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1、线性回归分析线性回归分析及应用线性回归分析两个变量之间的关系：1.函数关系确定的关系2.相关关系非确定的关系 （1）一个可控制，另一个不可控制 （2)两个变量都不可控制（随机）线性回归分析3.回归分析 回归分析就是通过对一定数量的观测数据进行统计处理，以找出变量间相互依赖的统计规律。例1-1：施肥量x1520253035404550产量y330345365405445450455465例1-1：为获得施肥量与产量之间的输入输出关系，将测的那些实验数据点标在坐标纸上，如下图示 称为散点图。从散点图上可看出产量y与施肥量x之间基本呈直线关系。2025 303540 4550330345405365
2、4451.1一元线性回归一、一元线性回归方程的求法 一元线性回归是处理随机变量 和变量 之间线性相关关系的一种方法。一元线性回归的数学模型为（1-1）式中，待定常数和系数；测量的随机误差。一元线性回归方程的求法（）当 的值为 时，相应有 设测量误差 服从同一正态分布 ，且相互独立，则用最小二乘法估计参数 ，设估计量分别为 ，那么可得一元线性回归方程（1-2）式中，为常数和回归系数。一元线性回归方程的求法（）某一观测值 与回归值 之差用 表示它表示某一点 与回归直线的偏离程度。记（1-3）值的大小反映全部观测值与回归直线的偏离程度，应使 最小。根据最小二乘原理，有（1-4）（1-5）一元线性回归
3、方程的求法（）由以上两式，经推导整理可得式中，（1-11）（1-12）（1-13）一元线性回归方程的求法（）至此，可确定一元线性回归方程回归直线方程的点斜式 它表明回归直线通过点 ，只须在数据域任取一点 代入回归方程，得到一点 ，则可由这两点绘出回归直线。例1-2（）：例1-2：假如某大量程式位移传感器的实测数据如下表所示，求输出电压 与位移 之间的关系。位移x/mm01234567输出电压 y/V00.099890.199830.299940.400080.500250.600360.70039例1-2（）：解：具体步骤如下1.变量之间大体呈线性关系，设它们满足一元线性回归方程令2.分别计算
4、 的值，填入表1-1中。3.对个列数据分别求和，列入表1-1的最后一行。4.计算例1-2（）：5.计算6.列回归方程二、回归方程的方差分析和显著性检验1.回归方程的方差分析 N个观测值之间的差异（称离差），由两个因素引起：一是由变量之间的线性依赖关系引起；二是由其他因素引起。测量值之间的变化程度可用总离差平方和表示，记为（1-14）1.回归方程的方差分析 把 代入中间项，可推出则令有 其中，称为回归平方和，反映回归直线 对均值 的偏离情况，即 随 变化产生的线性变化在总的离差平方和中所起的作用。称为剩余平方和，反映测量值对回归直线的偏离情况，即其他因素引起的 的变化在总的离差平方和中所起的作用
5、。2.回归方程的显著性检验 为定量说明 与 的线性密切程度，通常用F检验法，即计算统计量（1-20）对一元线性回归，有（1-21）计算和检验步骤：（1）由式（1-21）计算出F值。（2）根据给定的显著性水平 ，从F分布表中查取临界值 。（3）比较计算得到的F值和查得的 值。若 则回归效果显著，否则效果不显著。显著性水平等级：通常可分为以下几级：如果 可认为回归效果高度显著，称为在0.01水平上显著，即可信赖程度为99%以上；如果 可认为回归效果是显著的，称为在0.05水平上显著，即可信赖程度在95%和99%之间；如果 可认为回归效果不显著，此时y对x的线性关系不密切。3.残余方差与残余标准差
6、残余方差定义为 残余标准差定义为 它表明在单次测量中，由线性因素以外的其他因素引起的y的变化程度。越小，回归直线的精度越高。例1-3试对例1-2中求出的回归方程进行显著性检验。解：具体步骤如下（1）利用 求 ，则有（2）计算例1-3（）：（3）根据 查表 在 级表中查得（4）判别 故回归效果高度显著。（5）求剩余标准差1.2 多元线性回归一、多元线性回归方程的一般求法 设因变量 与M个自变量 的关系是线性相关的，且已获得N组观测数据 则有如下结构形式（1-29）式中 是M+1个待估计参数，是M个可精确测量的变量，是N个互相独立且服从统一正态分布 的随机变量，这便是多元线性回归的数学模型。一、多
7、元线性回归方程的一般求法 设 分别为参数 的最小二乘估计，则可得回归方程（1-30）最小二乘条件为正规方程为（1-31）正规方程的矩阵形式求解：数学模型的矩阵形式 对于方程组（1-31），系数矩阵是对称的，用A表示X称为数据的结构矩阵。右边的常数项用B表示则正规方程的矩阵形式为令 ，则方程组的解为问题归结为计算下列四个矩阵二、多元线性回归的显著性检验和精度 同一元线性回归方程类似，有 回归平方和U表示M个自变量 与 的线性关系引起 的变化在总的离差平方和S中所占的比重。及相应计算如表1-2。F检验的数学统计量为如果则认为所求回归方程在 水平上显著。精度由剩余标准差 来估计。三、每个自变量在多元
8、线性回归中 所起的作用1.自变量 作用大小的衡量 自变量 在总的回归中所起的作用可根据它在U中的影响大小来衡量。把取消一个自变量 后回归平方和减少的数值称为 对这个自变量 的偏回归平方和，记作 一般偏回归平方和的计算公式为式中，是正规方程系数矩阵A的逆矩阵C中的元素；是回归方程的回归系数。2.自变量 作用大小的进一步检验 （1）凡是偏回归平方和 大的变量，一定是对 有重要影响的因素。回归系数的显著性检验 当 时，认为自变量 对 的影响在 上显著。（2）偏回归平方和小的变量，不一定不显著，但对 最小的变量，如果即检验结果不显著，则可将该变量剔除。3.剔除一个变量后回归方程系数 的计算 新回归方程
9、系数 与原回归方程系数 之间有如下关系当采用数学模型（1-32）时，不变。例1-4（）：用某光栅式传感器测工件尺寸，温度t的变化和位移x的变化都对传感器输出电压y产生影响，观测数据如表1-3所示，试求 三者的关系，并进行显著性检验。解：具体步骤如下（1）求例1-4（）：（2）求出 列入表1-4，并求出它们的和由表1-4可得（3）求例1-4（）：（4）求二元线性回归方程（5）进行显著性检验 求检验所求二元回归方程在0.01水平上显著。例1-4（）：（6）建立方差分析表 剩余方差 回归方差可建立方差分析表1-5。应用篇利用多元线性回归方法预测我国的用电量背景介绍（）中国经济高速发展，电力需求也在不
10、断增加。02年起电力需求飞速增长，引起全国电力供应紧张。电力供应紧张的背后，说明对电力市场的预测出现了偏差。给中国经济社会发展带来负面影响。对中国未来电力需求进行预测，经济合理地安排发电机组计划，降低发电成本，保持电网运行安全可靠，意义重大。背景介绍（）为了准确预测用电量的负荷，发展了很多预测方法：灰色预测法 样本数据少，运算方便，短期预测精度高；只适用于指数增长的模型偏最小二乘回归预测法 模型精度高，稳定、实用；计算复发，需要专业的计算软件神经网络预测法 是一种暗箱模型，结果不易解释线性回归分析预测法 模型简单，预测结果准确，模型解释能力强。得到广泛应用多元线性回归模型参数的选择和建立1.1
11、参数选择因变量y全社会用电量自变量xGDP（x1）、人口总数（x2）建立模型的数据如表1-6所示 表1-61.2 模型建立和显著性检验 根据表中的数据及之前的线性回归理论，得到回归结果为：r方用于判定回归直线的拟合度，上式中为0.97说明回归直线拟合度很好。用F检验法对其显著性检验，在a0.01的显著性水平下，说明回归效果显著，效果如下图11所示。图11 回归方程通过了显著性检验，具有非常好的预测能力，只要计算出中国未来每年的GDP和人口数，就可以通过回归方程对用电量进行预测。用电量的预测2.1 GDP和人口预测在经济学上，GDP预测常用的经济模型为：a为GDP的增长速率（）。人口预测用的经济
12、模型为：K为人口自然增长速率GDP和人口预测19982002中国GDP增长率和人口自然增长率为a7.09，k7.66用电量预测 取2002年的GDP和人口数作为预测的起始年基数，预测结果如下表1-7所示：表1-7结论 通过建立回归模型，得到了中国年用电量与GDP和总人口数的回归模型，并通过了显著性检验。所得的方程能够用来预测中国的年用电量。这些预测的用电量能够科学指导我国电力和经济政策的制定，为我国电力建设和社会发展规划提供了定量的科学依据。谢谢！1/13/2023一元非线性回归 非线性关系的两种解决方法：一种是通过变量代换，化曲线回归问题为直线回归问题，用一元线性回归方程的方法对其求解；另一
13、种是通过级数展开，把区县函数变成多项式的形式，把解曲线回归问题转换成解多项式回归问题。表1-1序号100000002110.099190.9919010.997100.991903220.199131.9913043.993203.996604330.299942.9994091.996401.991205440.400014.000101616.0064016.003206550.500255.002502525.0250125.012507660.600366.003603636.0432136.021601770.700397.003904949.0546249.027302121 2.
14、10074 21.00740 140 140.11664 140.05130表1-2来源平方和自由度方差F显著性回归剩余MN-M-1总和N-1表1-32020.52121.52222.52323.516410161420110.14190.63110.42131.05311.61351.47392.10461.1941表1-4序号13.0625160.177417.00.73710 1.614121.5625360.391547.50.71913 3.717130.5625640.701636.00.63135 6.734440.062540.044100.50.05250 0.420050.0625160.176741.00.10510 1.611660.562540.044441.50.15110 0.421671.5625640.7011210.01.05111 6.732013.0625360.3990410.51.10541 3.790210.502402.65702444.63064 25.2524表1-5来源平方和自由度 方差F 显著性回归剩余2.6569121.321490.010.0000450.000001总和2.657027表1-16来源平方和自由度方差F1回归1剩余N-2总和N-1表1-17来源平方和自由度方差F2回归差1剩余N-3第一次剩余N-2