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1、NO.V1.0误差分析课件-线性回归与应用NO.V1.0线性回归分析3.回归分析 回归分析就是通过对一定数量的观测数据进行统计处理，以找出变量间相互依赖的统计规律。例1-1：施肥量x1520253035404550产量y330345365405445450455465NO.V1.0例1-1：为获得施肥量与产量之间的输入输出关系，将测的那些实验数据点标在坐标纸上，如下图示 称为散点图。从散点图上可看出产量y与施肥量x之间基本呈直线关系。2025 303540 4550330345405365445NO.V1.01.1一元线性回归一、一元线性回归方程的求法 一元线性回归是处理随机变量 和变量 之间
2、线性相关关系的一种方法。一元线性回归的数学模型为（1-1）式中，待定常数和系数；测量的随机误差。NO.V1.0一元线性回归方程的求法（）当 的值为 时，相应有 设测量误差 服从同一正态分布 ，且相互独立，则用最小二乘法估计参数 ，设估计量分别为 ，那么可得一元线性回归方程（1-2）式中，为常数和回归系数。NO.V1.0一元线性回归方程的求法（）某一观测值 与回归值 之差用 表示它表示某一点 与回归直线的偏离程度。记（1-3）值的大小反映全部观测值与回归直线的偏离程度，应使 最小。根据最小二乘原理，有（1-4）（1-5）NO.V1.0一元线性回归方程的求法（）由以上两式，经推导整理可得式中，（1
3、-11）（1-12）（1-13）NO.V1.0一元线性回归方程的求法（）至此，可确定一元线性回归方程回归直线方程的点斜式 它表明回归直线通过点 ，只须在数据域任取一点 代入回归方程，得到一点 ，则可由这两点绘出回归直线。NO.V1.0例1-2（）：例1-2：假如某大量程式位移传感器的实测数据如下表所示，求输出电压 与位移 之间的关系。位移x/mm01234567输出电压 y/V00.099890.199830.299940.400080.500250.600360.70039NO.V1.0例1-2（）：解：具体步骤如下1.变量之间大体呈线性关系，设它们满足一元线性回归方程令2.分别计算 的值，
4、填入表1-1中。3.对个列数据分别求和，列入表1-1的最后一行。4.计算NO.V1.0例1-2（）：5.计算6.列回归方程NO.V1.0二、回归方程的方差分析和显著性检验1.回归方程的方差分析 N个观测值之间的差异（称离差），由两个因素引起：一是由变量之间的线性依赖关系引起；二是由其他因素引起。测量值之间的变化程度可用总离差平方和表示，记为（1-14）NO.V1.01.回归方程的方差分析 把 代入中间项，可推出则令有 其中，称为回归平方和，反映回归直线 对均值 的偏离情况，即 随 变化产生的线性变化在总的离差平方和中所起的作用。称为剩余平方和，反映测量值对回归直线的偏离情况，即其他因素引起的
5、的变化在总的离差平方和中所起的作用。NO.V1.02.回归方程的显著性检验 为定量说明 与 的线性密切程度，通常用F检验法，即计算统计量（1-20）对一元线性回归，有（1-21）计算和检验步骤：（1）由式（1-21）计算出F值。（2）根据给定的显著性水平 ，从F分布表中查取临界值 。（3）比较计算得到的F值和查得的 值。若 则回归效果显著，否则效果不显著。NO.V1.0显著性水平等级：通常可分为以下几级：如果 可认为回归效果高度显著，称为在0.01水平上显著，即可信赖程度为99%以上；如果 可认为回归效果是显著的，称为在0.05水平上显著，即可信赖程度在95%和99%之间；如果 可认为回归效果
6、不显著，此时y对x的线性关系不密切。NO.V1.03.残余方差与残余标准差 残余方差定义为 残余标准差定义为 它表明在单次测量中，由线性因素以外的其他因素引起的y的变化程度。越小，回归直线的精度越高。NO.V1.0例1-3试对例1-2中求出的回归方程进行显著性检验。解：具体步骤如下（1）利用 求 ，则有（2）计算NO.V1.0例1-3（）：（3）根据 查表 在 级表中查得（4）判别 故回归效果高度显著。（5）求剩余标准差NO.V1.01.2 多元线性回归一、多元线性回归方程的一般求法 设因变量 与M个自变量 的关系是线性相关的，且已获得N组观测数据 则有如下结构形式（1-29）式中 是M+1个
7、待估计参数，是M个可精确测量的变量，是N个互相独立且服从统一正态分布 的随机变量，这便是多元线性回归的数学模型。NO.V1.0一、多元线性回归方程的一般求法 设 分别为参数 的最小二乘估计，则可得回归方程（1-30）最小二乘条件为正规方程为（1-31）NO.V1.0正规方程的矩阵形式求解：数学模型的矩阵形式 对于方程组（1-31），系数矩阵是对称的，用A表示X称为数据的结构矩阵。右边的常数项用B表示则正规方程的矩阵形式为令 ，则方程组的解为问题归结为计算下列四个矩阵NO.V1.0二、多元线性回归的显著性检验和精度 同一元线性回归方程类似，有 回归平方和U表示M个自变量 与 的线性关系引起 的变
8、化在总的离差平方和S中所占的比重。及相应计算如表1-2。F检验的数学统计量为如果则认为所求回归方程在 水平上显著。精度由剩余标准差 来估计。NO.V1.0三、每个自变量在多元线性回归中 所起的作用1.自变量 作用大小的衡量 自变量 在总的回归中所起的作用可根据它在U中的影响大小来衡量。把取消一个自变量 后回归平方和减少的数值称为 对这个自变量 的偏回归平方和，记作 一般偏回归平方和的计算公式为式中，是正规方程系数矩阵A的逆矩阵C中的元素；是回归方程的回归系数。NO.V1.02.自变量 作用大小的进一步检验 （1）凡是偏回归平方和 大的变量，一定是对 有重要影响的因素。回归系数的显著性检验 当
9、时，认为自变量 对 的影响在 上显著。（2）偏回归平方和小的变量，不一定不显著，但对 最小的变量，如果即检验结果不显著，则可将该变量剔除。NO.V1.03.剔除一个变量后回归方程系数 的计算 新回归方程系数 与原回归方程系数 之间有如下关系当采用数学模型（1-32）时，不变。NO.V1.0例1-4（）：用某光栅式传感器测工件尺寸，温度t的变化和位移x的变化都对传感器输出电压y产生影响，观测数据如表1-3所示，试求 三者的关系，并进行显著性检验。解：具体步骤如下（1）求NO.V1.0例1-4（）：（2）求出 列入表1-4，并求出它们的和由表1-4可得（3）求NO.V1.0例1-4（）：（4）求二
10、元线性回归方程（5）进行显著性检验 求检验所求二元回归方程在0.01水平上显著。NO.V1.0例1-4（）：（6）建立方差分析表 剩余方差 回归方差可建立方差分析表1-5。NO.V1.0应用篇利用多元线性回归方法预测我国的用电量NO.V1.0背景介绍（）中国经济高速发展，电力需求也在不断增加。02年起电力需求飞速增长，引起全国电力供应紧张。电力供应紧张的背后，说明对电力市场的预测出现了偏差。给中国经济社会发展带来负面影响。对中国未来电力需求进行预测，经济合理地安排发电机组计划，降低发电成本，保持电网运行安全可靠，意义重大。NO.V1.0背景介绍（）为了准确预测用电量的负荷，发展了很多预测方法：
11、灰色预测法 样本数据少，运算方便，短期预测精度高；只适用于指数增长的模型偏最小二乘回归预测法 模型精度高，稳定、实用；计算复发，需要专业的计算软件神经网络预测法 是一种暗箱模型，结果不易解释线性回归分析预测法 模型简单，预测结果准确，模型解释能力强。得到广泛应用NO.V1.0多元线性回归模型参数的选择和建立1.1参数选择因变量y全社会用电量自变量xGDP（x1）、人口总数（x2）建立模型的数据如表1-6所示 NO.V1.0表1-6NO.V1.01.2 模型建立和显著性检验 根据表中的数据及之前的线性回归理论，得到回归结果为：r方用于判定回归直线的拟合度，上式中为0.97说明回归直线拟合度很好。
12、用F检验法对其显著性检验，在a0.01的显著性水平下，说明回归效果显著，效果如下图11所示。NO.V1.0图11 回归方程通过了显著性检验，具有非常好的预测能力，只要计算出中国未来每年的GDP和人口数，就可以通过回归方程对用电量进行预测。NO.V1.0用电量的预测2.1 GDP和人口预测在经济学上，GDP预测常用的经济模型为：a为GDP的增长速率（）。人口预测用的经济模型为：K为人口自然增长速率NO.V1.0GDP和人口预测19982002中国GDP增长率和人口自然增长率为a7.09，k7.66NO.V1.0用电量预测 取2002年的GDP和人口数作为预测的起始年基数，预测结果如下表1-7所示
13、：NO.V1.0表1-7NO.V1.0结论 通过建立回归模型，得到了中国年用电量与GDP和总人口数的回归模型，并通过了显著性检验。所得的方程能够用来预测中国的年用电量。这些预测的用电量能够科学指导我国电力和经济政策的制定，为我国电力建设和社会发展规划提供了定量的科学依据。NO.V1.0谢谢！11/22/2022NO.V1.0一元非线性回归 非线性关系的两种解决方法：一种是通过变量代换，化曲线回归问题为直线回归问题，用一元线性回归方程的方法对其求解；另一种是通过级数展开，把区县函数变成多项式的形式，把解曲线回归问题转换成解多项式回归问题。NO.V1.0表1-1序号100000002110.099
14、190.9919010.997100.991903220.199131.9913043.993203.996604330.299942.9994091.996401.991205440.400014.000101616.0064016.003206550.500255.002502525.0250125.012507660.600366.003603636.0432136.021601770.700397.003904949.0546249.027302121 2.10074 21.00740 140 140.11664 140.05130NO.V1.0表1-2来源平方和自由度方差F显著性回归
15、剩余MN-M-1总和N-1NO.V1.0表1-32020.52121.52222.52323.516410161420110.14190.63110.42131.05311.61351.47392.10461.1941NO.V1.0表1-4序号13.0625160.177417.00.73710 1.614121.5625360.391547.50.71913 3.717130.5625640.701636.00.63135 6.734440.062540.044100.50.05250 0.420050.0625160.176741.00.10510 1.611660.562540.0444
16、41.50.15110 0.421671.5625640.7011210.01.05111 6.732013.0625360.3990410.51.10541 3.790210.502402.65702444.63064 25.2524NO.V1.0表1-5来源平方和自由度 方差F 显著性回归剩余2.6569121.321490.010.0000450.000001总和2.657027NO.V1.0表1-16来源平方和自由度方差F1回归1剩余N-2总和N-1NO.V1.0表1-17来源平方和自由度方差F2回归差1剩余N-3第一次剩余N-2NO.V1.0此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢