第八章拉普拉斯变换精选文档.ppt

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1、第八章拉普拉斯变换第八章拉普拉斯变换本讲稿第一页，共六十一页目录单边拉氏变换的性质单边拉氏变换的性质8-4 引言引言8-1拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义8-2典型信号的拉氏变换典型信号的拉氏变换8-3拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换8-5连续时间连续时间LTI系统的复频域分析系统的复频域分析8-62本讲稿第二页，共六十一页H(s)的零极点分布与时域特性的零极点分布与时域特性h(t)的关系的关系8-9电路的复频域分析法电路的复频域分析法8-7系统函数系统函数H(s)8-8系统的稳定性分析系统的稳定性分析8-10根轨迹分析法简介根轨迹分析法简介8-113本讲稿第三页，共六十一页8-1 引言引言

2、在十九世纪末，英国工程师亥维赛德（在十九世纪末，英国工程师亥维赛德（O.Heaviside 18501925）发明了）发明了“运算法运算法”（算子法）。解决电工程计算中遇（算子法）。解决电工程计算中遇到的一些基本问题。到的一些基本问题。法国数学家拉普拉斯（法国数学家拉普拉斯（P.C.Laplac，17491825年）的著作中为亥年）的著作中为亥维赛德运算法找到了可靠的数学依据，重新给予严密的数学定义，为维赛德运算法找到了可靠的数学依据，重新给予严密的数学定义，为之取名拉普拉斯变换（简称拉氏变换）。之取名拉普拉斯变换（简称拉氏变换）。拉普拉斯变换方法在电学，控制理论等众多的工程和科学领域中得拉普

3、拉斯变换方法在电学，控制理论等众多的工程和科学领域中得到广泛应用。到广泛应用。4本讲稿第四页，共六十一页8-1-2 复频域分析法复频域分析法以傅里叶变换为基础的频域分析方法的优点在于：以傅里叶变换为基础的频域分析方法的优点在于：它给出的结果有着清楚的物理意义，它给出的结果有着清楚的物理意义，傅里叶变换的不足之处：傅里叶变换的不足之处：傅里叶变换只能处理符合绝对可积（傅里叶变换只能处理符合绝对可积（）条件的信）条件的信号，号，而很多重要信号，如周期信号、阶跃信号和直流信号是不满足绝对可积条件的，而很多重要信号，如周期信号、阶跃信号和直流信号是不满足绝对可积条件的，因而其信号的分析受到限制。因而其

4、信号的分析受到限制。5本讲稿第五页，共六十一页复频域分析法的核心问题是运用拉普拉斯变换（简称拉氏变换）对复频域分析法的核心问题是运用拉普拉斯变换（简称拉氏变换）对系统进行分析，研究系统的传输函数（又称系统函数），系统的时系统进行分析，研究系统的传输函数（又称系统函数），系统的时域特性，频率特性和系统稳定性等诸多重要问题。它在通信与控制域特性，频率特性和系统稳定性等诸多重要问题。它在通信与控制领域至少有以下几个方面的应用：领域至少有以下几个方面的应用：简化线性微分方程求解，也即简化电路分析的时域求解。简化线性微分方程求解，也即简化电路分析的时域求解。建立系统函数，由求建立系统函数，由求 H(s)

5、。由由H(s)零、极点求系统频响特性。零、极点求系统频响特性。由由 H(s)零、极点研究系统稳定性，分析反馈系统性能。零、极点研究系统稳定性，分析反馈系统性能。6本讲稿第六页，共六十一页8-2-1 从傅立叶变换导出拉氏变换从傅立叶变换导出拉氏变换信号信号 ，乘以衰减因子，乘以衰减因子 （为任意实数）后，很容易满为任意实数）后，很容易满足绝对可积条件。足绝对可积条件。根据傅里叶变换定义：根据傅里叶变换定义：令令 ，具有频率的量纲，称为复频率。，具有频率的量纲，称为复频率。7本讲稿第七页，共六十一页将上式于傅立叶变换定义式比较，可写作将上式于傅立叶变换定义式比较，可写作取傅立叶反变换取傅立叶反变换

6、等式的两边都乘以等式的两边都乘以 ，则时间信号，则时间信号 可表示为可表示为令令 则则，可得，可得8（8-1）（8-2）（8-3）本讲稿第八页，共六十一页（8-3）式是）式是 信号的双边拉氏变换，称信号的双边拉氏变换，称 是是 的象函的象函数。（数。（8-2）式是）式是 的拉氏逆变换，称的拉氏逆变换，称 是是 的原函数。这两个积的原函数。这两个积分式可简单记作分式可简单记作9是一对拉氏变换对是一对拉氏变换对在实际应用中，经常遇到的时间信号大多数是有起因信号，在实际应用中，经常遇到的时间信号大多数是有起因信号，即即式称为式称为 信号的单边拉氏变换。信号的单边拉氏变换。本讲稿第九页，共六十一页8-

7、2-2 拉氏变换的收敛域拉氏变换的收敛域时间信号时间信号 的单边拉氏变换为的单边拉氏变换为 若变若变换式换式 存在，则是被积函数为收敛函数，即存在，则是被积函数为收敛函数，即收敛域（收敛域（ROC）：使）：使F(s)存在的存在的s的区域称为收敛域。要满足的区域称为收敛域。要满足10收敛域的表示法收敛域的表示法本讲稿第十页，共六十一页【例题【例题8-1】时间信号时间信号 （）是单边信号，位于）是单边信号，位于 的区间，故称其为右边信号，求其收敛域。的区间，故称其为右边信号，求其收敛域。解：解：11即即 时，时，存在存在ROC：ROC本讲稿第十一页，共六十一页【例题【例题8-2】（）为增长的单边指

8、数信号，求其）为增长的单边指数信号，求其收敛域。收敛域。解：解：即即 时，时，存在存在12ROC：本讲稿第十二页，共六十一页【例题【例题8-3】（），求其收敛域。），求其收敛域。解：解：13即即 时，时，存在存在ROC：本讲稿第十三页，共六十一页例题【例题【8-3】是左边信号的拉氏变换，而例题【】是左边信号的拉氏变换，而例题【8-2】是右边信】是右边信号的拉氏变换，两个不同的时间信号具有相同形式的拉氏变号的拉氏变换，两个不同的时间信号具有相同形式的拉氏变换，有同一个收敛坐标点，但是，使它们的拉氏变换存在的换，有同一个收敛坐标点，但是，使它们的拉氏变换存在的条件，即条件，即 所在区域却截然不同。

9、由此可以看出，如果已知所在区域却截然不同。由此可以看出，如果已知象函数象函数F(s)，必须要连同它的，必须要连同它的ROC一起，才能唯一的确定相应一起，才能唯一的确定相应的时间信号的时间信号 f(t)。由于我们研究的信号，大都是在由于我们研究的信号，大都是在t 为正值的范围，为正值的范围，所以本书只研究所以本书只研究 的单边信号的拉氏变换，因此不用写收敛域。的单边信号的拉氏变换，因此不用写收敛域。14本讲稿第十四页，共六十一页【例题【例题8-4】，求其收敛域。，求其收敛域。解：解：在在t 0 区间区间欲存在拉氏变换，必须满足欲存在拉氏变换，必须满足15 时，即时，即 ROC：时，即时，即 本讲

10、稿第十五页，共六十一页【例题【例题8-5】，求其收敛域。，求其收敛域。解：解：本身是一个有限积分式，其本身是一个有限积分式，其ROC为整个为整个s平面。平面。16本讲稿第十六页，共六十一页8-3 典型信号的拉氏变换典型信号的拉氏变换1 指数信号指数信号17即：即：若若 ，则有，则有若若 ，则有，则有若若 ，信号为阶跃函数，则有，信号为阶跃函数，则有本讲稿第十七页，共六十一页18即：即：若若 ，则得到等幅振荡的拉氏变换为，则得到等幅振荡的拉氏变换为2 变幅正弦函数变幅正弦函数本讲稿第十八页，共六十一页3 单位冲激函数及其导数单位冲激函数及其导数19即：即：即：即：本讲稿第十九页，共六十一页4 单

11、位斜坡函数单位斜坡函数20即即用同样的方法，也可得用同样的方法，也可得依次类推依次类推本讲稿第二十页，共六十一页8-4 单边拉氏变换的性质单边拉氏变换的性质1、线性线性2、时移、时移21若若则则若若则则证明：证明：本讲稿第二十一页，共六十一页令令 ，上式可写为，上式可写为周期信号周期信号 可以表示为可以表示为若已知若已知 的拉氏变换为的拉氏变换为 ，则周期信号的拉氏变换为，则周期信号的拉氏变换为22所以所以本讲稿第二十二页，共六十一页23【例题例题8-6】求下图所示周期性矩形脉冲的拉氏变换。求下图所示周期性矩形脉冲的拉氏变换。解：解：周期性矩形脉冲周期性矩形脉冲 的第一个周期的信号的第一个周期

12、的信号 本讲稿第二十三页，共六十一页24根据周期信号的拉氏变换得到根据周期信号的拉氏变换得到 拉氏变换为拉氏变换为本讲稿第二十四页，共六十一页【例题【例题8-7】求周期重复的冲激信号的拉氏变换。求周期重复的冲激信号的拉氏变换。解：解：周期重复的冲激信号周期重复的冲激信号 的第一个周期的信号是的第一个周期的信号是 ，其，其拉氏变换为拉氏变换为25所以所以本讲稿第二十五页，共六十一页3、频移特性、频移特性若若则则【例题【例题8-8】信号】信号 ，求该信号的拉氏变换解：，求该信号的拉氏变换解：因为因为 所以所以 即即 26本讲稿第二十六页，共六十一页4、尺度变换、尺度变换若若则则推论：推论：【例题【

13、例题8-9】已知函数】已知函数 ，求，求 的拉氏变换。的拉氏变换。解：解：根据时移特性得到根据时移特性得到 的拉氏变换的拉氏变换27本讲稿第二十七页，共六十一页信号信号 ，这里，这里 ，则，则 的拉氏变换为的拉氏变换为5、时域微分性质、时域微分性质若若则则证明：证明：对拉氏变换定义式对拉氏变换定义式28本讲稿第二十八页，共六十一页29反复运用上述的证明过程，可推广至高阶导数反复运用上述的证明过程，可推广至高阶导数常常用到常常用到 的情况，即的情况，即本讲稿第二十九页，共六十一页【例题【例题8-10】利用微分性质，求三角脉冲】利用微分性质，求三角脉冲 的拉氏变换的拉氏变换。30解解(1)本讲稿第

14、三十页，共六十一页根据时域微分性质还有根据时域微分性质还有其中其中故得到三角脉冲的拉氏变换故得到三角脉冲的拉氏变换31(2)本讲稿第三十一页，共六十一页10、时域卷积定理、时域卷积定理32若若，则有，则有本讲稿第三十二页，共六十一页8-5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换由象函数求原函数的三种方法由象函数求原函数的三种方法(1)(1)部分分式法部分分式法(2)(2)利用留数定理利用留数定理围线积分法围线积分法(3)(3)数值计算方法数值计算方法利用计算机利用计算机33本讲稿第三十三页，共六十一页8-5-1 部分分式法部分分式法34ai,bi 为实为实数，数，m,n为为正整数。正整数。分解分解零点零

15、点极点极点本讲稿第三十四页，共六十一页u 拉氏逆变换的过程拉氏逆变换的过程u部分分式展开法部分分式展开法(m n)35本讲稿第三十五页，共六十一页36本讲稿第三十六页，共六十一页37【例例题题8-13】解：解：由题知由题知本讲稿第三十七页，共六十一页38本讲稿第三十八页，共六十一页8-6 连续时间连续时间LTI系统的复频域分析系统的复频域分析描述连续时间描述连续时间LTI系统输入系统输入输出的关系，是用线性常系数微输出的关系，是用线性常系数微分方程，分方程，应用拉氏变换的微分和积分性质，可把微分方程变为应用拉氏变换的微分和积分性质，可把微分方程变为 s域的代数方域的代数方程，在变换中自动地引入

16、了初始条件，通过求解代数方程，便可得到程，在变换中自动地引入了初始条件，通过求解代数方程，便可得到响应的象函数响应的象函数 ，再进行拉氏反变换运算，就可以求出全响应的时，再进行拉氏反变换运算，就可以求出全响应的时间函数间函数 。39本讲稿第三十九页，共六十一页【例题【例题8-17】已知某系统的输入已知某系统的输入输出关系，其系统方程为输出关系，其系统方程为40解：解：根据拉氏变换的微分性质和积分性质，对系统方程取拉氏根据拉氏变换的微分性质和积分性质，对系统方程取拉氏变换，得变换，得本讲稿第四十页，共六十一页41整理后，得到响应的拉氏变换式为整理后，得到响应的拉氏变换式为本讲稿第四十一页，共六十

17、一页42再求零输入响应再求零输入响应本讲稿第四十二页，共六十一页系统的全响应系统的全响应43本讲稿第四十三页，共六十一页8-8 n阶微分方程的一般形式为阶微分方程的一般形式为44假定系统处于零状态，激励信号为起因信号，即假定系统处于零状态，激励信号为起因信号，即本讲稿第四十四页，共六十一页45定义系统函数定义系统函数根据拉氏变换的卷积定理根据拉氏变换的卷积定理同样可得到同样可得到本讲稿第四十五页，共六十一页46本讲稿第四十六页，共六十一页8-9 H(s)的零极点分布与时域特性的零极点分布与时域特性h(t)的关系的关系 冲激响冲激响应应h(t)与系与系统统函数函数H(s)从从时时域和域和变换变换

18、域两方面表征了同域两方面表征了同一系一系统统的本性。的本性。在在s域分析中，借助系域分析中，借助系统统函数在函数在s平面零点与极点分布的研究，平面零点与极点分布的研究，可以可以简简明、直明、直观观地地给给出系出系统统响响应应的的许许多多规规律。系律。系统统的的时时域、域、频频域特性集中地以其系域特性集中地以其系统统函数的零、极点分布表函数的零、极点分布表现现出来。出来。47本讲稿第四十七页，共六十一页若系统函数为有理函数，则系统函数可以写出如下形式若系统函数为有理函数，则系统函数可以写出如下形式48在在s平面上，画出平面上，画出H(s)的零极点的零极点图图：极点：用极点：用表示，零点：用表示，

19、零点：用表示表示本讲稿第四十八页，共六十一页49本讲稿第四十九页，共六十一页50本讲稿第五十页，共六十一页51 一阶极点一阶极点本讲稿第五十一页，共六十一页二阶极点二阶极点52 本讲稿第五十二页，共六十一页物理可实现的系统都是因果系统，随着时间物理可实现的系统都是因果系统，随着时间 ，这表明系统的极点都位于虚轴这表明系统的极点都位于虚轴 的左半平面，此时收敛域的左半平面，此时收敛域包含虚轴在内。包含虚轴在内。包含虚轴的拉氏变换它的傅里叶变换也存在，只需将拉氏变换中的包含虚轴的拉氏变换它的傅里叶变换也存在，只需将拉氏变换中的s改为改为 即可，我们进一步可知连续时间信号虚轴上的拉氏变换就即可，我们

20、进一步可知连续时间信号虚轴上的拉氏变换就是傅里叶变换。是傅里叶变换。53本讲稿第五十三页，共六十一页8-10 系统的稳定性分析系统的稳定性分析54某连续时间系统的系统函数某连续时间系统的系统函数 当输入为当输入为 (t)时，系统的零状态响应的象函数为时，系统的零状态响应的象函数为 我们可以看到我们可以看到 t 很大时，很大时，但是，但是 这个正指数项这个正指数项超过其他项并随着超过其他项并随着t 的增大而不断增大。的增大而不断增大。本讲稿第五十四页，共六十一页二定义（二定义（BIBO）一个系统，如果对任意的有界输入，其零状态响应也是一个系统，如果对任意的有界输入，其零状态响应也是有界的，则称该

21、系统有界输入有界输出有界的，则称该系统有界输入有界输出（BIBO）稳定的系统，稳定的系统，简称稳定系统简称稳定系统。55稳定性是系统自身的性质之一，系统是否稳定与激励信号的情况无稳定性是系统自身的性质之一，系统是否稳定与激励信号的情况无关。关。本讲稿第五十五页，共六十一页 冲激响应冲激响应h(t)和系统函数和系统函数H(s)从两方面表征了同一系统的本从两方面表征了同一系统的本性，所以能从两个方面确定系统的稳定性。性，所以能从两个方面确定系统的稳定性。由由H(s)的极点位置判断系统稳定性的极点位置判断系统稳定性若若H(s)的全部极点位于的全部极点位于s平面的左半平面（不包括虚轴），平面的左半平面

22、（不包括虚轴），则可满足则可满足 ，系统是稳定的。系统是稳定的。如果如果H(s)极点位于极点位于s平面虚轴上，且只有一阶。平面虚轴上，且只有一阶。如果如果H(s)的极点位于的极点位于s右半平面，或在虚轴上有二阶（或以右半平面，或在虚轴上有二阶（或以上）极点，则上）极点，则 ，系统是不稳定系统，系统是不稳定系统56本讲稿第五十六页，共六十一页【例题【例题8-21】判断下列因果系统是否稳定判断下列因果系统是否稳定57解：画出系统函数的零极点图解：画出系统函数的零极点图本讲稿第五十七页，共六十一页58【例题例题8-22】如图所示反馈系统，子系统的系统函数如图所示反馈系统，子系统的系统函数，求当常数，求当常数k满足什么条件时，满足什么条件时，系统是稳定的？系统是稳定的？本讲稿第五十八页，共六十一页解：解：首先列出系统的微分方程首先列出系统的微分方程 加法器输出端的信号加法器输出端的信号59输出信号输出信号则反馈系统的系统函数为则反馈系统的系统函数为本讲稿第五十九页，共六十一页为使极点均在为使极点均在s左半平面，必须左半平面，必须60本讲稿第六十页，共六十一页61本讲稿第六十一页，共六十一页