第五章量子力学.ppt

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1、1900年年1913年年 早期时期早期时期1900年年 普朗克普朗克为了克服经典理论解释为了克服经典理论解释黑体辐射黑体辐射规律的困难，提规律的困难，提出了出了能量子能量子的概念。的概念。1905年年 爱因斯坦爱因斯坦针对针对光电效应光电效应实验与理论的矛盾规律的困实验与理论的矛盾规律的困难，提出了难，提出了光量子光量子的概念。的概念。1907年年 爱因斯坦爱因斯坦成功地将成功地将能量子能量子地概念应用于固体比热。地概念应用于固体比热。经典理论遇见的两个问题：经典理论遇见的两个问题：1）光（电磁波）的量子性质问题）光（电磁波）的量子性质问题 2）原子结构问题）原子结构问题量子力学发展的三个时期

2、：量子力学发展的三个时期：一一 量子力学的发展的历史概述量子力学的发展的历史概述量子力学量子力学:是研究是研究微观粒子（电子、原子、分子、质子、中子）微观粒子（电子、原子、分子、质子、中子）运动规律的一种基础理论。运动规律的一种基础理论。中期时期中期时期 19131925光的波粒二象性光的波粒二象性：1916年年爱因斯坦爱因斯坦提出光的波粒二象性提出光的波粒二象性1916年年密立根密立根光电效应实验，光电效应实验，1923年年康谱顿康谱顿X射线的散射实验射线的散射实验物质波物质波：1923年提出，年提出，德布罗意德布罗意后期后期 19251928海森堡海森堡 测不准原理测不准原理 波恩波恩 波

3、函数的几率解释波函数的几率解释 薛定谔薛定谔方程，方程，狄拉克狄拉克1907年年 玻尔玻尔在卢瑟福有核模型的基础上应用在卢瑟福有核模型的基础上应用量子化量子化概念，概念，对氢光谱作出满意的解释。对氢光谱作出满意的解释。1 黑体辐射问题黑体辐射问题 热辐射热辐射:从热物体表面辐射出的电磁波能量。其辐射的光谱分布从热物体表面辐射出的电磁波能量。其辐射的光谱分布和能量大小主要取决于发射物体表面温度。和能量大小主要取决于发射物体表面温度。.1)冶金高温测量技术及天文学等方面的需要，推动了对热辐射的研究到19世纪末，已认识到热辐射与光辐射都是电磁波2)基尔霍夫定律基尔霍夫定律 对于给定温度，腔内所有物体

4、的发射功率与吸收功率的比值对于给定温度，腔内所有物体的发射功率与吸收功率的比值都相同，且等于腔内的辐照度。都相同，且等于腔内的辐照度。I：腔内热辐射的辐照度。：腔内热辐射的辐照度。H：物体的辐射功率。：物体的辐射功率。b：物体吸收：物体吸收入射功率的比例。入射功率的比例。TI结论：良好的吸收体也是良好的发射体结论：良好的吸收体也是良好的发射体3)黑体黑体：（：（基尔霍夫提出）基尔霍夫提出）是指理想的吸收体。是指理想的吸收体。b1。故黑。故黑体又是最有效的发射体。体又是最有效的发射体。4)黑体辐射的理想模型黑体辐射的理想模型：闭合的腔内开一个小孔，且腔壁保：闭合的腔内开一个小孔，且腔壁保持恒定温

5、度，则小孔的辐射流和理想黑体一样。持恒定温度，则小孔的辐射流和理想黑体一样。TI表示空腔单位体积中频率在表示空腔单位体积中频率在(，十十d)间的辐射能量间的辐射能量a)维恩公式维恩公式(1896年年)5)开始研究辐射能量庄不同频率范围中的分布问题，特别是对黑体(空窖)辐射进行了较深入的理论上和实验上的研究注意：wien的黑体辐射公式在低频部分与实验结果有明显偏离b)瑞利金斯公式瑞利金斯公式（1900年，年，1905年）年）c)普朗克公式普朗克公式（1900年年）历史上，量子理论是首先在黑体辐射问题上突破的 P1anck在解决此间题的探索中，提出了(1900年l 0月19日)一个新的黑体辐射公式

6、(Planck公式)一方面由于Planck公式与实验的惊人符合，另一方面由于公式十分简单，在实验物理学家的鼓励下，Planck进一少去探索这公式所蕴合的更深刻的本质 经过近两个月紧张努力，他发现(1900年12月4日)，如果作下列假设，就可以从理论上推出他找到的黑体辐射的公式。普朗克能量的量子化概念普朗克能量的量子化概念(1）振子能量量子化。一个本征频率为）振子能量量子化。一个本征频率为的振子的能量不是任的振子的能量不是任意可取意可取值值的，而只能取一系列分立的，而只能取一系列分立值值之一。之一。h：普朗克常数：普朗克常数 2）振子能量变化时，辐射或吸收能量子。振子能量只能从它的某）振子能量变

7、化时，辐射或吸收能量子。振子能量只能从它的某个量子能态改变到另一个量子能态，并同时辐射或吸收能量子。个量子能态改变到另一个量子能态，并同时辐射或吸收能量子。n:正整数，量子数正整数，量子数种吸收或发射电磁辐射能量的石连续性概念，在经典力学即是无法理解的所以尽管P1anck的假设可以解释他的与实验符合得作常好的公式，却并末引起很多人的注意。2 光电效应1)什么是什么是光电效应光电效应？金属表面被光照射放出电子的现象，实金属表面被光照射放出电子的现象，实质是电磁波将能量传给金属内的电子，使得电子逃逸出金属质是电磁波将能量传给金属内的电子，使得电子逃逸出金属以外。以外。1887年年 由赫兹由赫兹 在

8、在研究电磁场的波动性研究电磁场的波动性时时发现的发现的 1896年，汤逊，通过气体放电现象及阴极射线的研究发现了电子2）光电效应的基本现象：）光电效应的基本现象：(a)对于一定的金属材料做成的对于一定的金属材料做成的(表面光洁的表面光洁的)电极，电极，存在存在一个一个确定的临界频率确定的临界频率，当照射光频率当照射光频率小于小于临界频临界频 时，无论光的强度多时，无论光的强度多大，不会观测到光电子从电极上逸出大，不会观测到光电子从电极上逸出。(b)每个光电每个光电子子的能量只与照射光的频率的能量只与照射光的频率 有关而与光有关而与光的的强度无关强度无关 强度只影响到光电流的强度，即单位时间从电

9、极单位面积强度只影响到光电流的强度，即单位时间从电极单位面积逸逸出出的电子的数目的电子的数目。c）当照射光频率当照射光频率小大于小大于临界频临界频 时，无论光的强度多时，无论光的强度多弱，几乎弱，几乎立即（立即（10-9s）观测到光电子从电极上逸出观测到光电子从电极上逸出。3)爱因斯坦爱因斯坦光量子光量子假说假说(1905年年)频率为频率为r的光是由能量的光是由能量 的一群微粒构成。的一群微粒构成。4)光电效应的解释光电效应的解释5)爱因斯坦光电效应的实验验证爱因斯坦光电效应的实验验证(a)密立根完成了精确的光电效应实验，测得密立根完成了精确的光电效应实验，测得h值和黑体辐射值和黑体辐射中的中

10、的h值相等。值相等。光量子概念及光量子概念及P1anckP1anck爱因斯坦关系式，在后来爱因斯坦关系式，在后来(1923)(1923)的的ComptonCompton散射实验中得到了直接的证实。散射实验中得到了直接的证实。早在早在I912I912年年C.AC.Asadler M.Meshansadler M.Meshan就发现就发现X X射线被轻原子量的射线被轻原子量的物质散射后，波长有物质散射后，波长有变长变长的现象。的现象。Compton建议把这种现象看成建议把这种现象看成X X射线的射线的光子光子与与电子碰撞电子碰撞而产生而产生的。的。假设在碰撞过程中假设在碰撞过程中能量与动量是守恒能

11、量与动量是守恒的，由于反冲，电子带的，由于反冲，电子带定一部分能量与动量，因而散射出去的光子的能量与动量都定一部分能量与动量，因而散射出去的光子的能量与动量都相应减小，即相应减小，即x x射线频率变小而波长增大。射线频率变小而波长增大。2)Compton散射实验散射实验在碰撞前电子速度很小，可视为静止。而且电子在原子中的束在碰撞前电子速度很小，可视为静止。而且电子在原子中的束缚能，相对于缚能，相对于X X射线束中的光子能量，也很小，因此可视为自由射线束中的光子能量，也很小，因此可视为自由电子。电子。考虑到动量守恒律的要求，光子与电子的碰撞只能发生在一个考虑到动量守恒律的要求，光子与电子的碰撞只

12、能发生在一个平面中。平面中。光子能量光子能量光子动量光子动量动量守恒动量守恒能量守恒能量守恒入射光子入射光子散射光子散射光子散射电子散射电子解得：解得：结论：与实验结果非常一致。则结论：与实验结果非常一致。则光子假设是正确的光子假设是正确的。固体中每个原于在其平衡位置附近作小振动，固体中每个原于在其平衡位置附近作小振动，可以看成是只有三个自由度的粒子。按照经典可以看成是只有三个自由度的粒子。按照经典统计力学，其平均动能与势能均为统计力学，其平均动能与势能均为3/2)KT，总，总能量为能量为3KT 因此，一克原子固体物质的平因此，一克原子固体物质的平均热能为均热能为3NKT3RT(N6.0231

13、023是摩尔是摩尔数。数，数。数，RNK称为气体常数称为气体常数)。因此，固休。因此，固休的定容比热为的定容比热为 Cv3R3 固体比热固体比热 但实际上当温度极低时，固体的比热都趋近于零 爱因斯坦1905年，利用能量子概念解决这个问题4 玻尔的氢原子理论最原始的最原始的光谱分析光谱分析始于牛顿始于牛顿(17世纪世纪)，但直到，但直到1 9世纪中叶，世纪中叶，人们把它应用于生产后才得到迅速发展人们把它应用于生产后才得到迅速发展RwBunsen，GKirchhoff等人开始利用不同元素所特有的标等人开始利用不同元素所特有的标志谱线来做微量元素的成分分析元素志谱线来做微量元素的成分分析元素銣銣(R

14、b)与与铯铯(Cs)就是根据光就是根据光谱分析发现的谱分析发现的 1)光谱分析2)单色波单色波 复合波复合波具有一定频率的电磁波叫单色波具有一定频率的电磁波叫单色波由多种单色波组成的电磁波由多种单色波组成的电磁波3)波谱波谱电磁波的强度随频率的分布叫做该电磁波的波谱电磁波的强度随频率的分布叫做该电磁波的波谱可见光可见光 380nm 780nm5)发射光谱发射光谱种类种类:线状光谱、带状光谱、连续光谱线状光谱、带状光谱、连续光谱线状光谱：光谱为一条条孤立的谱线。自由的中性原子和离子线状光谱：光谱为一条条孤立的谱线。自由的中性原子和离子带状光谱：由许多频率相差很小的分立谱线密集而成的自由分子带状光

15、谱：由许多频率相差很小的分立谱线密集而成的自由分子连续光谱：含有广阔频率范围内所有可能频率的电磁波。连续光谱：含有广阔频率范围内所有可能频率的电磁波。加热后固体和稠密气体发射的光谱，又叫热辐射。加热后固体和稠密气体发射的光谱，又叫热辐射。4)发射光谱发射光谱:物质辐射的电磁波波谱叫做该物体的反射光谱。发射谱的物质辐射的电磁波波谱叫做该物体的反射光谱。发射谱的性质和发射体的类别、性质和状态有关。性质和发射体的类别、性质和状态有关。46）氢原子光谱的实验规律氢原子光谱的实验规律氢原子光谱有如下几个系列：氢原子光谱有如下几个系列：自1885年，Balmer发现 氢原子可见光谱线的波数具有7）氢原子光

16、谱的特点氢原子光谱的特点(1)谱线是线状的，且有确定的位置谱线是线状的，且有确定的位置(2)谱线间有一定的关系谱线间有一定的关系(3)谱线间可用谱线间可用 表示表示其中其中T为为光谱项光谱项，氢的光谱项为，氢的光谱项为Thomson（1904）曾经提出如下模型：正电荷均匀分布在原曾经提出如下模型：正电荷均匀分布在原子中子中（原原子子大小一大小一10-8cm)，而电子则作某种有规律的排列，而电子则作某种有规律的排列.这样，人们自然会提出以下一系列问题：这样，人们自然会提出以下一系列问题：原子光谱为什么不是连续分布而是呈分立的线状光谱原子光谱为什么不是连续分布而是呈分立的线状光谱?原子的线状光谱产

17、生的机制是什么原子的线状光谱产生的机制是什么?这些谱线的波长这些谱线的波长(数数)为什么有这样简单的规律为什么有这样简单的规律?光谱项的本质又是什么光谱项的本质又是什么?。卢瑟福原子核模型卢瑟福原子核模型(1911年年)：原子的中心是原子核核外有若干电子：原子的中心是原子核核外有若干电子绕核运动。绕核运动。8）原子原子结构的两种观点结构的两种观点9)经典理论缺点经典理论缺点电子绕核运动必需有向心加速度。经典电磁理论，只要带电粒子电子绕核运动必需有向心加速度。经典电磁理论，只要带电粒子具有加速度，就应当辐射电磁波。电子不断辐射能量，它将越具有加速度，就应当辐射电磁波。电子不断辐射能量，它将越来越

18、接近原子核，最后落在原子核上，使得原子成为一个来越接近原子核，最后落在原子核上，使得原子成为一个不稳不稳定系统定系统。作匀速圆周运动的电子，辐射电磁波频率应当等于圆周运动的频作匀速圆周运动的电子，辐射电磁波频率应当等于圆周运动的频率。电子接近原子核时，其频率将连续变化，原子光谱将是一率。电子接近原子核时，其频率将连续变化，原子光谱将是一个个连续光谱连续光谱。10)玻尔理论玻尔理论(1)电子绕核圆周运动，但轨道是量子化的。不同的量子态具有电子绕核圆周运动，但轨道是量子化的。不同的量子态具有不同的能量。不同的能量。p：电子的广义动量；：电子的广义动量；q：电子的广义坐标；：电子轨道：电子的广义坐标

19、；：电子轨道(2）电子在轨道上，虽有加速度，但不辐射电磁波；当电子从一）电子在轨道上，虽有加速度，但不辐射电磁波；当电子从一个量子态到另一个量子态跃迁时，它能够发射或吸收一个光子。个量子态到另一个量子态跃迁时，它能够发射或吸收一个光子。辐射频率为辐射频率为11)玻尔对氢原子光谱的解释玻尔对氢原子光谱的解释动量动量 ：mv 角动量：角动量：mvr电子运动的牛顿方程电子运动的牛顿方程由由1）和）和2）可得：）可得：电子的总能量电子的总能量玻尔氢光谱玻尔氢光谱结论：玻尔理论很好地解释了氢原子光谱现象结论：玻尔理论很好地解释了氢原子光谱现象6 德布罗意物质波假设光的波动性光的波动性光的波粒二象性光的波

20、粒二象性光的粒子性光的粒子性物质粒子的粒子性物质粒子的粒子性物质粒子的波动性物质粒子的波动性物质粒子的波粒二象性物质粒子的波粒二象性？1 德布罗意提出物质波基础德布罗意提出物质波基础FermatFermat原理原理(亦称最小光程原理亦称最小光程原理)，另一方面，按照经典粒子力学，在势场另一方面，按照经典粒子力学，在势场V V中中运动的一个粒子从点运动的一个粒子从点A A到点到点B B实际上所走轨实际上所走轨道，由道，由MaupertuisMaupertuis的最小作用原理确定，的最小作用原理确定，即即 根据上述根据上述分析与类比分析与类比，德布罗意提出，具有一定能量及，德布罗意提出，具有一定能

21、量及动量的动量的粒子粒子，相当于频率为，相当于频率为和波长为和波长为的的平面波平面波；二；二者之间的关系如同者之间的关系如同光子光子和和光波光波的关系。的关系。2 德布罗意物质波德布罗意物质波3 德布罗意物质波假设的实验验证德布罗意物质波假设的实验验证1）电子衍射实验：）电子衍射实验：1927年，戴维逊（年，戴维逊（Davisson）和革末（）和革末（Germer）电子在晶）电子在晶体表面反射产生的衍射实验：体表面反射产生的衍射实验：汤姆逊（汤姆逊（Thomson）电子通过金属箔获得的电子衍射实验）电子通过金属箔获得的电子衍射实验2）电子干涉实验：）电子干涉实验：1954年缪仁希太尔、杜开尔和

22、年缪仁希太尔、杜开尔和1956年法盖特（年法盖特（Faget）和费）和费尔特（尔特（Fert）4 物质粒子既然是波，为什么人们在过去长期实践中把它们当成物质粒子既然是波，为什么人们在过去长期实践中把它们当成经典粒子，却并没有犯什么错误呢经典粒子，却并没有犯什么错误呢?物质粒子的波动性与光有相似之处。但由于它是一个物质粒子的波动性与光有相似之处。但由于它是一个很小的很小的量，量，实物粒子的波长实际上是很实物粒子的波长实际上是很短短的。在一般宏观条件下，的。在一般宏观条件下，波动性不会表现出来波动性不会表现出来(粒子性是主要矛盾方面粒子性是主要矛盾方面)，所以，所以用经典用经典力学来处型是恰当的力

23、学来处型是恰当的例如，观测例如，观测BrownBrown运动所用的液体中悬浮的微粒，直运动所用的液体中悬浮的微粒，直径约径约1 1m(10m(104 4cm)cm)，质量，质量M M为为101012 12 g g在常温下，其热在常温下，其热运动动能运动动能3/2KT3/2KT。动量。动量所以，波长所以，波长比粒子直径小得很多，因此，波动性是不显著的比粒子直径小得很多，因此，波动性是不显著的5 物质波的两种错误观点（以电子为例）物质波的两种错误观点（以电子为例）1）电子波被理解为电子波被理解为单个电子单个电子的某种实际的某种实际结构结构,即电子被看成在即电子被看成在三维空间连续分布的某种三维空间

24、连续分布的某种物质波包物质波包。2 2）波动性是由于有）波动性是由于有大量的电子大量的电子分布于空间而形成的分布于空间而形成的疏密波疏密波，它，它类似于空气波动出现的纵波，即分子的疏密相间而形成的一种类似于空气波动出现的纵波，即分子的疏密相间而形成的一种分布。分布。因而呈现出干涉与衍射等现象。波包的大小即电子的大小，因而呈现出干涉与衍射等现象。波包的大小即电子的大小，波包的群速度即电子的运动速度。波包的群速度即电子的运动速度。物质波包物质波包的观点显然夸大的观点显然夸大波动性的一面，而实际上抹杀了粒子性的一面，是具有片面波动性的一面，而实际上抹杀了粒子性的一面，是具有片面性的性的这种看法也与实

25、验矛盾。实际上可以做这样的电子衍射实验：这种看法也与实验矛盾。实际上可以做这样的电子衍射实验：使入射的电子流极其微弱，电子几乎是一个一个地通过仪器。使入射的电子流极其微弱，电子几乎是一个一个地通过仪器。但只要时间足够长，则底板上将出现衍射花样。这说明粒子但只要时间足够长，则底板上将出现衍射花样。这说明粒子的波动性并不依存于大量电子聚集在空间一起，的波动性并不依存于大量电子聚集在空间一起，单个电子就单个电子就具有波动性具有波动性6 6 物质波的本质？物质波的本质？（1）在经典力学中谈到一个在经典力学中谈到一个“粒子粒子”时，总意味着这样一个客时，总意味着这样一个客体，体，它具有一定的质量、电荷等

26、属性，此即物质的它具有一定的质量、电荷等属性，此即物质的“颗粒颗粒”；但与此同时，认为它具有一定的但与此同时，认为它具有一定的位置位置，并且在空中运动时有一条，并且在空中运动时有一条确切的轨道确切的轨道，即在每一时刻有一定的位置与速度。，即在每一时刻有一定的位置与速度。“电子既不是粒子，也不是波电子既不是粒子，也不是波”，更确切地说，它既不是经典粒，更确切地说，它既不是经典粒子，也不是经典的波。但我们也可以说子，也不是经典的波。但我们也可以说电子既是粒子，也是波，电子既是粒子，也是波，它是粒子和波动两重性矛盾的统一。它是粒子和波动两重性矛盾的统一。这个波不再是经典概念下的这个波不再是经典概念下

27、的波，粒子也不是经典概念下的粒子。波，粒子也不是经典概念下的粒子。经典粒子和波的概念？经典粒子和波的概念？（2 2）在经典力学中谈到一个）在经典力学中谈到一个“波动波动”时，总是意味着某种实际的时，总是意味着某种实际的物理量物理量的空间分布作用期性的变化的空间分布作用期性的变化(例如，水波、声波、弹性波例如，水波、声波、弹性波)；同时波具有干涉与衍射现象，同时波具有干涉与衍射现象，其本质在于波具有其本质在于波具有叠加性。叠加性。（3）电子所呈现出来的粒子性，只是经典粒子概念中的电子所呈现出来的粒子性，只是经典粒子概念中的“原子性原子性”或或“颗粒性颗粒性”，即总是以具有一定的质量、电荷，即总是

28、以具有一定的质量、电荷等属性；但并不与等属性；但并不与“粒子具有确定的轨道粒子具有确定的轨道”的概念有什么必的概念有什么必然的联系；然的联系；把微观粒于的波动性与粒子性统一起来，更确切地说：微观把微观粒于的波动性与粒子性统一起来，更确切地说：微观粒子的原子性与波的叠加性统一起来，玻尔提出几率波的概粒子的原子性与波的叠加性统一起来，玻尔提出几率波的概念。念。而电子呈现的波动性，也只是波动性中最本质的东西：波而电子呈现的波动性，也只是波动性中最本质的东西：波的叠加性；并不是与某个实际物理量在空间的分布联系在一的叠加性；并不是与某个实际物理量在空间的分布联系在一起。起。二 波函数2 微观粒子的运动状

29、态：微观粒子的运动状态：是应用是应用波函数波函数描述。那么波函数是什么样的形式？描述。那么波函数是什么样的形式？3 自由粒子的波函数自由粒子的波函数1 宏观世界运动状态的描述：宏观世界运动状态的描述：用坐标用坐标x，y，z和和Px，Py，Pz作为作为t的函数来描写质点的运动状态。的函数来描写质点的运动状态。经典力学中波（弹性波或电磁波）的表示方法：经典力学中波（弹性波或电磁波）的表示方法：德布罗意物质波假设自由粒子的波函数自由粒子的波函数4 非自由粒子的波函数非自由粒子的波函数(量子力学基本原理之一量子力学基本原理之一)物理意义：体现了微观粒子的波粒的二向性物理意义：体现了微观粒子的波粒的二向

30、性物理意义：描写的是动量为物理意义：描写的是动量为P，能量为，能量为E的自由粒子的运动状态的自由粒子的运动状态5 波函数的实质波函数的实质微观粒子的状态由波函数所微观粒子的状态由波函数所完全描述完全描述。注意：注意：1）描述微观粒子的运动状态描述微观粒子的运动状态 描述微观粒子的出现的几率。描述微观粒子的出现的几率。（玻（玻恩恩波函数的几率解释）波函数的几率解释）微观粒子的状态由波函数微观粒子的状态由波函数 来描述来描述,其描述大量粒子其描述大量粒子的一次行为的一次行为,或者一个粒子的多次重复行为或者一个粒子的多次重复行为.波函数模的平方波函数模的平方 给出了给出了t时刻在时刻在(x,y,z)

31、点附近点附近dxdydz空间空间找到粒子的几率密度。找到粒子的几率密度。波函数应当是单值、连续和有限的。波函数应当是单值、连续和有限的。3）波函数和C描写的是同一状态。虽然|C|2 比|2大|C|2，但粒子在空间各点的几率分布（相对分布）并没有变化但粒子在空间各点的几率分布（相对分布）并没有变化5）完全描写表示只要给出波函数，就确定了微观粒子的状态，完全描写表示只要给出波函数，就确定了微观粒子的状态，不仅知道空间粒子的几率密度，而且知道该状态下的其，不仅知道空间粒子的几率密度，而且知道该状态下的其它力学量（动能，势能它力学量（动能，势能）2）微观粒子的波动性并不是在三维空间中某种实在的物理量微

32、观粒子的波动性并不是在三维空间中某种实在的物理量的波动现象，其表现的波动性与其的波动现象，其表现的波动性与其统计性统计性密切联系，即其密切联系，即其波函数为波函数为几率波几率波。主要表现：处于相同条件大量微观粒子。主要表现：处于相同条件大量微观粒子的一次统计行为和单个微观粒子的多次重复统计行为。的一次统计行为和单个微观粒子的多次重复统计行为。4）若波函数则为则为归一化归一化的波函数，表示微观粒子在整个空间的几率之和为的波函数，表示微观粒子在整个空间的几率之和为1。作业假若粒子只是在一维空间运动，它的状态可以用波函数假若粒子只是在一维空间运动，它的状态可以用波函数来描写；来描写；t0时函数曲线图

33、形如图实线所示，式中时函数曲线图形如图实线所示，式中E和和a分别分别为确定的常数，而为确定的常数，而A是任意常数。是任意常数。求：求：1）归一化波函数）归一化波函数2）几率分布函数）几率分布函数3）x的平均值的平均值解：解：1）归一化波函数）归一化波函数2）几率分布函数）几率分布函数3）x的平均值的平均值如图虚线所示，最大的几率位置在如图虚线所示，最大的几率位置在a/2位置位置量子力学的建立量子力学的建立 量子力学（量子力学（l 9231927）的两个等价的理论）的两个等价的理论矩阵力学矩阵力学与与波动力学波动力学 其实量子力学有更多的表述形式其实量子力学有更多的表述形式波动力学：波动力学：德

34、布罗意德布罗意的物质波的思想。研究了力学与光学的相似的物质波的思想。研究了力学与光学的相似性之后，企图找到实物粒子与辐射的统一的基础，他提出了下列假性之后，企图找到实物粒子与辐射的统一的基础，他提出了下列假定：波动定：波动粒子两重性是微观客体的普通性质。他从这概念出发，粒子两重性是微观客体的普通性质。他从这概念出发，较自然地导出了量子化。较自然地导出了量子化。薛定谔薛定谔进一步推广了物质波的概念，找到进一步推广了物质波的概念，找到了一个量子体的物质波的运动方程薛定谔方程波动力学的核心。了一个量子体的物质波的运动方程薛定谔方程波动力学的核心。薛定谔把薛定谔把 德布罗意的概念与哈密顿的概念结合起来

35、，得出了粒子运德布罗意的概念与哈密顿的概念结合起来，得出了粒子运动的波动描述问题，它与质点动力学的关系就象波动光学与几何光动的波动描述问题，它与质点动力学的关系就象波动光学与几何光学的关系一样学的关系一样。矩阵力学：矩阵力学：矩阵力学矩阵力学的提出与的提出与波尔波尔的早期量子论有很密切的关系。的早期量子论有很密切的关系。海森堡、波恩海森堡、波恩一方面继承了早期量子论中合理的内核，例如，原一方面继承了早期量子论中合理的内核，例如，原子能量量子化，定态，量子跃迁和频率条件等概念，但同时又抛子能量量子化，定态，量子跃迁和频率条件等概念，但同时又抛弃电子轨道的概念弃电子轨道的概念1 自由粒子波函数满足

36、的方程形式自由粒子波函数满足的方程形式三三 薛定谔方程薛定谔方程微观粒子的运动状态：是应用微观粒子的运动状态：是应用波函数波函数描述。微观粒子的描述。微观粒子的运动状态运动状态的变化的变化如何来描述如何来描述?运动方程应是时间的一阶微分方程运动方程应是时间的一阶微分方程自由粒子波函数自由粒子波函数1）自由粒子波函数两边对时间求一次偏导）自由粒子波函数两边对时间求一次偏导2）自由粒子波函数两边对自由粒子波函数两边对x,y,z求二次偏导求二次偏导同理3）自由粒子波函数运动方程自由粒子波函数运动方程2 微观粒子受到力场作用时的运动方程势能：表示力场的力函数，和场的作用力的关系为1）波函数两边对时间求

37、一次偏导和空间二次偏导仍然成立）波函数两边对时间求一次偏导和空间二次偏导仍然成立2）受力粒子的能量与动量的关系）受力粒子的能量与动量的关系3）受力粒子的运动方程）受力粒子的运动方程注意：1）波函数一般是复数）波函数一般是复数2）方程是）方程是线性线性微分方程，则其方程的解的线性组合也是该微分方程，则其方程的解的线性组合也是该方程的解。其物理意义为：量子力学中方程的解。其物理意义为：量子力学中态的叠加原理态的叠加原理。1 定态：定态：波函数波函数为一个空间坐标的函数和一个时间函数的乘积。为一个空间坐标的函数和一个时间函数的乘积。整个函数随时间的改变由因子整个函数随时间的改变由因子 决定，由这种波

38、函数决定，由这种波函数描述的状态称为定态。描述的状态称为定态。2 定态条件：势能不随时间变化。定态条件：势能不随时间变化。3 定态薛定谔方程的表达形式定态薛定谔方程的表达形式四四 定态、定态薛定谔方程定态、定态薛定谔方程薛定谔方程薛定谔方程定态定态波函数波函数两边同除定态薛定谔方程定态薛定谔方程上式左边只是r的函数，右边只是t的函数，要相等则两边均为一常数（E）左边H为哈密顿算符为哈密顿算符定态薛定谔方程的一种形式定态薛定谔方程的一种形式4 定态特点：定态特点：的解为：右边1）粒子的几率分布不随时间变化）粒子的几率分布不随时间变化2）定态就是能量有确定值的状态）定态就是能量有确定值的状态例题：

39、一维无限深势阱中运动粒子的势能可写成例题：一维无限深势阱中运动粒子的势能可写成其中：其中：a为势阱的宽度为势阱的宽度 ，求其波函数、几率密度、能量。，求其波函数、几率密度、能量。解：解：1）波函数：）波函数：粒子不能到达，则粒子不能到达，则势阱内：势阱内：则为定态则为定态五五 一维无限深势阱中运动粒子（一维无限深势阱中运动粒子（作业）金属中的电子；原子中的电子；原子核中的质子和中子均为束缚态金属中的电子；原子中的电子；原子核中的质子和中子均为束缚态势阱外：势阱外：此方程的解为此方程的解为故波函数为故波函数为波函数的标准条件：连续、单值、可积波函数的标准条件：连续、单值、可积又又A不等于不等于0

40、波函数的归一化波函数的归一化波函数为：波函数为：2）几率密度）几率密度3）能量）能量1）能量是量子化的，这是一切束缚态的微观粒子共有的特点2）能级差与势阱宽度有关六六.力学量的算符力学量的算符1.算符和算符的本征值、本征函数算符和算符的本征值、本征函数1）.就是一种运算符号，记为：就是一种运算符号，记为：。如。如2).算符的作用：作用于函数算符的作用：作用于函数u上，使此函数变成另一个函数上，使此函数变成另一个函数v。3)算符的运算规则算符的运算规则(a)算符相等(b)算符相加(c)算符相乘(f)线性厄米算符(e)厄米算符(d)线性算符量子力学中表示力学量的算符都是线性厄米算符4).算符的本征

41、值和本征函数算符的本征值和本征函数若算符作用在函数若算符作用在函数u上的结果，就等于常数乘以该函数本身。即：上的结果，就等于常数乘以该函数本身。即：则则为为的本征值的本征值则则为为的本征函数的本征函数的本征方程的本征方程则则为为特点：特点：本征值本征值和本征函数和本征函数u不仅决定于不仅决定于算符的具体形式算符的具体形式，而且决定于，而且决定于函数函数u满足的边界条件满足的边界条件。a本征值可以连续，也可以分立的。本征值可以连续，也可以分立的。b本征值和本征函数可以一一对应，也可以是一个本征本征值和本征函数可以一一对应，也可以是一个本征值对应于多个本征函数，（简并）值对应于多个本征函数，（简并

42、）c例题：若动量为确定值例题：若动量为确定值Px的的自由粒子自由粒子的波函数为的波函数为试推导出动量的算符表示法试推导出动量的算符表示法2.力学量的算符表示力学量的算符表示1)动量的算符表示法动量的算符表示法2)空间坐标的算符表示法空间坐标的算符表示法3)能量的算符表示法能量的算符表示法(其它力学量算符的构成是由基本力学其它力学量算符的构成是由基本力学量算符所构成，构成方法与经典力学一样量算符所构成，构成方法与经典力学一样)例题：定态薛定谔方程例题：定态薛定谔方程试试确定其算符确定其算符算符表示法算符表示法解：解：习惯上总能量算符叫做哈密顿算符习惯上总能量算符叫做哈密顿算符定态薛定谔方程就是哈

43、密顿算符的本征方程定态薛定谔方程就是哈密顿算符的本征方程因为因为：所以所以：且本征方程为且本征方程为其中其中满足波函数的标准条件满足波函数的标准条件:单值、连续、可积；单值、连续、可积；则可以解出本征值和本征函数。则可以解出本征值和本征函数。动能、势能、总能量，角动能、势能、总能量，角动量，动量，动量，空间坐标动量，空间坐标4)任意力学量的算符表示法任意力学量的算符表示法3.力学量算符的性质力学量算符的性质1).力学量算符必定是力学量算符必定是线性线性厄米厄米算符算符2).厄米厄米算符的本征函数的算符的本征函数的正交性正交性函数正交：函数正交：厄米算符的本征函数的厄米算符的本征函数的正交正交规

44、一规一性性3).厄米厄米算符的本征函数的算符的本征函数的完全性完全性物理意义：任一状态物理意义：任一状态Q总可以用某力学的算符的本征态的线总可以用某力学的算符的本征态的线性叠加来表示。性叠加来表示。4.力学量的测量力学量的测量通过本征方程通过本征方程建立了算符建立了算符 和力学量和力学量Q之间的对应关系。之间的对应关系。其表现为如下两个其表现为如下两个方面方面不是的本征态的本征态中系数模的平方中系数模的平方b）如果如果微观体系微观体系所处状态所处状态则可以测得则可以测得力学量力学量Q的各种的各种可能值可能值，这些可能值都在，这些可能值都在的本征值谱中，且的本征值谱中，且测得力学量值为测得力学量

45、值为的几率，就是展开式的几率，就是展开式：，那么对该体系进行力学量测量，那么对该体系进行力学量测量，某一本征态中某一本征态中的属于本征值的属于本征值,这个值就是本征值这个值就是本征值a）如果如果微观体系微观体系 处在处在只能测得唯一值只能测得唯一值1）微观体系的有些力学量）微观体系的有些力学量不能同时具有确定值不能同时具有确定值；而有些力学量则可以同时具有确定值而有些力学量则可以同时具有确定值。2）力学量同时具有确定值的含义：）力学量同时具有确定值的含义：力学量力学量F和和G在在某一状态下某一状态下同时有确定值同时有确定值，则描写此状态则描写此状态的波函数应该是：的波函数应该是：算符算符的的共同本征函数共同本征函数3)算符算符在什么条件下具有共同本征函数？在什么条件下具有共同本征函数？若算符若算符可对易可对易，具有共同本征函数系具有共同本征函数系则则具有共同本征函数系，具有共同本征函数系，若若则算符则算符可对易可对易，5 不同力学量具有确定值的条件：不同力学量具有确定值的条件：4）算符）算符可对易可对易：5）测不准原理）测不准原理同理同理故：故：6 氢原子氢原子