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1、2014 模拟卷（1）第 1 页 共 7 页2014 年全国高中数学联赛模拟卷年全国高中数学联赛模拟卷(1)第一试第一试(考试时间：考试时间：80 分钟分钟 满分：满分：120 分分)姓名：姓名：_考试号：考试号：_得分：得分：_一、填空题（本大题共一、填空题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 8 分，共分，共 64 分）分）1不等式的解集为22429(112)xxx2过正方体外接球球心的截面截正方体所得图形可能为_.三角形 正方形 梯形 五边形 六边形3直线与曲线有两个不同的交点，则实数 k 的取值范围是_ _.2kxy21(1)|1yx4复数，使，则的所有可能值为 _ _z322zz
2、zz5所有的满足条件的正整数对的个数为 11ababababab(,)a b6设为方程的根（），则 _.,a b c3120 xk xk121kk111111abcabc7将号码分别为 1、2、9 的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同.甲从袋中摸出一个球，其号码为，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为.则使不等式ab成立的事件发生的概率等于 0102 ba8已知 A,B,C 为ABC 三内角,向量,.如果当 C 最大时,)2sin3,2(cosBABA2|存在动点 M,使得成等差数列,则最大值是_ _.|,|,|MBABMA|ABMC二、解答题（本大题共二、解答题（本大
3、题共 3 小题，第小题，第 9 题题 16 分，第分，第 10、11 题题 20 分，共分，共 56 分）分）9对正整数，记，求数列an中的最大值2n 11112nnkknank10给定正实数 k，圆心为()的圆至少与抛物线有三个公共点，一个是原点(0,0)，另两ba，2kxy 个点在直线上，求的值（用表示）bkxyba，k11已知函数其中为实数，求所有的数对(a,n)(nN*),72sin3|)cos|sin(|)(xxxaxfa使得函数在区间内恰好有 2011 个零点)(xfy),0(n2014 模拟卷（1）第 2 页 共 7 页ABCPQID O1I1I22014 年全国高中数学联赛模拟
4、卷年全国高中数学联赛模拟卷(1)加试加试(考试时间：考试时间：150 分钟分钟 满分：满分：180 分分)姓名：姓名：_考试号：考试号：_得分：得分：_一、一、（本题满分（本题满分 40 分）分）在中，是斜边上的高，记分别是ADC,BCD,Rt ABCCDAB12,IIIABC 的内心，在边上的射影为，的角平分线分别交于，IAB1O,CABABC,BC AC,P Q且的连线与相交于，求证：四边形为正方形PQCD2O11 22I O I O二、二、（本题满分（本题满分 40 分）分）给定正数 a,b,c,d,证明：badbadadcadcdcbdcbcbacba333333333333.2222
5、dcba三、三、（本题满分（本题满分 50 分）分）设，定义，Nk11A2)1(221nnnAAknnL,2,1n证明：当时，为整数，且为奇数的充要条件是1nnAnA)4(mod21或n四、四、（本题满分（本题满分 50 分）分）试求最小的正整数使得对于任何个连续正整数中，必有一数，其各位,nn数字之和是 7 的倍数.2014 模拟卷（1）第 3 页 共 7 页2014 年全国高中数学联赛模拟卷年全国高中数学联赛模拟卷(1)答案答案1 由得，原不等式可变为解得0211x0,21xx922112xx845x故原不等式的解集为145,00,28U2答案：，解：由对称性可知，所得图形应为中心对称图形
6、，且可以截得3提示：,曲线为两个半圆，直线过定点（0，2），数形结合可得.44 2,)(,2334答案：0，1，解：=，12,1 2ii 322zzz2z z 2(1 2)0z zz 当 时，满足条件，当 时，0z 0z 21 20zz 设 22(,),21 2()zabia bRababiabi 则 ，由(2)221 20(1)220(2)abaabb 2(1)0b a1）代入(1)整理得：0b 2(1)01aa2），则 代入(1)得：，经检验复数均满足条件.0b 1a 242bb 1,12zi 的所有可能值为 0，1，.z12,1 2ii 5解：显然由条件得，从而有1ab11aabaab1
7、bab11babbabbb即，再结合条件及以上结果，可得，整理得bbabb11abababababaaabb，从而11aabaabaab11abaab1aa211aaaa aaaba即，所以当时，不符合；当时，（不符合）31aa23a2a 1b 3a 2b 1b 综上，满足本题的正整数对只有，故只有 1 解,a b3 2，6答案：，由题意，由此可得1212331kkkk312()()()xk xkxa xb xc，以及0abc1abbccak 2abck121(1)(1)(1)kkabc1113()()3111(1)(1)(1)abcabcabbccaabcabcabc1212331kkkk7
8、提示：提示：甲、乙二人每人摸出一个小球都有 9 种不同的结果，故基本事件总数为 92=81 个，由不等式a2b+100 得 2ba+10，于是，当 b=1、2、3、4、5 时，每种情形 a 可取 1、2、9 中每一个值，使不等式成立，则共有 95=45 种；当 b=6 时，a 可取 3、4、9 中每一个值，有 7 种；当 b=7时，a 可取 5、6、7、8、9 中每一个值，有 5 种；当 b=8 时，a 可取 7、8、9 中每一个值，有 3 种；当 b=9 时，a 只能取 9，有 1 种。于是，所求事件的概率为8161811357458解解:2)cos(23)cos(2122sin32cos2
9、|22BABABABA,21tantancoscossinsin2)cos(3)cos(BABABABABA,22tantan4)tan(tan21tantantantan)tan(tanBABABABABAC2014 模拟卷（1）第 4 页 共 7 页等号成立仅当.令|AB|=2c,因,22tantanBAcMBMA4|所以 M 是椭圆上的动点.故点 C(0,),设 M(x,y),则1342222cycxc22|MC|2x2+()2.cy22cyccyyccyyyc3|,2923122344222222当 y时,|MC|2max=,|MC|max.即max.c322627cc216|ABMC
10、2 3249解：经计算知，下面用数学归纳法证明：当时，有22a 33a 45103aa5n 103na 假设，则1053nan1211111111122122nnnnnnannnL 21111212212nnnnnnnnnn L112nnnann11 10186810233533nnnnnn所以数列an中的最大值是45103aa10解：设O:即,)()(2222babyax02222byyaxx抛物线与直线的两个交点坐标为，bkxy),(),(2211yxyx则，即 ,这两点亦在圆上，即211222kxkxbkxkxb12121xxbx xk),(2)(222111211211212bkxbb
11、kxaxxbyyaxxo02)1(21212baxxk同理,即 02)1(22222baxxk12221222,1.1axxkbx xk比较，知：kkkkbka11),1(212211解：首先，函数以为周期，且以为对称轴，即)(xf)(42Zkkx，其次，)()2(),()(Zkxfxkfxfxf，关于对称，42)43(,102)4(,7)2(akfakfakf)(xf)(42Zkkx在及上的零点个数为偶数，)(xf)42,2(kk)22,42(kk要使在区间恰有 2011 个零点，则上述区间端点必有零点)(xf)0n，（1）若，则，考虑区间及上的零点个数7a0)42(,0)2(kfkf)2,
12、0(),2(2014 模拟卷（1）第 5 页 共 7 页ABCPQID O1I1I2当时，)2,0(x72sin3)cos(sin7)(xxxxf令则，.2,1(cossintxxt0473)(2tttgy解得（舍），故在内有两解11t)4sin(2342xt)2,0(当时，),2(x72sin3)cos(sin7)(xxxxf令，则，2,1(cossintxxt01073)(2tttgy解得（舍），（舍），故在内无解因此，在区间内有三个零点11t3102t),2()(xf),0(.503201114)1(3),0(nnnnn个零点。解得内有故在同理可得满足条件(,)(7,503),(5 2,
13、2011),(2 2,2011)a n 加试题加试题 一证明：不妨设，由且分别是其内心，得 BCACADCCDB12,II12I DACBCI D且，所以 则 0121902I DIADBACB 1 2DI ICAB2 1I I DCAB 设的内切圆半径分别为，的三边长为，在边上的射影,ADCBCD12,r rRt ABC,a b c12,IIAB为，并且，则，,E F,ADx BDy CDz121,222xzbyzabcarrAO 所以，1121222bcayzaxzbDOAOADxrr ，1122111()I ErrrrDFDOO F112122()EOrrrrI F因此且，111 2I
14、EOFO I%1 11 2O IO I11 211211 2212I O II O EI O FO I FI O F则四点共圆（由知）所以，同理 121,D O II212 1I O FI I DCAB 1 2/O IAC，1 1/O IBC，又由角平分线性质得11111()21()2bcaAIAObcaI PBOcabcab CQBCCQBCabCQQABAQA CQBABCac同理，另一方面，abCQbc2222221sin21sin2CQOCPOCQ COACDSQObc bO PSac aCP COBCD又，122 112()/()AIQObcab bcO ICAI PO Pcaba
15、ac 而()()()()a ac bcab bc cab 2222()()a abacacbcacb bcbabcacbc2014 模拟卷（1）第 6 页 共 7 页，22()()0a abbb baa所以，同理，2 1/O ICA22/O IBC所以四边形为平行四边形，由知四边形为正方形11 22I O I O11 22I O I O二解：由于问题的对称性,只要证明对于任何正数下式成立,3+3+3+2+2+23.因为如果上式成立,则原式的左边不小于2+2+23+2+2+23+2+2+23+2+2+23=2+2+2+2.不失一般性,可以在的假设下证明上述不等式.+=1如果,只要将不等式两边同除
16、,令 +1(+)2=/(+),=/(+),=/(+).于是问题转化成下列被修改的问题：给定满足条件的正数 证明+=1,此不等式证明如下：3+3+32+2+23.33+33+33 3+3+3+2+2+2+2+2+2=2(+)+2(+)+2(+)=2+2+2.三证明：证明：注意到 knnnnAAn21)1(2)2(knnnAnAn212)1()1(得1212112)1(2)1()1)(2(kknnnnnAnAnn反复运用上式，得，其中，)1()(2nnnSAntttnnSL21)(12 kt得，从而可知，因此是整nittnittiiniinnS10)1()()(2)(2|)1(nSnn)1(nAn
17、数.（1）当时，由有奇数个奇数项知为奇数，所以为奇数.)4(mod21或n)(nS)(nSnA （2）当时，)4(mod0n)4(mod0)2(tn故，所以为偶数)4(mod0)2()()(20tnittniinnSnA （3）当时，)4(mod3n)4(mod0)21(tn故，所以为偶数)4(mod0)21()1()(211tnittniinnSnA综上所述，命题成立，证毕.四解：首先，我们可以指出 12 个连续正整数，例如 994，995，999，1000，1001，1005，其中任一数的各位数字之和都不是 7 的倍数，因此，.13n 再证，任何连续 13 个正整数中，必有一数，其各位数字
18、之和是 7 的倍数.对每个非负整数，称a如下 10 个数所构成的集合:为一个“基本段”，13 个连续正整数，10,101,109aAaaaL要么属于两个基本段，要么属于三个基本段。当 13 个数属于两个基本段时，据抽屉原理，其中必有连续的 7 个数，属于同一个基本段；当 13 个连续数属于三个基本段时，其中必有11,aaaAA A连续 10 个数同属于.现在设 是属于同aA110kka aa aL110110(1),(6)kkkka aa aa aa aLLL2014 模拟卷（1）第 7 页 共 7 页一个基本段的 7 个数，它们的各位数字之和分别是显然，这 7 个和000,1,6,kkkiiiiiiaaaL数被 7 除的余数互不相同，其中必有一个是 7 的倍数.因此，所求的最小值为13.n