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1、 我们把研究关于我们把研究关于“两点之间，线两点之间，线段最短段最短”“垂线段最短垂线段最短”等等问题，问题，称它们为最短路径问题称它们为最短路径问题.最短路径问最短路径问题在现实生活中经常碰到，今天我们题在现实生活中经常碰到，今天我们就通过几个实际问题就通过几个实际问题,具体体会如何具体体会如何运用所学知识选择最短路径运用所学知识选择最短路径.新新 课课 引引 入入最短路径问题最短路径问题问题问题1相传，古希腊亚历山大城里有一位久负盛名相传，古希腊亚历山大城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：海伦，
2、求教一个百思不得其解的问题：如图，牧马人从如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边地出发，到一条笔直的河边 l 饮马，饮马，然后到然后到B地牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走地牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？的路径最短？ABl精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 知识回答了这个问题这个问题后来被称为知识回答了这个问题这个问题后来被称为“将军饮马将军饮马 问题问题”你能将这个问题抽象为数学问题吗？你能将这个问题抽象为数学问题吗？lABCC转化为数学问题转化为数学问题 当点当点C在直线在直线 l 的什么位置时，的什么位置时，AC
3、与与BC的和最小？的和最小？分析：分析：ABl 如图，点如图，点A、B分别是直线分别是直线l异侧的两个点，异侧的两个点，如何在如何在 l 上找到一个点，使得这个点到点上找到一个点，使得这个点到点A、点、点B的距离的和最短？的距离的和最短？联想：联想：两点之间，线段最短.lABCB（1）这两个问题之间，有什么相同点和不同点？）这两个问题之间，有什么相同点和不同点？（2）我们能否把左图）我们能否把左图A、B两点转化到直线两点转化到直线l 的异侧呢？的异侧呢？（3）利用什么知识可以实现转化目标？）利用什么知识可以实现转化目标？分析：分析：lABClABClABCB 如图，作点如图，作点B关于直线关于
4、直线 l 的对称点的对称点B.当点当点C在直线在直线 l 的什么位置时，的什么位置时，AC与与CB的和最小？的和最小？在连接在连接AB两点的线中，线段两点的线中，线段AB最短最短.因此，因此，线段线段AB与直线与直线 l 的交点的交点C的位置即为所求的位置即为所求.在直线在直线 l 上任取另一点上任取另一点C，连接连接AC、BC、B C 直线直线 l 是点是点B、B的对称轴，的对称轴，点点C、C在对称轴上，在对称轴上，BC=BC，BC=BC AC+BC=AC+BC=AB在在ABC中，中，AB AC+BC，AC+BC AC+BC，即即AC+BC最小最小lABCBC证明：如图证明：如图.在解决最短
5、路径问题时，我们通常利用在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称变换，把复杂问题转化为容易解轴对称变换，把复杂问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择决的问题，从而作出最短路径的选择方法总结：方法总结：问题问题1 归纳归纳lABClABCBlABC抽象为数学问题抽象为数学问题用旧知解决新知用旧知解决新知联想旧知联想旧知解决实解决实际问题际问题ABl问题问题2 （造桥选址问题）如图，（造桥选址问题）如图，A和和B两地在同一条两地在同一条河的两岸，现要在河上造一座桥河的两岸，现要在河上造一座桥MN桥造在何桥造在何处可使从处可使从A到到B的路径的路径AMNB最短？（假定河的两最短？（假定河的
6、两岸是平行的直线，桥要与河垂直岸是平行的直线，桥要与河垂直.）思考：思考：你能把这个问题转化你能把这个问题转化为数学问题吗？为数学问题吗？如图假定任选位置造桥MN，连接AM和BN，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么折线AMNB在在什么情况下最短呢？aBAbMN 由于河宽是固定的，因此当AM+NB最小时，AM+MN+NB最小.分析：分析：lABCaBAbMNA 如图，如果将点A沿与河岸垂直的方向平移到点A，使AA等于河宽，则AA=MN，AM=AN，问题转化为：当点N在直线b的什么位置时，AN+NB最小？参考右图，利用“两点之间，线段最短”可以解决.如图，沿垂直于河岸的方向平移A到A，使AA等
7、于河宽，连接AB交河岸于点N，在点N处造桥MN，此时路径AM+MN+BN最短.aBAbMNA解：解：另任意造桥MN，连接AM、BN、AN.由平移性质可知，AMAN，AMAN，AAMNM N.AM+MN+BNAA+AB，AM+MN+BNAA+AN+BN.在ANB中，由线段公理知AN+BN AB，AM+MN+BN AM+MN+BN.证明：证明：aBAbMNANM总结归纳：总结归纳：在解决最短路径问题时，我们在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换，把通常利用轴对称、平移等变换，把较复杂的问题转化为容易解决的问较复杂的问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择。题，从而作出最短路径
8、的选择。问题问题2 归纳归纳抽象为数学问题抽象为数学问题用旧知解决新知用旧知解决新知联想旧知联想旧知解决实解决实际问题际问题lABC小结归纳小结归纳lABClABCB轴对称轴对称变换变换平移平移变换变换两点之间，线段最短.1.如图，直线如图，直线l是一条河，是一条河，P、Q是是两个村庄两个村庄.欲在欲在l上的某处修建上的某处修建一个水泵站，向一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（）PQlAMPQlBMPQlCMPQlDMD尝试应用：尝试应用：2.如图，牧童在如
9、图，牧童在A处放马，其家在处放马，其家在B处，处，A、B到河岸的距离分到河岸的距离分别为别为AC和和BD，且，且AC=BD,若点若点A到河岸到河岸CD的中点的距离为的中点的距离为500米，则牧童从米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离是是 米米.ACBD河河10004、如图所示，、如图所示，M、N是是ABC边边AB与与AC上上两点，在两点，在BC边上求作一点边上求作一点P，使，使PMN的周的周长最小。长最小。MP本节课你有什么收获？本节课你有什么收获？学习了利用轴对称解决最短路径问题学习了利用轴对称解决最短路径问题感悟和体会转化的思想感悟
10、和体会转化的思想补偿提高补偿提高如图，一个旅游船从大桥如图，一个旅游船从大桥AB 的的P 处前往山处前往山脚下的脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返上，再返 回回P 处，请画出旅游船的最短路径处，请画出旅游船的最短路径ABCPQ山山河岸河岸大桥大桥思路分析：思路分析：由于两点之间线段最短，所以首先可连接由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线，线段段PQ 为旅游船最短路径中的必经线路将河岸抽象为为旅游船最短路径中的必经线路将河岸抽象为一条直线一条直线BC，这样问题就转化为，这样问题就转化为“点点P，Q 在直线在直线BC 的同侧，如何在的同侧，如何
11、在BC上找到上找到一点一点R，使，使PR与与QR 的和最的和最小小”ABCPQ山山河岸河岸大桥大桥新新知知1运用轴对称解决距离最短问题运用轴对称解决距离最短问题 运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同心，所有作法都相同.新新 知知2利用平移确定最短路径选址利用平移确定最短路径选址 解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题.在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题上，从而作出最短路径的方法来解决问题.布置作业