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1、数学归纳法江西省南康中学江西省南康中学 王业明王业明请学生思考：证明【数学归纳法的原理及步骤数学归纳法的原理及步骤】一般地，证明一个与正整数一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：有关的命题，可按下列步骤进行：（1）（归纳奠基）证明当）（归纳奠基）证明当n取第一个值取第一个值n0（时命题成立；时命题成立；（2）（归纳递推）假设）（归纳递推）假设n=k(时命题成立，证明当时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立时命题也成立.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数开始的所有正整数n都成立都成立.上述证明方法叫做数学归纳法上述
2、证明方法叫做数学归纳法有了此法，以前的一些猜想就可进行证明了，而且还可论证更丰富的数学问题.例例1 用数学归纳法证明（）【分析分析】证明与自然数n有关的等式问题，用数学归纳法还是比较方便的，要注意数学归纳法的步骤的规范性，不要丢掉关键的字或词，如：当n=k+1时命题也成立中的“也”字.【证明证明】(1）当n=1时,左边=12=1，右边=1 n=1时，等式成立.(2)假设n=k（kN*）时，等式成立，即 那么，当n=k+1时 左边=12+22+k2+(k+1)2 =右边n=k+1时，原不等式也成立.由（1）、（2）知当nN*时，原不等式都成立.【点评点评】数学归纳法作为一种证明方法，其基本思想是
3、递推(递归)思想，使用要点可概括为：两个步骤一结论，递推基础使用要点可概括为：两个步骤一结论，递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.练习练习 用数学归纳法证明用数学归纳法证明 135（2n1）例例2 用数学归纳法证明：.（黑板板书）探究一探究二探究三探究四探究一用数学归纳法证明恒等问题用数学归纳法证明恒等问题数学归纳法可以证明与自然数有关的恒等式问题,证明此类问题的关键在于第二步,它有一个基本格式,我们不妨设命题为P(n):f(n)=g(n).其第二步相当于做一道条件等式的证明题,已知:f(k)=g(k),求证:f(k+1)=g(k+1).通常可
4、采用的格式分为三步:(1)找出f(k+1)与f(k)的递推关系;(2)把归纳假设f(k)=g(k)代入;(3)作恒等变形化为g(k+1).示意图为:探究一探究二探究三探究四探究一探究二探究三探究四探究一探究二探究三探究四点评用数学归纳法证明一个代数恒等式,解题前先要分析清楚等式两边的构成情况.解这类题的关键在第二步,将式子转化为与归纳假设的等式结构相同的形式凑假设.然后应用归纳假设,经过恒等变形得到结论所需形式凑结论.探究一探究二探究三探究四探究一探究二探究三探究四探究二用数学归纳法证明整除问题用数学归纳法证明整除问题利用数学归纳法证明整除性问题时,第二步一般先将n=k+1代入原式,然后将原式
5、作适当的恒等变形,凑出归纳假设,这是证明的关键和难点.典型例题2求证:an+1+(a+1)2n-1能被a2+a+1整除,nN+.思路分析:对于多项式A,B,如果A=BC,C也是多项式,那么A能被B整除.若A,B都能被C整除,则A+B,A-B也能被C整除.证明:(1)当n=1时,a1+1+(a+1)21-1=a2+a+1,命题显然成立.探究一探究二探究三探究四(2)假设n=k(kN+,且k1)时,ak+1+(a+1)2k-1能被a2+a+1整除,则当n=k+1时,ak+2+(a+1)2k+1=aak+1+(a+1)2(a+1)2k-1=aak+1+(a+1)2k-1+(a+1)2(a+1)2k-
6、1-a(a+1)2k-1=aak+1+(a+1)2k-1+(a2+a+1)(a+1)2k-1.由归纳假设,得上式中的两项均能被a2+a+1整除,故n=k+1时命题成立.由(1)(2)知,对nN+,命题成立.点评证明整除性问题的关键是“凑项”,而采用增项、减项、拆项、因式分解等手段,凑出n=k时的情形,从而利用归纳假设使问题得证.探究一探究二探究三探究四变式训练2求证:对任意正整数n,34n+2+52n+1能被14整除.证明:(1)当n=1时,34n+2+52n+1=36+53=854=1461,能被14整除,命题成立.(2)假设当n=k时命题成立,即34k+2+52k+1能被14整除,那么当n
7、=k+1时,34(k+1)+2+52(k+1)+1=34k+234+52k+152=34k+234+52k+134-52k+134+52k+152=34(34k+2+52k+1)-52k+1(34-52)=34(34k+2+52k+1)-5652k+1.因为34k+2+52k+1能被14整除,56也能被14整除,所以34(k+1)+2+52(k+1)+1能被14整除,故命题成立.由(1)(2)知,命题对任意正整数n都成立.探究一探究二探究三探究四探究三用数学归纳法证明几何问题用数学归纳法证明几何问题对于几何问题的证明,可以先从有限情形中归纳出一个变化的过程,或者说体会出是怎样变化的,然后再去证
8、明,也可以用“递推”的方法来证明.证明的关键是寻找f(k+1)与f(k)之间的递推关系,基本策略是“往后退”,从f(k+1)中将f(k)分离出来.典型例题3平面内有n个圆,任意两个圆都相交于两点,任意三个圆不相交于同一点,求证:这n个圆将平面分成f(n)=n2-n+2个部分(nN+).思路分析:因为f(n)为n个圆把平面分割成的区域数,那么再有一个圆和这n个圆相交,就有2n个交点,这些交点将增加的这个圆分成2n段弧,且每一段弧又将原来的平面区域一分为二,因此,增加一个圆后,平面分成的区域数增加2n个,即f(n+1)=f(n)+2n.有了上述关系,数学归纳法的第二步证明可迎刃而解.探究一探究二探
9、究三探究四证明:(1)当n=1时,一个圆将平面分成两个部分,且f(1)=1-1+2=2,所以n=1时命题成立.(2)假设当n=k(kN+,且k1)时命题成立,即k个圆把平面分成f(k)=k2-k+2个部分,则当n=k+1时,在k+1个圆中任取一个圆O,剩下的k个圆将平面分成f(k)个部分,而圆O与k个圆有2k个交点,这2k个点将圆O分成2k段弧,每段弧将原平面一分为二,故得f(k+1)=f(k)+2k=k2-k+2+2k=(k+1)2-(k+1)+2.所以当n=k+1时,命题成立.综合(1)(2)可知,对一切nN+,命题成立.点评证明几何问题的难点是找出由f(k)到f(k+1)增加了几个量.探究一探究二探究三探究四探究一探究二探究三探究四探究一探究二探究三探究四探究一探究二探究三探究四探究一探究二探究三探究四1 2 3 41.下列代数式中,nN+,则可能被13整除的是()A.n3+5nB.34n+1+52n+1C.62n-1+1 D.42n+1+3n+2解析:当n=1时,只有D项能被13整除.答案:D1 2 3 42.凸n边形有f(n)条对角线,则凸(n+1)边形的对角线的条数f(n+1)为()A.f(n)+n+1B.f(n)+nC.f(n)+n-1D.f(n)+n-2解析:从凸n边形到凸(n+1)边形,对角线增加了(n-1)条.答案:C1 2 3 41 2 3 41 2 3 4