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1、等腰三角形等腰三角形本课内容本节内容2.3 我们前面已经学习了三角形的一些性我们前面已经学习了三角形的一些性质，那么等腰三角形除了具有一般三角形质，那么等腰三角形除了具有一般三角形的性质外，还具有哪些特殊的性质呢的性质外，还具有哪些特殊的性质呢？探究探究 任意画一个等腰三角形任意画一个等腰三角形ABC，其中，其中AB=AC，如图如图.作作ABC 关于顶角平分线关于顶角平分线AD所在直线的轴反所在直线的轴反射，射，由于由于1=2，AB=AC，因此：因此：D1 2射线射线AB的像是射线的像是射线AC，射线射线AC的像是射线的像是射线 ；线段线段AB的像是线段的像是线段AC，线段线段AC的像是线段的
2、像是线段 ；点点B的像是点的像是点C，点点C的像是点的像是点 ；线段线段BC的像是线段的像是线段CB.从而等腰三角形从而等腰三角形ABC关于直线关于直线 对称对称.ABABBAD由于点由于点D的像是点的像是点D，因此线段因此线段DB的像是线段的像是线段 ，从而从而AD是底边是底边BC上的上的 .由于射线由于射线DB的像是射线的像是射线DC，射线射线DA的像是射线的像是射线 ，因此因此BDA CDA=，从而从而AD是底边是底边BC上的上的 .由于射线由于射线BA的像是射线的像是射线CA，射线射线BC的像是射线的像是射线 ，因此因此B C.DC中线中线DA=90高高CB=结论结论由此得到等腰三角形
3、的性质定理：由此得到等腰三角形的性质定理：等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线平分线所在的直线.等腰三角形的两底角相等等腰三角形的两底角相等(简称简称“等边对等边对等角等角”).结论结论 等腰三角形底边上的高等腰三角形底边上的高、中线中线及顶角平分及顶角平分线重合线重合(简称为简称为“三线合一三线合一”).).动脑筋动脑筋因为因为ABC是等边三角形，是等边三角形，所以所以AB=BC=AC，从而从而C=A=B.由三角形内角和定理可得：由三角形内角和定理可得：A=B=C=60.如图，如图，ABC是等边三角形，那么是等边三角形，那么A，B，C 的大
4、小之间有什么关系呢的大小之间有什么关系呢？由此得到等边三角形的如下性质：由此得到等边三角形的如下性质：等边三角形的三个内角相等，且都等于等边三角形的三个内角相等，且都等于60.结论结论 由于等边三角形是特殊的等腰三角形，由于等边三角形是特殊的等腰三角形，因此等边三角形是轴对称图形，它有三条对因此等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别是三个内角的平分线所在的直线称轴，分别是三个内角的平分线所在的直线.例例1 已知：如图，在已知：如图，在ABC中，中，AB=AC，点，点D，E 在边在边BC上，且上，且AD=AE.求证：求证：BD=CE.举举例例证明证明 作作AFBC，垂足为点，垂足为点F，则
5、则AF是等腰三角形是等腰三角形ABC和等腰三角形和等腰三角形ADE底边上的高，也是底边上的中线底边上的高，也是底边上的中线.BF=CF，BF-DF=CF-EF，DF=EF，即即 BD=CE.F 如图的三角测平架中如图的三角测平架中，AB=AC，在在BC的中的中点点D挂一个重锤挂一个重锤，自然下垂自然下垂，调整架身调整架身，使点使点A恰好在恰好在铅铅锤锤线上线上.（1）AD与与BC是否垂直是否垂直，试说明理由试说明理由.（2）这时这时BC处于水平位置处于水平位置，为什么为什么？议一议议一议练习练习1.如图，在如图，在ABC中，中，AB=AC，AD为为BC边上边上 的高，的高，BAC=49，BC=
6、4，求，求BAD的度的度 数及数及DC的长的长.答：答：BAD=24.5，DC=2.2.如图，点如图，点P为等边三角形为等边三角形ABC的边的边BC上一上一 点，且点，且APD=80，AD=AP，求，求DPC 的度数的度数.答：答：DPC=20.我们知道我们知道，等腰三角形的两底角相等，反过来，等腰三角形的两底角相等，反过来，两两个角相等的个角相等的三三角角形是等腰三角形吗形是等腰三角形吗？探究探究 如图，在如图，在ABC中，如果中，如果B=C，那么，那么AB与与AC之间有什么关系吗之间有什么关系吗？我测量后发现我测量后发现AB与与AC相等相等.3cm3cm事实上，如图，在事实上，如图，在AB
7、C中，中，B=C.沿过点沿过点A的直线把的直线把BAC对折，对折，得得BAC的平分线的平分线AD交交BC于点于点D，则则1=2.又又B=C，由三角形内角和的性质得由三角形内角和的性质得ADB=ADC.D12沿沿AD所在直线折叠，所在直线折叠，由于由于ADB=ADC，1=2，所以射线所以射线DB与射线与射线DC重合，重合，射线射线AB与射线与射线AC重合重合.从而点从而点B与点与点C重合，重合，于是于是AB=AC.结论结论有两个角相等的三角形是等腰三角形有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称简称“等角对等边等角对等边”).结论结论三个角都是三个角都是60的三角形是等边三角形的三角形是等边三角形.
8、由此并且结合三角形内角和定理，还可由此并且结合三角形内角和定理，还可以得到等边三角形的判定定理：以得到等边三角形的判定定理：例例2 已知：如图，在已知：如图，在ABC中，中，AB=AC，点，点D，E 分别是分别是AB，AC上的点，且上的点，且DEBC.求证：求证：ADE为等腰三角形为等腰三角形.举举例例证明证明 AB=AC，B=C.又又 DEBC，ADE=B，AED=C.ADE=AED.于是于是ADE为等腰三角形为等腰三角形.有一个角是有一个角是60的等腰三角形是等边三的等腰三角形是等边三角形吗角形吗？为什么为什么？动脑筋动脑筋如图，在等腰三角形如图，在等腰三角形ABC中，中，AB=AC.由三
9、角形内角和定理得由三角形内角和定理得 A+B+C=180.如果顶角如果顶角A=60，则则B+C=180-60=120.又又 AB=AC，B=C.B=C=A=60.ABC是等边三角形是等边三角形.由此得到另一条等边三角形的判定定理：由此得到另一条等边三角形的判定定理：结论结论有一个角是有一个角是60的等腰三角形是等边三角形的等腰三角形是等边三角形例例3 已知：如图，已知：如图，ABC是等边三角形，点是等边三角形，点D，E 分别在分别在BA，CA的延长线上，且的延长线上，且AD=AE.求证：求证：ADE是等边三角形是等边三角形.举举例例证明证明 ABC是等边三角形，是等边三角形，BAC=B=C=6
10、0.EAD=BAC=60，又又 AD=AE，ADE是等边三角形是等边三角形（有一个角是有一个角是60的等腰三角形是等边三角形的等腰三角形是等边三角形）练习练习1.已知：等腰三角形已知：等腰三角形ABC的底角的底角ABC和和 ACB的平分线相交于点的平分线相交于点O.求证：求证：OBC为等腰三角形为等腰三角形.ABCDEO证明证明ABC和和ACB的平分线相交于点的平分线相交于点O，ABD=DBC=，ACE=ECB=，DBC=ECB，OBC是等腰三角形是等腰三角形.又又 ABC是等腰三角形，是等腰三角形，ABC=ACB，ABCDEO2.已知：如图，已知：如图，CD平分平分ACB，AEDC，AE 交
11、交BC的延长线于点的延长线于点E，且，且ACE=60.求证：求证：ACE是等边三角形是等边三角形.证明证明CD平分平分ACB，在在ACE中，中，CAE=180-E-ACE=60 又又ACE=60，BCD=E=60，ACD=DCB，ACD=DCB=60，又又 AEDC，CAE=ACE=E=60 ACE是等边三角形是等边三角形.3.已知：如图已知：如图，AB=BC，CDE=120，DFBA，且，且DF平分平分CDE.求证：求证：ABC是等边三角形是等边三角形.证明证明 AB=BC，ABC是等边三角形是等边三角形.又又CDE=120，DF平分平分CDE.FDC=ABC=60，ABC是等腰三角形，是等
12、腰三角形，EDF=FDC=60，又又DFBA，中考中考 试题试题例例1 等腰三角形两边长分别是等腰三角形两边长分别是2cm和和5cm，则这个，则这个三角形周长为（三角形周长为（）A.9cm B.12cm C.9cm或或12cm D.14cmB解析解析 另一边长为另一边长为2cm或或5cm，2，2，5不符合不符合三角形三边关系定理，故选三角形三边关系定理，故选5.周长为周长为5+5+2=12cm.中考中考 试题试题例例2 若等腰三角形中有一个角等于若等腰三角形中有一个角等于50，则这个等，则这个等腰三角形的顶角的度数为（腰三角形的顶角的度数为（）A.50 B.80 C.65或或50 D.50或或80解析解析 因为因为50可作为等腰三角形的一顶角或可作为等腰三角形的一顶角或一底角，故选一底角，故选D.D结结 束束