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1、精选优质文档-倾情为你奉上2012年全国高中数学联赛模拟卷(4)第一试(考试时间：80分钟 满分：120分)姓名：_考试号：_得分：_一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）1各项均为实数的等比数列an，前项之和记为 若，则 2关于的方程至少有一个解,则实数的范围是_3已知正四棱锥PABCD的五个顶点在同一个球面上. 若该四棱锥的体积为V，则球的表面积的最小值为_4已知,.若,则实数的取值范围是 .5一个盒中有个正品和个废品，每次取一个产品，取出后不在放回，在取得正品前已取出的废品数的数学期望=_6若非负实数满足，则 .7正整数使得是完全平方数, 则的个位数字是 8在平面直角坐标系内
2、，将适合xy, |x|3, |y|3, 且使关于t的方程0没有实数根的点所成的集合记为N，则由点集N所成区域的面积为 _.二、解答题（本大题共3小题，第9题16分，第10、11题20分，共56分）9已知定义在上的函数f (x)满足：f (1)，且对于任意实数，总有 成立. （1）若数列满足，求数列的通项公式 （2）若对于任意非零实数，总有. 设有理数满足，判断和 的大小关系，并证明你的结论.10对，令，试求的表达式.xyOPF1F2MN11如图, 设P为双曲线y21上第一象限内的任一点, F1, F2为左右焦点,直线PF1, PF2分别交双曲线于M, N. 若1 (11), 2.求12的值及直
3、线MN的斜率KMN的取值范围.2012年全国高中数学联赛模拟卷(4)加试(考试时间：150分钟 满分：180分)姓名：_考试号：_得分：_一、（本题满分40分）在ABC中，a+c=3b, 内心为I，内切圆在AB，BC边上的切点分别为D，E, 设K是D关于点I的对称点，L是E关于点I的对称点.求证：A，C，K，L四点共圆.二、（本题满分40分）已知，求证数列xn中无完全平方数.三、（本题满分50分）若为质数，（1）求所有数组，使得（2）证明：对任意数组，必可找到正整数，使得四、（本题满分50分） 过抛物线(为不等于2的素数)的焦点F,作与轴不垂直的直线 交抛物线于M,N两点,线段MN的垂直平分线
4、交MN于P点,交轴于Q点.(1) 求PQ中点R的轨迹L的方程；(2) 证明：L上有无穷多个整点, 但L上任意整点到原点的距离均不是整数.2012年全国高中数学联赛模拟卷(4)答案16302设, 则, 即,得,而,有, 从而,由, 得.3.4可得,设,要使, 只需, 在(1,3)上的图像均在轴的下方, 则, 由此可解得. 5解析：取值为0,1,2,3，且有，. .6解析：均为非负实数，或（舍）所以，只需取等.7设,则, 得或,解得或,由,知它的个位数字是9, 由,知它的个位数字也是9.8解析：令，原方程化为 所给方程没有实根等价于方程无实根或有实根但均为负根，所以，或点集N所成区域为图中阴影部分
5、，其面积为9解:（1）令，又，. 令，得 ，即 对任意的实数总成立， 为偶函数.令，得 ，. . 令，得，. 是以为首项，以为公比的等比数列. . （2）结论：. 证明：时，,，即.令（），故，总有成立. 则.对于，总有成立. 对于，若，则有成立.，所以可设，其中是非负整数，都是正整数，则，令，则.，即. 函数为偶函数，. 10解： ， 故.11. 解: 设p(x0, y0), 因, 所以, 同理,将M、N坐标代入双曲线得: 即消去x0得:即, 因所以, 解得.将(1)(2)得:将代入得: 与联立解得:代入,由x023y02=3得即斜率KMN的取值范围是().加试一、 证：设直线BI交的外接圆
6、点P，易知P是的中点。记AC的中为M，则PMAC。设P在直线DI的射影为N由于则半周长，则又所以，且相似比为2熟知；。又，所以，即N是IK的中点进而，所以都在以P为圆心的同一个圆周上二解：易得数列的通项公式为，设，则且易得因此欲证为非完全平方数，只需证明（1）无正整数解，其中，由（1）式知为奇数，则，故为偶数，不妨设，则（2）又，由式（2）及有关数论知识得：或，若为前者，则，矛盾。若为后者，则，有，于是 解得： 矛盾。故不是完全平方数。三解：（1）若，则，与矛盾！故 由知：, 又由费马小定理得：，即 ，即 由、，只有，故 经检验，此时，故为所求数组。（2）我们来求出一个。时，取即可。当时，10
7、 若 设 取 由及费马小定理： 由及费马小定理：类似可得： 又 ， 20 若令 待定 同理： 只须取，使即可 ， 当 跑遍模的完系时，也跑遍模的完系，故可取，使成立， 综上，必有正整数 满足条件。 四解：(1)抛物线的焦点为,设的直线方程为.由得,设M,N的横坐标分别为则,得,而,故PQ的斜率为,PQ的方程为.代入得.设动点R的坐标, 则, 因此,故PQ中点R的轨迹L的方程为.(2) 显然对任意非零整数,点都是L上的整点,故L上有无穷多个整点. 反设L上有一个整点(x,y)到原点的距离为整数m,不妨设, 则, 因为是奇素数,于是, 从可推出, 再由可推出,令, 则有,由,得,于是, 即,于是,得,故,有, 但L上的点满足, 矛盾!因此, L上任意点到原点的距离不为整数.专心-专注-专业