量子力学第五章课件.ppt-淘文阁

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1、第六章第六章近似方法近似方法1 1 引言引言 2 2 非简并定态微扰理论非简并定态微扰理论 3 3 简并微扰理论简并微扰理论4 变分法变分法1234返回返回（一）近似方法的重要性（一）近似方法的重要性前几章介绍了量子力学的基本理论，使用这些理前几章介绍了量子力学的基本理论，使用这些理论解决了一些简单问题。如：论解决了一些简单问题。如：（1 1）一维无限深势阱问题；）一维无限深势阱问题；（2 2）线性谐振子问题；）线性谐振子问题；（3 3）势垒贯穿问题；）势垒贯穿问题；（4 4）氢原子问题。）氢原子问题。这些问题都给出了问题的精确解析解。这些问题都给出了问题的精确解析解。然然而而，对对于于大大

2、量量的的实实际际物物理理问问题题，Schrodinger Schrodinger 方方程程能能有有精精确确解解的的情情况况很很少少。通通常常体体系系的的 Hamilton Hamilton 量量是是比比较较复复杂杂的的，往往往往不不能能精精确确求求解解。因因此此，在在处处理理复复杂杂的的实实际际问问题题时时，量量子子力力学学求求问问题题近近似似解解的的方方法法（简简称称近近似方法）就显得特别重要。似方法）就显得特别重要。1 1 引引言言返回返回（二）近似方法的出发点（二）近似方法的出发点近似方法通常是从简单问题的精确解（解析解）出发，来近似方法通常是从简单问题的精确解（解析解）出发，来求较复

3、杂问题的近似（解析）解。求较复杂问题的近似（解析）解。（三）近似解问题分为两类（三）近似解问题分为两类（1 1）体体系系 Hamilton Hamilton 量量不不是是时时间间的的显显函函数数定定态态问问题题1.1.定态微扰论；定态微扰论；2.2.变分法。变分法。（2 2）体系）体系 Hamilton Hamilton 量显含时间量显含时间状态之间的跃迁问题状态之间的跃迁问题1.1.与时间与时间 t t 有关的微扰理论；有关的微扰理论；2.2.常微扰。常微扰。2 2 非简并定态微扰理论非简并定态微扰理论返回返回（一）微扰体系方程（一）微扰体系方程（二）态矢和能量的一级修正（二）态矢和能量的

4、一级修正（三）能量的二阶修正（三）能量的二阶修正（四）微扰理论适用条件（四）微扰理论适用条件（五）讨论（五）讨论（六）实例（六）实例微扰法不是量子力学所特有的方法，在处理天体运微扰法不是量子力学所特有的方法，在处理天体运行的天体物理学中，计算行星运行轨道时，就是使用微扰行的天体物理学中，计算行星运行轨道时，就是使用微扰方法。计算中需要考虑其他行星影响的二级效应。方法。计算中需要考虑其他行星影响的二级效应。例例如如，地地球球受受万万有有引引力力作作用用绕绕太太阳阳转转动动，可可是是由由于于其其它它行行星星的的影影响响，其其轨轨道道需需要要予予以以修修正正。在在这这种种情情况况下下，计计算算

5、所所使使用用的的方方法法是是：首首先先把把太太阳阳和和地地球球作作为为二二体体系系统统，求求出出其其轨轨道道，然然后后研研究究这这个个轨轨道道受受其其它它行行星星的的影影响响而而发发生生的变化。的变化。可可精精确确求求解解的的体体系系叫叫做做未未微微扰扰体体系系，待待求求解解的的体体系系叫叫做做微微扰扰体体系系。假假设设体体系系 Hamilton Hamilton 量量不不显显含含时时间间，而而且可分为两部分：且可分为两部分：（一）微扰体系方程（一）微扰体系方程 H(0)所描写的体系是可以精确求解的，其本征所描写的体系是可以精确求解的，其本征值 E n(0)，本征矢本征矢|n(0)满足如下本征

6、方程：足如下本征方程：另一部分另一部分 H H是很小的（很小的物理意义将在下面讨论）可是很小的（很小的物理意义将在下面讨论）可以看作加于以看作加于 H H(0)(0)上的微小扰动。现在的问题是如何求解微上的微小扰动。现在的问题是如何求解微扰后扰后 Hamilton Hamilton 量量 H H 的本征值和本征矢，即如何求解整个的本征值和本征矢，即如何求解整个体系的体系的 Schrodinger Schrodinger 方程：方程：当当H=0 H=0 时，时，|n n=|=|n n (0)(0),E,En n=E=E n n (0)(0)；当当 H H 0 0 时时，引引入入微微扰扰，使使体体

7、系系能能级级发发生生移移动动，由由 E E n n (0)(0)E En n，状态由，状态由|n n (0)(0)|n n 。为了明了明显表示出微表示出微扰的微小程度，将其写的微小程度，将其写为：其中其中是很小的是很小的实数，表征微数，表征微扰程度的参量。程度的参量。因为因为 En、|n 都与微扰有关，可以把它们看成是都与微扰有关，可以把它们看成是的函数而的函数而将其展开成将其展开成的幂级数：的幂级数：其中其中E E n n(0)(0),E,E n n(1)(1),2 2 E E n n(1)(1),.,.分别是能量的分别是能量的 0 0 级近似，能量的一级修正级近似，能量的一级修正和二级修正

8、等；和二级修正等；而而|n n (0)(0),|,|n n (1)(1),2 2|n n (2)(2),.,.分别是状态矢量分别是状态矢量 0 0 级近似，一级修正和二级修正等。级近似，一级修正和二级修正等。代入代入SchrodingerSchrodinger方程得：方程得：乘开得：乘开得：根据等式两边根据等式两边同幂次的系数应该相等，可得同幂次的系数应该相等，可得到如下一系列方程式到如下一系列方程式:整理后得：整理后得：上上面面的的第第一一式式就就是是H H(0)(0)的的本本征征方方程程，第第二二、三三式式分分别别是是|n n (1)(1)和和|n n(2)(2)所满足的方程，由此可解得能

9、量和态矢的第一、二级修正。所满足的方程，由此可解得能量和态矢的第一、二级修正。现在我们借助于未微扰体系的态矢现在我们借助于未微扰体系的态矢|n n(0)(0)和本征能量和本征能量 E E n n(0)(0)来导出扰动后的态矢来导出扰动后的态矢|n n 和能量和能量 E En n 的表达式。的表达式。(1)(1)能量一能量一级修正修正 E E n n(1)(1)根根据据力力学学量量本本征征矢矢的的完完备备性性假假定定，H H(0)(0)的的本本征征矢矢|n n (0)(0)是是完完备备的的，任任何何态态矢矢量量都都可可按按其其展展开开，|n n (1)(1)也也不不例例外外。因因此我们可以将态矢

10、的一级修正展开为：此我们可以将态矢的一级修正展开为：akn(1)=代回前面的第二式并计及第一式得：代回前面的第二式并计及第一式得：左乘左乘为了了求求出出体体系系态矢矢的的一一级修修正正，我我们先先利利用用扰动态矢矢|n n 的的归一一化化条条件件证明明上上式式展展开开系数中系数中a an nn n(1)(1)=0=0（可以取（可以取为 0 0）。）。基于基于|n n 的归一化条件并考虑上面的展开式，的归一化条件并考虑上面的展开式，证：证：由于由于归一，归一，所以所以 a an nn n (1)(1)的实部为的实部为 0 0。a an nn n (1)(1)是一个纯虚数，故可令是一个纯虚数，

11、故可令 a an nn n (1)(1)=i =i （为实）。为实）。上式结果表明，展开式中，上式结果表明，展开式中，a an nn n(1)(1)|n n(0)(0)项的项的存在只不过是使整个态矢量存在只不过是使整个态矢量|n n 增加了一个相因子，这增加了一个相因子，这是无关紧要的。所以我们可取是无关紧要的。所以我们可取 =0=0，即，即 a an nn n(1)(1)=0=0。这样一来，。这样一来，与求与求态矢的一矢的一阶修正一修正一样，将，将|n(2)按按|n(0)展开：展开：与与|n(1)展开式一起代展开式一起代入入关于关于 2 的第三式的第三式（三）能量的二阶修正（三）能量的二阶

12、修正左乘左乘态矢矢 m(0)|1.当当 m=n 时在推导中使在推导中使用了微扰矩用了微扰矩阵的厄密性阵的厄密性正交归一性正交归一性2.当当 m n 时能量的二级修正能量的二级修正在计及二阶修正后，扰动体系能量本征值由下式给出：在计及二阶修正后，扰动体系能量本征值由下式给出：总结上述，总结上述，在非简并情况下，受扰动体系的能量和态矢量分别由下式给出：在非简并情况下，受扰动体系的能量和态矢量分别由下式给出：欲欲使使二二式式有有意意义义，则则要要求求二二级级数数收收敛敛。由由于于不不知知道道级级数数的的一一般般项项，无无法法判判断断级级数数的的收收敛敛性性，我我们们只只能能要要求求级级数数已已知知项

13、项中中，后项远小于前项。由此我们得到微扰理论适用条件是：后项远小于前项。由此我们得到微扰理论适用条件是：这这就就是是本本节节开开始始时时提提到到的的关关于于 H H 很很小小的的明明确确表表示示式式。当当这这一一条条件件被被满满足足时时，由由上上式式计计算算得得到到的的一一级级修修正通常可给出相当精确的结果。正通常可给出相当精确的结果。（四）微扰理论适用条件（四）微扰理论适用条件微扰适用条件表明：微扰适用条件表明：（2 2）|E|En n(0)(0)E Ek k(0)(0)|要大，即能级间距要宽。要大，即能级间距要宽。例如：在库仑场中，体系能量（能级）与量子数例如：在库仑场中，体系能量（能级）

15、 2）展开系数）展开系数 H Hk nk n/(E/(E n n(0)(0)-E-E k k(0)(0)表明第表明第k k个未扰动态矢个未扰动态矢|k k(0)(0)对第对第n n个扰动态矢个扰动态矢|n n 的贡献有多大。展开系数反比于扰动前状态间的的贡献有多大。展开系数反比于扰动前状态间的能量间隔，所以能量最接近的态能量间隔，所以能量最接近的态|k k(0)(0)混合的也越强。因此态矢一阶修混合的也越强。因此态矢一阶修正无须计算无限多项。正无须计算无限多项。（3 3）由）由E En n=E=E n n(0)(0)+H+Hn nn n可知，扰动后体系能量是由扰动前第可知，扰动后体系能量是由扰

16、动前第n n态能态能量量E E n n(0)(0)加上微扰加上微扰HamiltonHamilton量量 H H在未微扰态在未微扰态|n n(0)(0)中的平均值组成。中的平均值组成。该值可能是正或负，引起原来能级上移或下移。该值可能是正或负，引起原来能级上移或下移。（4 4）对满足适用条件）对满足适用条件微微扰扰的的问问题题，通通常常只只求求一一阶阶微微扰扰其其精精度度就就足足够够了了。如如果果一一级级能能量量修修正正HHn n n n =0 0 就就需需要要求求二二级级修修正正，态态矢求到一级修正即可。矢求到一级修正即可。（5 5）在在推推导导微微扰扰理理论论的的过过程程中中，我我们们引引入

17、入了了小小量量，令令：H H=HH(1)(1)只只是是为为了了便便于于将将扰扰动动后后的的定定态态SchrodingerSchrodinger方方程程能能够够按按的的幂幂次次分分出出各各阶阶修修正正态态矢矢所所满满足足的的方方程程，仅仅此此而而已已。一一旦旦得得到到了了各各阶阶方方程程后后，就就可可不不用用再再明明显显写写出出，把把H(1)理解为理解为H 即可，即可，因此在以后讨论中，就不再明确写出这一小量。因此在以后讨论中，就不再明确写出这一小量。（1）在一阶近似下：在一阶近似下：（五）讨论（五）讨论例例1.1.一一电电荷荷为为 e e 的的线线性性谐谐振振子子，受受恒恒定定弱弱电电场场作作

18、用用。电电场沿场沿 x x 正向，用微扰法求体系的定态能量和波函数。正向，用微扰法求体系的定态能量和波函数。解：解：（1）电谐振子振子Hamilton 量量将将 Hamilton Hamilton 量分成量分成H H0 0+H +H 两部分，在弱电场下，上式最后两部分，在弱电场下，上式最后一项很小，可看成微扰。一项很小，可看成微扰。（2 2）写出）写出 H H0 0 的本征的本征值和本征函数和本征函数 E E(0)(0),n n(0)(0)（3）计算算 En(1)上式积分等于上式积分等于 0 0 是因为被积函数为奇函数所致。是因为被积函数为奇函数所致。（六）实例（六）实例（4 4）计算能量算能

19、量二二级修正修正欲计算能量二级修正，欲计算能量二级修正，首先应计算首先应计算 H Hk n k n 矩阵元。矩阵元。利用线性谐振子本征函数的递推公式：利用线性谐振子本征函数的递推公式：对谐振子有；振子有；E En n(0)(0)-E-En-1n-1(0)(0)=,E En n(0)(0)-E-En+1n+1(0)(0)=-=-，代入代入由此式可知，能级移动与由此式可知，能级移动与 n n 无关，无关，即与扰动前振子的状态无关。即与扰动前振子的状态无关。（6 6）讨论：1.1.电谐振子问题亦可在粒子数表象中求解微扰矩阵元电谐振子问题亦可在粒子数表象中求解微扰矩阵元计算二算二级修正：修正：代入能

20、量二代入能量二级修正公式：修正公式：2.2.电谐振子的精确解振子的精确解实际上这个问实际上这个问题是可以精确题是可以精确求解的，只要求解的，只要我们将体系我们将体系HamiltonHamilton量作量作以下整理：以下整理：其其中中x x=x x e/e/2 2 ，可可见见，体体系系仍仍是是一一个个线线性性谐谐振振子子。它它的的每每一一个个能能级级都都比比无无电电场场时时的的线线性性谐谐振振子子的的相相应应能能级级低低ee2 22 2 /222 2 ，而而平平衡衡点点向向右移动了右移动了e/e/2 2 距离。距离。由由于于势势场场不不再再具具有有空空间间反反射射对对称称性性，所所以以波波函函数

21、数没没有有确确定定的的宇宇称称。这这一一点点可可以以从从下下式式扰扰动动后后的的波波函数函数n n已变成已变成n n(0)(0),n+1n+1(0)(0),n-1n-1(0)(0)的叠加看出。的叠加看出。例例2.设Hamilton量的量的矩矩阵形式形式为：（1 1）设）设c 1c 1，应用微扰论求，应用微扰论求H H本征值到二级近似；本征值到二级近似；（2 2）求）求H H 的精确本征值；的精确本征值；（3 3）在怎样条件下，上面二结果一致。）在怎样条件下，上面二结果一致。解：解：（1 1）c 1c 1，可取，可取 0 0 级和微扰级和微扰 Hamilton Hamilton 量分别为：量分别

22、为：H H0 0 是是对对角角矩矩阵阵，是是Hamilton Hamilton H H0 0在在自自身身表表象象中中的的形形式式。所所以以能能量量的的 0 0 级近似为：级近似为：E E1 1(0)(0)=1 =1 E E2 2(0)(0)=3 E=3 E3 3(0)(0)=-2=-2由非简并微扰公式由非简并微扰公式得能量一得能量一级修正：修正：能量二能量二级修正修正为：准确到二准确到二级近似的能量近似的能量本征本征值为：设设 H H 的本征值是的本征值是 E E，由久期方程可解得：，由久期方程可解得：解得：解得：(3)将准确解按将准确解按 c(,|n 2,.,|n k|n1,|n 2,.,|

23、n k n=满足本征方程：足本征方程：于于是是我我们们就就不不知知道道在在k k个个本本征征函函数数中中究究竟竟应应取取哪哪一一个个作作为为微微扰扰波波函函数数的的 0 0 级级近近似似。所所以以在在简简并并情情况况下下，首首先先要要解解决决的的问问题题是是如如何何选选取取 0 0 级级近近似似波波函函数数的的问问题题，然然后后才才是是求求能能量量和和波波函函数的各级修正。数的各级修正。0 0 级近似波函数肯定应从这级近似波函数肯定应从这k k个个|n|n 中挑选，而它应满中挑选，而它应满足上节按足上节按幂次分类得到的方程：幂次分类得到的方程：共共轭方程方程（一）简并微扰理论（一）简并微扰理

25、零，即解此久期方程解此久期方程可得能量的一级修正可得能量的一级修正E En n(1)(1)的的k k个根：个根：E En n(1)(1),=1,2,.,k.=1,2,.,k.因因为为 E En n =E=En n(0)(0)+E+E(1)(1)n n 所以，所以，若这若这k k个根都不相等，那末一级微扰就可以将个根都不相等，那末一级微扰就可以将 k k 度简并完全消除；度简并完全消除；若若E En n (1)(1)有几个重根，则表明简并只是部分消除，有几个重根，则表明简并只是部分消除，必须进一步考虑二级修正才有可能使能级完全分裂开来。必须进一步考虑二级修正才有可能使能级完全分裂开来。为为了了

26、确确定定能能量量 E En n 所所对对应应的的0 0级级近近似似波波函函数数，可可以以把把 E E(1)(1)n n 之之值值代代入入线线性性方方程程组组从从而而解解得得一一组组c c (=1,2,.,k.)1,2,.,k.)系系数数，将该组系数代回展开式就能够得到相应的将该组系数代回展开式就能够得到相应的 0 0 级近似波函数。级近似波函数。为为了了能能表表示示出出 c c 是是对对应应与与第第个个能能量量一一级级修修正正 E En n (1)(1)的的一一组组系系数数，我我们们在在其其上上加加上上角角标标而而改改写写成成 c c 。这这样样一一来来，线线性性方方程程组组就改写成：就改

27、写成：例例1.1.氢原子一级氢原子一级 Stark Stark 效应效应（1 1）Stark Stark 效应效应氢原子在外电场作用下产生谱线分裂现象称为氢原子在外电场作用下产生谱线分裂现象称为 Stark 效应。效应。我我们们知知道道电电子子在在氢氢原原子子中中受受到到球球对对称称库库仑仑场场作作用用，造造成成第第n n 个个能能级级有有 n n2 2 度度简简并并。但但是是当当加加入入外外电电场场后后，由由于于势势场场对对称称性性受受到到破破坏坏，能能级级发发生生分分裂裂，简简并并部部分分被被消消除除。Stark Stark 效应可以用简并情况下的微扰理论予以解释。效应可以用简并情况下的微

28、扰理论予以解释。（2 2）外电场下氢原子）外电场下氢原子 Hamilton Hamilton 量量取外电场沿取外电场沿 z z 正向。通常外电场强度比原子内部电场强度小得多，正向。通常外电场强度比原子内部电场强度小得多，例如例如,强电场强电场 10 107 7 伏伏/米，米，而而原子内部电场原子内部电场 10 101111 伏伏/米，二者相差米，二者相差 4 4个量级。个量级。所以我们可以把外电场的影响作为微扰处理。所以我们可以把外电场的影响作为微扰处理。（二）实例（二）实例（3 3）H H0 0 的本征的本征值和本征函数和本征函数下面我下面我们只只讨论 n=2 的情况，的情况，这时简并度并

29、度 n2=4。属于属于该能能级的的4个个简并并态是：是：（4 4）求）求 H H 在各在各态中的矩中的矩阵元元由简并微扰理论知由简并微扰理论知,求解久期方程求解久期方程,须先计算出微扰须先计算出微扰Hamilton Hamilton 量量 H H 在以上各态的矩阵元。在以上各态的矩阵元。我我们碰到角碰到角积分分 Y 需要利用如下公式：需要利用如下公式：于是于是:欲使上式不为欲使上式不为 0，由球谐函数正交归一性，由球谐函数正交归一性要求量子数必须满足如下条件：要求量子数必须满足如下条件：仅当仅当 =1,m=0 时，时，H 的矩阵元才的矩阵元才不为不为 0。因此。因此矩阵元中只有矩阵元中只

30、有 H12,H21 不等于不等于0。因为因为所以所以（5 5）能量一）能量一级修正修正将将 H H 的矩阵的矩阵元代入久期方程：元代入久期方程：解得解得 4 4 个根：个根：由由此此可可见见，在在外外场场作作用用下下，原原来来 4 4 度度简简并并的的能能级级 E E2 2(0)(0)在在一一级级修修正正下下，被被分分裂裂成成 3 3 条条能能级级，简简并并部部分分消消除除。当当跃跃迁迁发发生生时时，原原来来的的一一条条谱谱线线就就变变成成了了 3 3 条条谱谱线线。其其频频率率一一条条与与原原来来相相同同，另外两条中一条稍高于一条稍低于原来频率。另外两条中一条稍高于一条稍低于原来频率。（6

31、6）求）求 0 0 级近似波函数近似波函数分分别将将 E2(1)的的 4 个个值代入方程代入方程组：得得四四元一次线性方程组元一次线性方程组E2(1)=E21(1)=3ea0 代入上面方程，得：代入上面方程，得：所以相所以相应于能于能级 E2(0)+3ea0 的的 0 级近似波函数是：近似波函数是：E2(1)=E22(1)=-3ea0 代入上面方程，得：代入上面方程，得：所以相所以相应于能于能级 E(0)2-3ea0 的的 0 级近似波函数是：近似波函数是：E2(1)=E23(1)=E24(1)=0，代入上面方程，得：，代入上面方程，得：因此相因此相应与与 E2(0)的的 0 级近似波函数

32、可以按如下方式构成：近似波函数可以按如下方式构成：我我们不不妨妨仍仍取取原原来来的的0 0级波波函数，即令：函数，即令：（7 7）讨论上述结果表明，若氢原子处于上述结果表明，若氢原子处于 0 0 级近似态级近似态 1 1(0)(0),2 2(0)(0),3 3(0)(0),4 4(0)(0),那那末末，氢氢原原子子就就好好象象具具有有了了大大小小为为 3ea3ea0 0 的的永永久久电电偶偶极极矩矩一一般般。对对于于处处在在1 1(0)(0),2 2(0)(0)态态的的氢氢原原子子，其其电电矩矩取取向向分分别别与与电电场场方方向向平平行行和和反反平平行行；而而对对于于处处在在3 3(0)(0)

33、,4 4(0)(0)态态的的氢氢原原子，其电矩取向分别与电场方向垂直。子，其电矩取向分别与电场方向垂直。例例2.2.有有一一粒粒子子，其其 Hamilton Hamilton 量量的的矩矩阵形形式式为：H H=H H0 0 +HH，其中其中求能求能级的一的一级近似和波函数的近似和波函数的0级近似。近似。解：解：H H0 0 的本征值问题是三重简并的，这是一个简并微扰问题。的本征值问题是三重简并的，这是一个简并微扰问题。E E(1)(1)(E(E(1)(1)2 2-2 2 =0 =0解得：解得：E(1)=0,.记为：E E1 1(1)(1)=-=-E E2 2(1)(1)=0 =0 E3(1)=

34、+故能故能级一一级近近似：似：简并完全消除并完全消除(1)(1)求本征能量求本征能量由久期方程由久期方程|H-E|H-E(1)(1)I|=0 I|=0 得：得：(2)求解求解 0 级近似波函数级近似波函数将将E1(1)=代入方程，得：代入方程，得：由归一化条件：由归一化条件：则则将将E2(1)=0 代入方程，得：代入方程，得：则则由归一化条件：由归一化条件：（1 1）新）新 0 0 级波函数的正交波函数的正交归一性一性1.1.正交性正交性取复共厄取复共厄改改记求和指求和指标，（三）讨论（三）讨论对应于于E En n =E En n(0)(0)+E En n(1)(1)和和 E En n =E

35、 En n(0)(0)+E En n(1)(1)的的 0 0 级近近似似本本征函数分征函数分别为：由由(3)式式上式表明，新上式表明，新 0 级近似波函数近似波函数满足正交条件。足正交条件。2.2.归一性一性对于同一能量，即角于同一能量，即角标 =，则上式上式变为：Eq.(3)Eq.(3)和和Eq.(4)Eq.(4)合合记之之为：由于新由于新 0 0 级近近似波函似波函数数应满足足归一一化条件，化条件，（2 2）在新）在新 0 0 级近似波函数级近似波函数|n n(0)(0)为基矢的为基矢的 k k 维维子空间中，子空间中，HH从从而而 H H的矩阵形式是对角化的。的矩阵形式是对角化的

36、。证：上上式式最最后后一一步步利利用用了了Eq.(5)Eq.(5)关关系系式式。所所以以 HH在在新新0 0级级近近似波函数为基矢的表象中是对角化的。似波函数为基矢的表象中是对角化的。证毕证毕因因为为 H H0 0在在自自身身表表象象中中是是对对角角化化的的，所所以以在在新新0 0级级近近似似波波函函数数为为基基矢矢的的表表象象中中也也是是对对角角化化的的。当当 =时，上式给出如下关系式：时，上式给出如下关系式：也也就就是是说说，能能量量一一级级修修正正是是 HH在在新新 0 0 级级波波函函数数中中的的平平均均值值。这这一一结结论论也也是是预预料料之之中中的的事事。求求解解简简并并微微扰扰

37、问问题题，从从本本质质上上讲讲就就是是寻寻找找一一么么正正变变换换矩矩阵阵 S S，使使 HH从从而而 H H 对对角角化化。求求解解久久期期方程和线性方程组就是寻找这一么正变换矩阵的方法。方程和线性方程组就是寻找这一么正变换矩阵的方法。例如：前面讲到的例例如：前面讲到的例 2 2应用用简并微并微扰论解得的新解得的新 0 级近似波函数是：近似波函数是：这这是是新新 0 0 级级近近似似波波函函数数在在原原简简并并波波函函数数i i i i =1,2,3.1,2,3.为基矢所张开的子空间中的矩阵表示，即为基矢所张开的子空间中的矩阵表示，即我我们求解求解就就是是为为了了寻寻找找一一个个么么正正变变

38、换换 S S，使使原原来来的的 H H=H H0 0 +H H 在在以以 i i 为为基基矢矢的的表表象象中中的的表表示示变变到到 (0)(0)为为基基矢矢的的表表象象中中，从从而而使使H H 对角化。对角化。根据表象理根据表象理论，若，若(0)(0)在以在以i i为基矢的表象中的形式由下式基矢的表象中的形式由下式给出，出，则由由表象到表象到(0)(0)表象的么正表象的么正变换矩矩阵为：其逆矩其逆矩阵HH从从表象表象变到到(0)(0)表象由下式表象由下式给出：出：假定假定 H H0 0 的本征的本征函数函数 n n 满足：满足：H H0 0 的定态波函数可以写为：的定态波函数可以写为：n n

39、=n n exp-i exp-in nt/t/满足左边含时满足左边含时 S-S-方程：方程：定态波函数定态波函数 n n 构成正交完备系，构成正交完备系，整个体系的波函数整个体系的波函数可按可按 n n 展开：展开：代代入入因因 H(t)H(t)不含对时间不含对时间 t t 的偏导数算符的偏导数算符,故可故可与与 a an n(t)(t)对易。对易。相相消消（二）含时微扰理论（二）含时微扰理论以以 m*左乘上式后左乘上式后对全空间积分对全空间积分该式是通过展开式该式是通过展开式改写而成的改写而成的 SchrodingerSchrodinger方程的另一种形式。仍是严格的。方程的另一种形

40、式。仍是严格的。求解方法同定态微扰中使用的方法：求解方法同定态微扰中使用的方法：（1）引）引进一个参量一个参量，用，用 H 代替代替 H（在最后（在最后结果中再令果中再令 =1）；）；（2）将）将 an(t)展开成下列展开成下列幂级数；数；（3）代入上式并按）代入上式并按幂次分次分类；(4)(4)解这组方程，我们可得到关于解这组方程，我们可得到关于a an n 的各级近似解，近而得到波函数的各级近似解，近而得到波函数的近似解。实际上，大多数情况下，的近似解。实际上，大多数情况下，只求一级近似就足够了。只求一级近似就足够了。（最后令（最后令 =1=1，即用，即用 H Hmnmn代替代替 HH

41、mnmn，用，用a a m m(1)(1)代替代替 a a m m(1)(1)。）。）零级近似波函数零级近似波函数 a am m(0)(0)不随时不随时间变化，它由未微扰时体系间变化，它由未微扰时体系所处的初始状态所决定。所处的初始状态所决定。假假定定t t 0 0 时时，体体系系处处于于 H H0 0 的的第第 k k 个个本本征征态态 k k。而且由于而且由于 exp-i exp-i n n t/t/|t=0t=0=1=1，于是有：，于是有：比比较等式两等式两边得得比较等号两边同比较等号两边同幂次项得：幂次项得：因因 a an n(0)(0)不随时间变化，所以不随时间变化，所以a

42、an n(0)(0)(t)=a(t)=an n(0)(0)(0)=(0)=nknk。t t 0 0 后加入微扰，则第一级近似：后加入微扰，则第一级近似：a an n(0)(0)(t)=(t)=n kn k2 2 量子跃迁几率量子跃迁几率返回返回（一）跃迁几率（一）跃迁几率（二）一阶常微扰（二）一阶常微扰（三）简谐微扰（三）简谐微扰（四）实例（四）实例（五）能量和时间测不准关系（五）能量和时间测不准关系体系的某一状态体系的某一状态t t 时刻发现体系处于时刻发现体系处于 m m 态态的几率等于的几率等于|a|a m m(t)|(t)|2 2am(0)(t)=mk末态不等于初态时末态不等于初态时

43、mkmk=0=0，则，则所以体系在微扰作用下由初态所以体系在微扰作用下由初态 k k 跃迁到末态跃迁到末态 m m 的的几率在一级近似下为：几率在一级近似下为：（一）跃迁几率（一）跃迁几率（1 1）含时）含时 Hamilton Hamilton 量量设设 H H 在在 0 0 t t t t1 1 这段时间之内不为零，但与时间无关，这段时间之内不为零，但与时间无关，即：即：（2 2）一级微扰近似）一级微扰近似 a am m(1)(1)HHmk mk 与与 t t 无关无关 (0(0 t t t t1 1)（二）一阶常微扰（二）一阶常微扰（3 3）跃迁几率和跃迁速率）跃迁几率和跃迁速率极限公式：

44、极限公式：则当则当t t 时时上式右第二个分式有如下极限值：上式右第二个分式有如下极限值：于是：于是：跃迁速率：跃迁速率：（4 4）讨论）讨论1.1.上式表明上式表明，对于常微扰，在作用时间相当长的情况下，跃迁，对于常微扰，在作用时间相当长的情况下，跃迁速率将与时间无关，且仅在能量速率将与时间无关，且仅在能量m m k k，即在初态能量的小，即在初态能量的小范围内才有较显著的跃迁几率。范围内才有较显著的跃迁几率。在在常常微微扰扰下下，体体系系将将跃跃迁迁到到与与初初态态能能量量相相同同的的末末态态，也也就就是是说说末态是与初态不同的状态，但能量是相同的。末态是与初态不同的状态，但能量是相同的

45、。2.2.式中的式中的(m m-k k)反映了跃迁过程的能量守恒。反映了跃迁过程的能量守恒。3.3.黄金定则黄金定则设设体体系系在在m m附附近近ddm m范范围围内内的的能能态态数数目目是是(m m)ddm m，则则跃迁到跃迁到m m附近一系列可能末态的跃迁速率为：附近一系列可能末态的跃迁速率为：（1 1）Hamilton Hamilton 量量t=0 t=0 时加入一个简谐时加入一个简谐振动的微小扰动：振动的微小扰动：为便于讨论，将上为便于讨论，将上式改写成如下形式式改写成如下形式F 是与 t无关只与 r 有关的算符（2 2）求）求 a am m(1)(1)(t)(t)H(t)H(t)

46、在在 H H0 0 的第的第 k k 个和第个和第 m m 个本征个本征态态 k k 和和 m m 之间的微扰矩阵元是：之间的微扰矩阵元是：（三）简谐微扰（三）简谐微扰（2 2）几点分析）几点分析(I)(I)当当=mk mk 时，微扰频率时，微扰频率与与 Bohr Bohr 频率相等时，上式第二项频率相等时，上式第二项分子分母皆为零。求其极限得：分子分母皆为零。求其极限得：第二项起第二项起主要作用主要作用(II)(II)当当=mk mk 时，同理有：时，同理有：第一项起第一项起主要作用主要作用(III)(III)当当 mk mk 时，两项都不随时间增大时，两项都不随时间增大总之，仅当总

47、之，仅当 =mkmk=(=(m m k k)/)/或或m m=k k 时，出现明显跃迁。这就是说，仅时，出现明显跃迁。这就是说，仅当外界微扰含有频率当外界微扰含有频率mkmk时，体系才能从时，体系才能从k k态跃迁到态跃迁到m m态，这时体系吸收或发射的能量是态，这时体系吸收或发射的能量是 mk mk。这说明。这说明我们讨论的跃迁是一种共振现象。我们讨论的跃迁是一种共振现象。因此我们只需讨论因此我们只需讨论 mk mk 的情况即可。的情况即可。（3 3）跃迁几率）跃迁几率当当 =m m k k 时时，略去第一项，则略去第一项，则此此式式与与常常微微扰扰情情况况的的表表达达式式类类似似，只只需需

48、作作代代换换：H H mkmk F Fmk mk,mkmk mkmk-，常常微微扰扰的的结结果果就就可可直直接接引引用用，于于是是得得简简谐谐微微扰情况下的跃迁几率为：扰情况下的跃迁几率为：同理，同理，对于对于 =-=-m km k 有：有：二式合二式合记之：记之：（4 4）跃迁速率）跃迁速率或：或：（5 5）讨论）讨论1.(1.(m m-k k )描写了能量守恒：描写了能量守恒：m m-k k =0=0。2.2.k k m m 时，跃迁速率可写为：时，跃迁速率可写为：也就是说，仅当也就是说，仅当 m m=k k-时跃迁几率才不为零，此时时跃迁几率才不为零，此时发射能量为发射能量为的光子。的

49、光子。3.3.当当k k 0 t 0 时，附加一与振子振动方向相同时，附加一与振子振动方向相同的恒定外电场的恒定外电场，求谐振子处在任意态的几率。，求谐振子处在任意态的几率。解：解：t=0 时，振子振子处于基于基态，即即 k=0。式中式中 m,1 m,1 符号表明，只有符号表明，只有当当 m=1 m=1 时，时，a am m(1)(1)(t)0(t)0，（四）实例（四）实例所以所以结论：外加电场后，谐振子从基态结论：外加电场后，谐振子从基态0 0跃迁到跃迁到1 1态的几态的几率是率是 W W0101，而从基态跃迁到其他态的几率为零。，而从基态跃迁到其他态的几率为零。例例2.2.量子体系其

50、本征能量为：量子体系其本征能量为：E E0 0,E,E1 1,.,E,.,En n,.,.，相应本征态分别是：，相应本征态分别是：|0,|1,.,|n,.|0,|1,.,|n,.，在在t 0 t 0 时处于基态。在时处于基态。在 t=0 t=0 时刻加上微扰：时刻加上微扰：试证：长时间后，该体系处于另一能量本征态试证：长时间后，该体系处于另一能量本征态|1|1的几率为：的几率为：并指出成立的条件。并指出成立的条件。证：因为因为 m=1,k=0m=1,k=0，所以：，所以：代入上代入上式得：式得：当当 t (t )t (t )时：时：此式成立条件就是微扰此式成立条件就是微扰法成立条件，法成立条件

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