很多同学眼里很简单的内容。容。”常方舟告诉记者，其实自己对竞赛试常方舟告诉记者，其实自己对竞赛试题类偏难的题目并不擅长，高考出色的原因题类偏难的题目并不擅长，高考出色的原因正在于试题多为基础题，对上了自己的正在于试题多为基础题，对上了自己的“口口味味”。