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1、4.3（二）（二）大竹县二郎镇中心小学大竹县二郎镇中心小学 熊庆熊庆复习回顾:运用平方差公式分解因式运用平方差公式分解因式 两项式，两项式，都是平方项，都是平方项，两项为异号两项为异号.平方差公式的特征：平方差公式的特征：方法步骤：方法步骤：将两项写成平方的形式；找出将两项写成平方的形式；找出a a、b b利用利用a a2 2-b-b2 2=(a-b)(a+b)=(a-b)(a+b)分解因式。分解因式。注意：注意：分解因式时分解因式时,先考虑能否先考虑能否提公因式提公因式,再考虑能否用公式法再考虑能否用公式法分解因式分解因式.分解因式一直到不分解因式一直到不能分解为止。能分解为止。思考:把下列
2、各式分解因式(1)a2(m-n)-b2(n-m)（2）（3）y4-1完全平方式完全平方式（即为整式乘法运算）（即为整式乘法运算）学习目标学习目标 我相信我会完成目标的！我相信我会完成目标的！1.熟练掌握完全平方公式熟练掌握完全平方公式,找出完全平方公式找出完全平方公式分解因式的特征。分解因式的特征。2.会用完全平方公式分解因式，包括简单的会用完全平方公式分解因式，包括简单的和复杂的。和复杂的。自学指导：自学指导：阅读课本阅读课本101页内容，找出并牢记页内容，找出并牢记完全平方公式，找出例题每题中谁相当于公式完全平方公式，找出例题每题中谁相当于公式中的中的a和和b。（时间：八分钟）（时间：八分
3、钟）提示：题目中也有可能是一个多项式相当于公提示：题目中也有可能是一个多项式相当于公式中的式中的a和和b.把两个公式反过来就得到即为分解因式运算的即为分解因式运算的完全平方公式完全平方公式 能运用能运用完全平方公式完全平方公式分解因式分解因式的多项式的特征：的多项式的特征：三项式；三项式；两项两项为为式子式子(或数或数)的的平方平方，同为正；同为正；一项一项为为两个式子两个式子(或数或数)的的乘积的乘积的2 2倍倍 （符号可正可负）。（符号可正可负）。这种运用乘法公式把某些多项式分解因式,这种分解因式的方法叫做运用公式法运用公式法.a2-b2=(a+b)(a-b)乘法公式：乘法公式：例例1:1
4、:下列多项式是完全平方式下列多项式是完全平方式吗吗?若是若是,请找出相应的请找出相应的a a和和b.b.（2）（1）答：答：（1）（2）x x 为公式中的为公式中的a a，6 6 为为 公式中的公式中的b;b;x x 为公式中的为公式中的a a，y y 为为 公式中的公式中的b;b;（3）（4）答：答：（1）（2）“1/1/(2x2x)”为公式中的为公式中的a a，“3n 3n”为公式中的为公式中的b;b;“(a+b)(a+b)”为公式中的为公式中的a a，“3 3”为公式中为公式中的的b;b;分析：分析：如果如果把多项式的各项均提出一个把多项式的各项均提出一个负号负号，那么，那么括号内的多项
5、式就符合括号内的多项式就符合完全平方式的结构特点，完全平方式的结构特点，从而可以从而可以运用完全平方公式分解因式运用完全平方公式分解因式.解：解：x x2 2-4y-4y2 2+4xy+4xy =(x(x2 24xy+4y4xy+4y2 2)=xx2 22 22x2xy+(2y)y+(2y)2 2 =(x(x2y)2y)2 2.例例2 2 把把 x x2 2-4y-4y2 2+4xy+4xy 分解因式分解因式注意：注意：1.1.在在一一个个多多项项式式中中，两两个个平平方方项项的的符符号号必必须须相相同同，才才有有可可能能成成为为完完全全平平方式方式.2.2.在在对对类类似似例例1 1的的多多
6、项项式式分分解解因因式式时时，一一般般都都是是先先把把完完全全平平方方项项的的符符号号变变为为正正的的，也也就就是是先先把把负负号号提提到到括括号号外外面面，然然后后再再把把括括号号内内的的多多项项式式运运用用完完全全平平方方公公式式分分解解因式因式.例例3 3 把把(x+y)(x+y)2 26(x+y)+96(x+y)+9分解因式分解因式.分分析析：多多项项式式中中的的两两个个平平方方项项分分别别是是(x+y)(x+y)2 2和和3 32 2 ，另另一一项项6(x+y)=26(x+y)=2(x+y)(x+y)3 3，符符合合完完全全平平方方式式的的形形式式，这这里里“x+yx+y”相相当当于
7、于完完全全平平方方式式中中的的a a，“3 3”相相当当于于相相当当于于公公式式中的中的b b，设，设a=x+ya=x+y，我们可以把原式变为，我们可以把原式变为(x+y)(x+y)2 26(x+y)+9=a6(x+y)+9=a2 26a+96a+9，因而能运用完全平方公式，得到因而能运用完全平方公式，得到(a(a3)3)2 2.在解题过程中，可以把代换这一步骤省略在解题过程中，可以把代换这一步骤省略.解解：(x+y)26(x+y)+9=(x+y)22(x+y)3+32=(x+y3)2.例例3.3.把把m m2 2-10m(a+b)+25(a+b)-10m(a+b)+25(a+b)2 2分解因
8、式分解因式.问：观察和分析这个多项式，是问：观察和分析这个多项式，是否符合完全平方式形式否符合完全平方式形式?为什么为什么?答：可以把答：可以把m m2 2-10m(a+b)+25-10m(a+b)+25（a+b)a+b)2 2写成写成m m2 2-2-2 m m 5(a+b)+5(a+b)5(a+b)+5(a+b)2 2.这里这里m m相当于完全平方式里的相当于完全平方式里的a a，5(a+b)5(a+b)相当于完全平方式里的相当于完全平方式里的b.b.原原式是完全平方式，可以运用完全平式是完全平方式，可以运用完全平方公式因式分解方公式因式分解.解：解：m m2 2-10m(a+b)+25(
9、a+b)-10m(a+b)+25(a+b)2 2 =m =m2 2-2-2 m m 5(a+b)+5(a+b)5(a+b)+5(a+b)2 2 =m-5(a+b)=m-5(a+b)2 2 =(m-5a-5b)=(m-5a-5b)2 2.注意：通过以上各例题可以看到，注意：通过以上各例题可以看到，在给出的多项式中，两个平方项可在给出的多项式中，两个平方项可以是单项式以是单项式 (或数或数)，也可以是多，也可以是多项式项式.例例4 4 把下列各式分解因式：把下列各式分解因式：(1)3ax(1)3ax2 2+6axy+3ay+6axy+3ay2 2；(2)81m(2)81m4 472m72m2 2n
10、 n2 2+16n+16n4 4.分析：分析：所给的多项式是三项式，其所给的多项式是三项式，其中第一、三项可以变形为平方项，中第一、三项可以变形为平方项，即即81m81m4 4=(9m=(9m2 2)2 2，16n16n4 4=(4n=(4n2 2)2 2，中间，中间项项72m72m2 2n n2 2=2=29m9m2 24n4n2 2，所以这个多项，所以这个多项式符合完全平方式形式，因此可以式符合完全平方式形式，因此可以运用完全平方公式因式分解运用完全平方公式因式分解.解解(1)3ax(1)3ax2 2+6axy+3ay+6axy+3ay2 2=3a(x=3a(x2 2+2xy+y+2xy+
11、y2 2)=3a(x+y)=3a(x+y)2 2.注意：如果多项式的各项有公因式，应该先提出这个公因式，再进一步分解因式.(2)81m(2)81m4 472m72m2 2n n2 2+16n+16n4 4 =(9m =(9m2 2)2 22 29m9m2 24n4n2 2+(4n+(4n2 2)2 2 =(9m =(9m2 24n4n2 2)2 2.=(3m)=(3m)2 2(2n)(2n)2 2 2 2=(3m+2n)(3m=(3m+2n)(3m2n)2n)2 2=(3m+2n)=(3m+2n)2 2(3m(3m2n)2n)2 2.（随练第（随练第52页页/1，2）分解因式分解因式 把多项式
12、分解因式，首先观察多项式把多项式分解因式，首先观察多项式的特点，再选用的特点，再选用适当的方法适当的方法分解因式分解因式.当所给的多项式的当所给的多项式的各项有公因式各项有公因式时，时，应应先提公因式先提公因式；当一个多项式的当一个多项式的两个平方项都含有负两个平方项都含有负号号时，时，先提出负号先提出负号，使括号内的多项式，使括号内的多项式的平方项变为正号；的平方项变为正号；当多项式是二次三项式时，把这个多当多项式是二次三项式时，把这个多项式转化为完全平方式，再进行分解因项式转化为完全平方式，再进行分解因式式.小结小结：1.课本课本p p103103习题习题4.5/1,2,3.4.5/1,2
13、,3.2.整理笔记整理笔记 三、课堂练习三、课堂练习 把下列各式分解因式把下列各式分解因式：(1)(x+y)210(x+y)+25；(2)2xyx2y2；(3)ax2+2a2x+a3；(4)a2c2c4+2ac3；(5)(a+b)2-16(a+b)+64；(6)(x2+2x)2+2(x2+2x)+1；(7)(m26)2 6(m26)+9；(8)a48a2b2+16b4.答案：答案：(1)(x+y5)2；(2)(x+y)2；(3)a(x+a)2；(4)c2(ac)2；(5)(a+b8)2；(6)(x+1)4；(7)(m+3)2(m3)2；(8)(a+2b)2(a2b)2把以下三个多项式分解因式把
14、以下三个多项式分解因式小结小结运用完全平方公式把一个多项运用完全平方公式把一个多项式分解因式的主要思路与方法是：式分解因式的主要思路与方法是：1.1.首首先先要要观观察察、分分析析和和判判断断所所给给出出的的多多项项式式是是否否为为一一个个完完全全平平方方式式，如如果果这这个个多多项项式式是是一一个个完完全全平平方方式式，再再运运用用完完全全平平方方公公式式把把它它进进行行分分解解因因式式.有有时时需需要要先先把把多多项项式式经经过过适适当当变变形形，得得到到一一个个完完全全平平方方式式，然然后后再再把把它它分分解解因式因式.2.2.在选用完全平方公式时，关键是在选用完全平方公式时，关键是看多
15、项式中的第二项的符号，看多项式中的第二项的符号，如果是正号，如果是正号，则用公式则用公式 a a2 2+2ab+b+2ab+b2 2=(a+b)=(a+b)2 2；如果是负号，如果是负号，则用公式则用公式 a a2 22ab+b2ab+b2 2=(a=(ab)b)2 2.3.3.在在一一个个多多项项式式中中，两两个个平平方方项项的的符符号号必必须须相相同同，才才有有可可能能成成为完全平方式为完全平方式.4.4.在对类似例在对类似例1 1的多项式分解因式的多项式分解因式时，一般都是先把完全平方项的符时，一般都是先把完全平方项的符号变为正的，也就是先把负号提到号变为正的，也就是先把负号提到括号外面，然后再把括号内的多项括号外面，然后再把括号内的多项式运用完全平方公式分解因式式运用完全平方公式分解因式.5.5.当当给给出出的的多多项项式式的的结结构构比比较较复复杂杂时时，不不能能直直接接看看出出是是否否为为完完全全平平方方式式的的形形式式，可可以以通通过过代代换换的的方方法法或或经经过过适适当当的的变变形形(如如添添括括号号)，把把原原多多项项式化为完全平方式式化为完全平方式.