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1、 9.1 微分方程的基本概念一、微分方程的定义二、微分方程的解 含有自变量、未知函数以及未知函数的导含有自变量、未知函数以及未知函数的导数数(或微分或微分)的函数方程的函数方程,称为微分方程称为微分方程.微分方程中微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数出现的未知函数的最高阶导数的阶数,称为微分方程称为微分方程的阶的阶.定义定义9.1一、微分方程的定义例如，例如，实质实质:联系自变量、未知函数以及未知函数的某些联系自变量、未知函数以及未知函数的某些导数导数(或微分或微分)之间的关系式之间的关系式.例例1著名的科学家伽利略在当年研究落体运动时著名的科学家伽利略在当年研究落体运动时发现发现,则则
2、即有方程即有方程从而解得落体运动的规律从而解得落体运动的规律:这是微分方程应用的最早的一个例子这是微分方程应用的最早的一个例子.例例2在没有人员在没有人员迁入或迁出的情况下迁入或迁出的情况下,于是有微分方程于是有微分方程方程表述的定律称为群体增长的马尔方程表述的定律称为群体增长的马尔萨斯律萨斯律.例例3在推广某项新技术时在推广某项新技术时,若设该项技术需要推广若设该项技术需要推广则则新技术推广的速度与已推广人数和尚待推广人数成新技术推广的速度与已推广人数和尚待推广人数成正比正比,即有微分方程即有微分方程在很多领在很多领域有广泛应用域有广泛应用.形如形如 的方程通常称为逻辑斯谛方程的方程通常称为
3、逻辑斯谛方程,例例4社会对该商品社会对该商品则则即即有微分方程有微分方程未知函数为一元函数的微分方程定义为常微分方程未知函数为一元函数的微分方程定义为常微分方程;未知函数为多元函数的微分方程定义为偏微分方程未知函数为多元函数的微分方程定义为偏微分方程.不能表示成形如不能表示成形如 形式的微分方程，统称为非线形式的微分方程，统称为非线性方程性方程.定义定义9.2的解的解.二、微分方程的解可以验证，可以验证，微分方程的解与隐式解都统称为微分方程的解微分方程的解与隐式解都统称为微分方程的解.其中包含两个任意常数，其中包含两个任意常数，例例1中，考虑自由落体运动时，由积分法和二阶方程中，考虑自由落体运
4、动时，由积分法和二阶方程 可得可得定义定义9.3求特解的步骤：求特解的步骤：然后再根据实际然后再根据实际情况给出确定通解中情况给出确定通解中n个常数的条件个常数的条件,称为定解条件称为定解条件,最后根据定解条件求出满足条件的特解最后根据定解条件求出满足条件的特解.由定解条件求特解的问题，称为微分方程的定解问题由定解条件求特解的问题，称为微分方程的定解问题.而通解中而通解中则称这样的解为方程则称这样的解为方程 的通解的通解.如果方程如果方程 的解中含有的解中含有n个独立的任意个独立的任意常数，常数，给任意常数以确定值的解给任意常数以确定值的解,称为方程称为方程 的特解的特解.首先要求出方程首先要求出方程 的通解，的通解，常见的定解条件是常见的定解条件是相应的定解问题又称为微分方程的初值问题相应的定解问题又称为微分方程的初值问题.通解通解:特解特解:例例