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1、Operations Research Operations Research Prof.Wang Prof.Wang School of Economics&ManagementSchool of Economics&Managementpage page 1 11/10/20231/10/2023第十讲第六讲 运输问题的表上作业法运输问题的表上作业法 1运输问题事例2运输问题的一般形式3表上作业法Operations Research Operations Research Prof.Wang Prof.Wang School of Economics&ManagementSchool o
2、f Economics&Managementpage page 2 21/10/20231/10/2023第十讲1 运输问题事例（1）已知，有4个产地（源点）生产的产品需销售到4个需求地（目的地或汇点），其源点产量和目的地需求量见表1-5。表1-5运输问题的需求量及产量目的地需求量源点产量1234总计22281723901234总计2418123690其源点到目的地的单位产品的运费价格见图1-7。Operations Research Operations Research Prof.Wang Prof.Wang School of Economics&ManagementSchool of
3、Economics&Managementpage page 3 31/10/20231/10/2023第十讲1 运输问题事例（2）费目用的源点地123412342418123622281723图1-7运输费用矩阵 表格旁边数字为产量和需要求量Operations Research Operations Research Prof.Wang Prof.Wang School of Economics&ManagementSchool of Economics&Managementpage page 4 41/10/20231/10/2023第十讲2 运输问题的一般形式 ri源i产量，aj目的地j
4、的需求量。Operations Research Operations Research Prof.Wang Prof.Wang School of Economics&ManagementSchool of Economics&Managementpage page 5 51/10/20231/10/2023第十讲3 表上作业法（1）与单纯形表格法一样，该法亦分两步进行：求出初始基础可行解求出最优解1用最小元素法求出满意的初始基础可解其方法是，按照费用矩阵元素Cij增长顺序逐个选择引入基本解的变量xij，非退化情况下，每选择1个，就必然排除1个源点或目的地，最后一步可一次排除1个源点和1个目
5、的地，这样便可得到一个初始基础可行解。Operations Research Operations Research Prof.Wang Prof.Wang School of Economics&ManagementSchool of Economics&Managementpage page 6 61/10/20231/10/2023第十讲3 表上作业法（2）以上例考察，观察图1-7。mincij=c22=1。故优先分配源2和目的地2之间的产品图1-8最小元素法第1步 18 24 01222171023361828Operations Research Operations Researc
6、h Prof.Wang Prof.Wang School of Economics&ManagementSchool of Economics&Managementpage page 7 71/10/20231/10/2023第十讲3 表上作业法（3）余下元素中，最小值为c32=2。图1-9最小元素法第2步 依此类推，最后获初始基础可行解示如图1-10中。18 12 24 0122217102336182805Operations Research Operations Research Prof.Wang Prof.Wang School of Economics&ManagementSch
7、ool of Economics&Managementpage page 8 81/10/20231/10/2023第十讲3 表上作业法（4）图1-10初始基础可行解 即基础解为：x11=22，x12=2，x22=18，x33=12，x42=8，x43=5，x44=23。此时总费用为255。22218128523Operations Research Operations Research Prof.Wang Prof.Wang School of Economics&ManagementSchool of Economics&Managementpage page 9 91/10/20231
8、/10/2023第十讲3 表上作业法（5）2求出最优解这有两种方法：闭回路法和位势法。闭回路法，其思路是令表中空格（即非基础解），对应的变量由0增加d单位，然后在保持产品供求平衡（即满足约束条件）情况下，使基础解参与变动，看其费有如何变化，若费用减少，则该非基变量可进入基，否则，加以排除，其思路与单纯形法一致。现继上图继续改进基础解，直至达优。i)参见图1-11，分析非基变量x32增加d单位以后，其它基础解及费用变化。Operations Research Operations Research Prof.Wang Prof.Wang School of Economics&Managemen
9、tSchool of Economics&Managementpage page 10101/10/20231/10/2023第十讲3 表上作业法（6）222241818+d12-d128-d5+d2336222817232求出最优解图1-11回路法原理Operations Research Operations Research Prof.Wang Prof.Wang School of Economics&ManagementSchool of Economics&Managementpage page 11111/10/20231/10/2023第十讲3 表上作业法（7）为使供求平衡，必
10、须符合：x32+dx42dx43+dx33d变动后，费用增加值为：8d5d+4d2d=5d，即费用增加，x32不能进基，为比较，把增加1个单位产品所引起的费用增加值填入相应的非基变量表格内，这又称检验值。注意，在用回路法求解每个非基变量检验值时，在根据供求平衡寻找闭合回路过程中，其回路转折点必须是基础解！例如，分析非基解x31x11x12x42x43x33x31。Operations Research Operations Research Prof.Wang Prof.Wang School of Economics&ManagementSchool of Economics&Managem
11、entpage page 12121/10/20231/10/2023第十讲3 表上作业法（8）22 2 24 18 18 12 12 8 5 23 36222817239695-3745-1对每个非基变量计算后，将其检验值填入图1-12中。图1-12 回路法计算结果 其中：内表示费用元素 内表示检验值 表内其它值为基础解。Operations Research Operations Research Prof.Wang Prof.Wang School of Economics&ManagementSchool of Economics&Managementpage page 13131/1
12、0/20231/10/2023第十讲3 表上作业法（9）ii)观察表格，或检验值全部0，已达最优胜，结束。否则，选取最负的检验值所对的非基变量，令其进基。图1-12中，x13的检验值为最负，故令x13进基，应使x13尽量大，但又 必 须 使 其 它 变 量 非 负。观 察 x13变 化 规 律：x13x12x42x43。应取下降变量中的最小值作为x13的值。此时minx12，x43=min2，5=2。故令x13=2则x12=0，x42=10，x43=3。将图1-12修正后，再求出当前非变量的检验值，示如图1-13。非基础解的检验数合为正，故获最成解，总费用为249。Operations Res
13、earch Operations Research Prof.Wang Prof.Wang School of Economics&ManagementSchool of Economics&Managementpage page 14141/10/20231/10/2023第十讲3 表上作业法（10）22 2 24 18 18 12 12 10 3 23 3622281723636357452图1-13 回路法所得最优表格 Operations Research Operations Research Prof.Wang Prof.Wang School of Economics&Manag
14、ementSchool of Economics&Managementpage page 15151/10/20231/10/2023第十讲3 表上作业法（11）位势法（简捷法）该法对运输费用矩阵表格每次可确定一组“行值”和“列值”。确定原则为使得每个基础变量之费用cij等于相应得行、列值之和，根据该原则求出行列值之后，用这些值再去求解每个非基本变量的检验数。结合本例阐述该步骤：（见图1-14）Operations Research Operations Research Prof.Wang Prof.Wang School of Economics&ManagementSchool of E
15、conomics&Managementpage page 16161/10/20231/10/2023第十讲3 表上作业法（12）图1-14 用位势法求解实例 22 2 24 18 18 12 12 8 5 23 3622281723969-35745-1S1S2S3S4 t1t2t3t4Operations Research Operations Research Prof.Wang Prof.Wang School of Economics&ManagementSchool of Economics&Managementpage page 17171/10/20231/10/2023第十讲
16、3 表上作业法（13）i)令si，tj分别为行值和列值求解方程：si+tj=cij xijB基集从方程知，共有m+n1个方程和m+n个未知量。由于我们感兴趣的是相对值，故可令任一个行值或列值等于某个固定值，例如令t1=0，即可求出各行、列值，可见“行”“列”值不是唯一的。对于本例，令t1=0后，解联立方程：Operations Research Operations Research Prof.Wang Prof.Wang School of Economics&ManagementSchool of Economics&Managementpage page 18181/10/20231/1
17、0/2023第十讲3 表上作业法（14）ii)根据已得的si，tj值求出非基础的检验值（或成本变动值）ij：ij=cij(si+tj)例如：图1-14中，13=c13(s1+t3)5(3+5)=3若130,则可进入基，根据此法求出所有非基本变量对应的检验值（成本变动值）后，选取minij(ij0)所对应的变量进入基础解。图1-14中得知，13=3为最小值，令x13进基，采用回路法找出应离开的基变量，重新调整后，仍按上述步骤反复运算，最后得出最优解。现在看位势法的对偶解释：结合本例，示如表1-6中。Operations Research Operations Research Prof.Wang
18、 Prof.Wang School of Economics&ManagementSchool of Economics&Managementpage page 19191/10/20231/10/2023第十讲3 表上作业法（15）表1-6位势法的对偶解释x11+x12+x13+x14=24x21+x22+x23+x24=18x31+x32+x43+x44=12x41+x42+x43+x44=36x11+x21+x31+x41=22x12+x22+x32+x42=28x13+x23+x33+x43=17 x14+x24+x34+x44=23(r1)s1(r2)s2(r3)s3(r4)s4(a
19、1)t1(a2)t2(a3)t3(a4)t4c11c12c13c14.c44Operations Research Operations Research Prof.Wang Prof.Wang School of Economics&ManagementSchool of Economics&Managementpage page 20201/10/20231/10/2023第十讲3 表上作业法（16）表1-6列出了本例的供求关系的8个约束方程。（由于，故只有7个独立约束方程）。该规划的对偶约束必为：Operations Research Operations Research Prof.W
20、ang Prof.Wang School of Economics&ManagementSchool of Economics&Managementpage page 21211/10/20231/10/2023第十讲3 表上作业法（17）显然，si，tj即是对偶问题的对偶变量y。共8个对偶变量，每次送代时有7个基础解变量，可写出7平衡方程式：si+tj=cij(xij B)这与上面分析完全一致。因此，位势法实质每一步都是首先求解对偶方程的平衡解，这与单纯形法思路相同。唯一差别是，本文在单纯形法引进的检验数为zscs，而运输问题引进的检验值cszs，相差一符号，这并无本质差别，只是判断时注意即可。