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1、直播课程一直播课程一 正是在那个时候，数学家逐渐发现分正是在那个时候，数学家逐渐发现分析基础本身还存在着许多问题。比如，析基础本身还存在着许多问题。比如，什么是函数这个看上去简单而且十分什么是函数这个看上去简单而且十分重要的问题，数学界并没有形成一致重要的问题，数学界并没有形成一致的见解。以至长期争论问题的这样和的见解。以至长期争论问题的这样和那样的解答，这样和那样的数学结果，那样的解答，这样和那样的数学结果，弄不清究竟谁是正确的。弄不清究竟谁是正确的。比如，连续函数必定可积，但是比如，连续函数必定可积，但是具有什么性具有什么性 质的不连续函数也可积质的不连续函数也可积呢？如果改变积分的定义，
2、可积分条呢？如果改变积分的定义，可积分条件又是什么样的？连续函数不一定件又是什么样的？连续函数不一定可导，那么可导的充分必要条件又是可导，那么可导的充分必要条件又是什么样的？什么样的？什么什么是是测度呢？简单地说，测度呢？简单地说，线线段的长度段的长度,平面平面图形图形的的面积面积,空间空间立立体体的的体积体积就是它的测度。就是它的测度。测度的概念测度的概念对于实变函数论十分重要。集合的测对于实变函数论十分重要。集合的测度这个概念是由法国度这个概念是由法国 数学家勒贝格数学家勒贝格提出来的。提出来的。数学分析中最重要的概念之一是黎曼积分。数学分析中最重要的概念之一是黎曼积分。从黎曼积分的记号从
3、黎曼积分的记号 可以看出，它含有可以看出，它含有两个要素两个要素及及一个运算一个运算（1）积分区间积分区间（2）被积函数被积函数 （3）积分运算积分运算 R-积分的局限性积分的局限性可积性不易验证。可积性不易验证。积分与极限交换顺序的条件太苛刻。积分与极限交换顺序的条件太苛刻。积分不完全是微分的逆运算积分不完全是微分的逆运算。本课程的中心内容：本课程的中心内容：推广黎曼积分为勒贝格积分推广黎曼积分为勒贝格积分记号：记号：注意注意 这里这里E E是欧几里德是欧几里德(Euclid)(Euclid)空间的空间的点集点集，不必是区间不必是区间，是是可测函数可测函数，而积分运，而积分运 算依赖所考虑的
4、算依赖所考虑的测度测度。主要内容主要内容v 集合论集合论v 空间点集论空间点集论v 测度论测度论v 可测函数可测函数v Lebesgue积分论积分论第一章第一章 集集 合合 主要内容主要内容 集合及其运算集合及其运算 集的对等及其基数集的对等及其基数 基本要求基本要求 1 理解集的概念，分清集的元与集的归属关系，理解集的概念，分清集的元与集的归属关系，集与集之间的包含关系的区别。集与集之间的包含关系的区别。2 掌握掌握集之间的并、交、差、余运算。集之间的并、交、差、余运算。3 掌握集列的上、下限集的概念及其交并表示。掌握集列的上、下限集的概念及其交并表示。4 理解集列的收敛、单调集列的概念。理
5、解集列的收敛、单调集列的概念。5 掌握掌握映射，两集合对等及集合基数等概念。映射，两集合对等及集合基数等概念。6 理解伯恩斯坦定理（不要求掌握证明），能利用理解伯恩斯坦定理（不要求掌握证明），能利用定义及伯恩斯坦定理证明两集合对等。定义及伯恩斯坦定理证明两集合对等。7 理解可数集，不可数集的意义，理解可数集，不可数集的意义，掌握掌握可数集、可数集、基数为基数为C的集合的性质，理解不存在最大基数的定理的集合的性质，理解不存在最大基数的定理的意义。的意义。可数集的性质可数集的性质A.A.任何无限集必任何无限集必含有可数子集含有可数子集B.B.可数集的子集可数集的子集至多是可数的。至多是可数的。即或
6、为有限即或为有限集或为可数集。集或为可数集。C.C.可数个可数集的并可数个可数集的并集是可数集。集是可数集。A=nxxxa,21LL,()()()nkxxxkkk.,2,1;,21LL=则则 A A 为可数集。为可数集。D.D.可可数个可数集的并集是可数集。若数个可数集的并集是可数集。若A A中中每个元素由每个元素由n n个互相独立的记号所决定个互相独立的记号所决定，各各记号跑遍一个可数集记号跑遍一个可数集例例1：证明：证明例例2例例3：证明：证明直播课程二直播课程二例例4：第二章第二章 点点 集集 主要内容主要内容 度量空间、度量空间、n n 维欧氏空间简介维欧氏空间简介聚点、内点、界点等概
7、念聚点、内点、界点等概念开集、闭集、完备集。开集、闭集、完备集。直线上的开集、闭集及完备集的构造。直线上的开集、闭集及完备集的构造。1 明确明确 n 维欧氏空间中极限概念主要依维欧氏空间中极限概念主要依赖于距离这个概念，从而了解邻域概念在极赖于距离这个概念，从而了解邻域概念在极限理论中的作用。限理论中的作用。2 理解聚点，孤立点、内点、外点、界理解聚点，孤立点、内点、外点、界点的意义，掌握有关性质。点的意义，掌握有关性质。3 理解开集、闭集、完备集的意义，掌理解开集、闭集、完备集的意义，掌握其性质。握其性质。4 理解直线上开集、闭集、完备集的构理解直线上开集、闭集、完备集的构造。造。5 理解康
8、托集的构造、特性。理解康托集的构造、特性。基本要求基本要求例例1例例2 主要内容主要内容 外测度及其性质。外测度及其性质。Lebesgue可测集及其性质。可测集及其性质。基本要求基本要求 理解测度的意义。理解测度的意义。理解外测度的意义，理解外测度的意义，掌握掌握其有关性质。其有关性质。理解可测集的定义，理解可测集的定义，掌握掌握可测集的性质可测集的性质。了解并掌握不可测集的存在性这一结论。了解并掌握不可测集的存在性这一结论。第三章测第三章测 度度 论论例例1 1例例2 2例例3例例4 4例例5 5例例6 6例例7 7例例8 8第四章第四章 可可 测测 函函 数数 主要内容主要内容可测函数及其
9、性质。可测函数及其性质。叶果洛夫定理。叶果洛夫定理。可测函数的构造。可测函数的构造。依测度收敛。依测度收敛。基本要求基本要求 1 1 掌握掌握可测函数的定义及等价定义。可测函数的定义及等价定义。2 2 掌握掌握可测函数的有关性质。可测函数的有关性质。3 3 理解简单函数的定义，理解简单函数的定义，掌握掌握可测函数可测函数与简单函数的关系。与简单函数的关系。4 4 掌握掌握可测函数列的收敛点集和发散点可测函数列的收敛点集和发散点集的表示集的表示方法。方法。5 5 掌握掌握叶果洛夫定理，鲁津定理。叶果洛夫定理，鲁津定理。6 6 理解依测度收敛的意义，理解依测度收敛的意义，掌握掌握依测度收依测度收敛
10、与敛与 a ae e 收敛的联系与区别。收敛的联系与区别。例例1 1例例2 2例例3 3第五章第五章积积 分分 论论 主要内容主要内容 黎曼积分的简单回顾。黎曼积分的简单回顾。勒贝格积分的建立和性质。勒贝格积分的建立和性质。积分的极限定理。积分的极限定理。有界变差函数。有界变差函数。不定积分与绝对连续函数。不定积分与绝对连续函数。基本要求基本要求 1 1 了解黎曼可积的充要条件是被积函数几乎处处了解黎曼可积的充要条件是被积函数几乎处处连续（不要求掌握证明）。连续（不要求掌握证明）。2 2 理解勒贝格积分的定义及其建立过程。理解勒贝格积分的定义及其建立过程。3 3 理解理解R R 积分与积分与
11、L L 积分的关系。积分的关系。4 4 理解理解 L L 积分的性质，特别是掌握积分的性质，特别是掌握L L 积分的绝对积分的绝对可积性和绝对连续性。可积性和绝对连续性。5 5 掌握掌握勒贝格控制收敛定理、列维定理、逐项积勒贝格控制收敛定理、列维定理、逐项积分定理、积分的可数可加性定理，法都引理。分定理、积分的可数可加性定理，法都引理。6 6 理解有界变差函数及全变差的定义，掌握其性理解有界变差函数及全变差的定义，掌握其性质。质。7 7 理解有界变差函数的导数性质。理解有界变差函数的导数性质。8 8 理解不定积分与绝对连续函数的意义。理解不定积分与绝对连续函数的意义。例例 1、设设 ()=的有
12、理数的有理数，是是的无理数的无理数，是是10102xxxxxf问问()10，在在xf上上 是是 否否 黎曼黎曼可可 积积？是是 否否 勒贝格可勒贝格可积积？若可积，则计算其？若可积，则计算其积积 分值。分值。答：答：()10，在在xf上不黎曼可积，上不黎曼可积，因为因为)(xf的不连续点集为的不连续点集为)1,0(，不是零测集。但，不是零测集。但上有界可测。从而勒贝格上有界可测。从而勒贝格可积。可积。()10，在在xf记记1E为为 1,0的有理数，的有理数，2E为为 1,0的无理数，则的无理数，则()210.1021,021221=+=+=+=dxxdxxdxxdxxdxxdxxdxxfEEEEE 例例 2 2 计算：计算：xdxexnnxxn51022cos1lim-+解解L,2,1,1,0,cos1)(522=+=-nxxexnnxxfxn则则1|)(|xfn且对任何且对任何 1,0 x都都有有0)(lim=xfnn。显然显然()xfn可测，可测，由由Lebesgue控制收敛定理，控制收敛定理，