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1、第二十四章第二十四章 圆圆单元复习单元复习知识点一知识点二知识点一圆的定义在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的图形叫做圆.其固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径.名师解读:(1)圆也可以看作“平面内到一定点的距离等于定长的所有点组成的图形,这个定点叫做圆心.定长叫做半径”.(2)由圆的定义可知:圆是一条封闭的曲线,不是圆面.确定圆的两个条件是圆心和半径,其中圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小.24.1圆的有关性质圆的有关性质知识点一知识点二例1下列条件中,能确定圆的是()A.以点O为圆心B.以2 cm长为半径C.以点O为圆心,以5 cm长为半径D.经过已知
2、点A解析:根据圆的定义对各选项进行判断:A,点O为圆心,半径不确定,则不能确定圆;B,2 cm长为半径,圆心不确定,则不能确定圆;C,以点O为圆心,以5 cm长为半径可确定圆;D,经过点A,则圆心和半径都不能确定,则不能确定圆.答案:C知识点一知识点二理解圆的定义并且明确确定圆的两个条件缺一不可是解答的关键.知识点一知识点二知识点二圆的相关概念(1)弦和直径:连接圆上任意两点间的线段叫做弦,经过圆心的弦叫做直径.(2)弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.(3)半圆:圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆.大于半圆的弧叫做优弧,小于半圆的弧叫做劣弧.(4)等圆:能够重
3、合的圆叫做等圆.(5)等弧:在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧.名师解读:理解这些与圆相关的概念时,要注意数形结合,对比理解,同时注意“线”的“曲”和“直”及是否为全等形.知识点一知识点二例2如图,点A,O,D以及点B,O,C分别在一条直线上,则圆中弦的条数是()A.2B.3C.4D.5解析:将图形中的线段根据弦的概念逐个进行分析,从而得到图中的弦有AB,BC,CE共三条.答案:B知识点一知识点二抓住“弦是端点在圆上的线段”是解决本题的关键.知识点一知识点二例3如图,在O中,半径有,直径有,弦有,劣弧有,优弧有.解析:根据半径、直径、弦、劣弧和优弧的定义分别求解.知识点一知识点二解答这类
4、问题,要注意按照一定的次序分别依次列出,避免漏解或重复.拓展点拓展点利用圆的周长和面积解决实际问题例题某校计划在校园内修建一座周长为12米的花坛,同学们设计出正三角形、正方形和圆共三种图案,其中使花坛面积最大的图案是()A.正三角形 B.正方形C.圆D.不能确定拓展点拓展点解答这类问题,需要熟练地运用面积公式进行计算,同时需要记忆由此题验证的一个结论“在周长相等的所有平面图形中,圆的面积最大”.知识点一知识点二知识点一圆的轴对称性圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.名师解读:不能错误地说成“圆的任何一条直径都是圆的对称轴”,因为对称轴一定是直线,而圆的直径是线段.例1下列交通
5、标志中,是轴对称图形的是()24.1.2垂直于弦的直径垂直于弦的直径知识点一知识点二解析:这些标志都是由圆和其他图形组成的,由于圆是轴对称图形,且对称轴是过圆心的直线,所以,只要与圆组合的图形是轴对称图形并且对称轴也过圆心即可,依次判断:A,不是轴对称图形,故本选项错误;B,是轴对称图形,故本选项正确;C,不是轴对称图形,故本选项错误;D,不是轴对称图形,故本选项错误.答案:B知识点一知识点二解答这类问题,既可以采取折叠的方法判断,也可以根据圆和与其组合图形是否有共同的对称轴进行判断.知识点一知识点二知识点二垂径定理及其推论垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧;平分弦(不是直径)的直径
6、垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.名师解读:理解垂径定理可以从以下几个方面:(1)这类的垂“径”,可以是直径、半径或过圆心的直线或线段,其本质只要过圆心即可;(2)垂径定理中的“弦”可以是直径,是直径时,结论仍然成立;(3)垂径定理是证明线段相等、弧相等的重要依据,也是计算圆中求线段的长度、求圆的半径、求角的度数的重要依据;(4)结合圆的对称性可以得出,弦的垂直平分线经过圆心,这也是找圆的圆心的重要方法.知识点一知识点二例2如图,CD是O的直径,弦ABCD于点E,BCD=30,下列结论:AE=BE;OE=DE;AB=BC;BE=DE.其中正确的是()A.B.C.D.知识点一知识点二解析:根据垂
7、径定理以及等边三角形的性质和判定定理即可作出判断.CD是O的直径,ABCD,AE=BE,故正确.BCD=30,BOD=60.又OB=OD,OBD是等边三角形.ABCD,OE=DE,BE=DE,故正确.ACB=2BCD=60,又AC=BC,ABC是等边三角形.AB=BC,故正确.答案:D知识点一知识点二解答这类问题,首先要利用垂径定理得出相关结论,然后在结论的基础上进行推理,在进一步得出更多结论后,分别判断各个结论是否正确.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点一垂径定理的实际应用例1如图,有一拱桥呈圆弧形,它的跨度(所对弦长AB)为60 m,拱高18 m,当水面涨至其跨度只有30 m时,就要采取紧急措
8、施.某次洪水来到时,拱顶离水面只有4 m,问:是否要采取紧急措施?并说明理由.拓展点一拓展点二拓展点三分析:如图,设圆的半径是R m,则ON=(R-4)m,OM=(R-18)m.根据垂径定理求得AM的长,在RtAOM中,根据勾股定理求得R的值,在RtAON中,根据勾股定理求得AN的值,再根据垂径定理求得AB的长,从而作出判断.解:如图,设圆的半径是R m,则ON=(R-4)m,OM=(R-18)m.根据垂径定理,得AM=AB=30 m,在RtAOM中,AO2=OM2+AM2,即R2=(R-18)2+900,解得R=34.在RtAON中,根据勾股定理得 ,根据垂径定理,得AB=2AN=3230.
9、不用采取紧急措施.拓展点一拓展点二拓展点三解答这类实际问题,首先弄懂题意,把实际问题转化为数学问题,然后利用垂径定理和勾股定理相结合,构造出直角三角形,进而可解决计算弦长、半径、弦心距等问题.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点二利用垂径定理确定圆心的坐标例2如图所示,半径为5的P与y轴相交于M(0,-4),N(0,-10)两点,则圆心P的坐标为()A.(5,-4)B.(4,-5)C.(4,-7)D.(5,-7)拓展点一拓展点二拓展点三拓展点一拓展点二拓展点三解答这类找圆心的问题,注意数形结合,综合运用垂径定理,勾股定理等知识进行分析计算,明确弦的垂直平分线经过圆心是关键.拓展点一拓展点二拓展点三拓
10、展点三与垂径定理有关的综合题例3在O中,O的直径为26,弦AB弦CD,AB=10,CD=24,求AB与CD间的距离.拓展点一拓展点二拓展点三分析:作OEAB于E,OFCD于F,连接OA,OC,由垂径定理得 ,由于ABCD,易得E,O,F三点共线,在RtAOE和RtOCF中,利用勾股定理分别计算出OE与OF,然后分类讨论:当圆心O在弦AB与CD之间时,AB与CD的距离=OE+OF;当圆心O在弦AB与CD的外部时,AB与CD的距离=OE-OF.拓展点一拓展点二拓展点三解:如图,作OEAB于E,OFCD于F,连接OA,OC,OA=OC=13,则ABCD,E,O,F三点共线,当圆心O在弦AB与CD之间
11、时,AB与CD间的距离=OE+OF=12+5=17;当圆心O在弦AB与CD的外部时,AB与CD间的距离=OE-OF=12-5=7.所以AB与CD间的距离是17或7.拓展点一拓展点二拓展点三解答圆的有关问题,当圆心或弦之间的位置关系没有明确时,注意要分类讨论,以免漏解.知识点一知识点二知识点三知识点一圆的旋转对称性旋转对称图形:把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后,与原图形重合的图形.圆是中心对称图形,对称中心是圆心.不仅如此,把圆绕圆心旋转任意角度,所得的图形都与原图形重合(旋转对称性).名师解读:由前面所学知识可知圆的对称性包括轴对称性、中心对称性和旋转对称性,圆的很多性质都是由它们得出的,
12、其中旋转对称性也是车轮做成圆形的原因.24.1.3弧、弦、圆心角弧、弦、圆心角知识点一知识点二知识点三例1下列图形中既是轴对称图形,又是旋转对称图形的是()A.B.C.D.解析:先根据图形确定是否为轴对称图形,在是轴对称图形的基础上再看是否绕中心旋转任意角度能与原图形重合:不是轴对称图形,是旋转对称图形;是轴对称图形,是旋转对称图形;是轴对称图形,是旋转对称图形;是轴对称图形,是旋转对称图形.答案:C知识点一知识点二知识点三解答这类问题,可以简单地认为是“找对称轴”和“旋转中心”,先确定是其中一种具有特质的图形,再看是否具备另一种图形的特质.知识点一知识点二知识点三知识点二圆心角的定义顶点在圆
13、心的角叫做圆心角.名师解读:理解圆心角时注意:(1)只要角的顶点在圆心,这样的角就是圆心角.(2)由于圆周的 所对的圆心角为1,圆周的 叫做1的弧,所以圆心角的度数等于它所对的弧的度数.知识点一知识点二知识点三知识点一知识点二知识点三解答这类问题,本质就是根据分数乘法的意义求周角的几分之几.知识点一知识点二知识点三知识点三弧、弦、圆心角之间的关系在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等.在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦相等;在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的优弧和劣弧分别相等.定理可表示为:知识点一知识点二知识点三知
14、识点一知识点二知识点三名师解读:(1)圆心角、弧、弦三者关系理解为:圆心角相等,所对的弧相等,所对的弦相等,即三项“知一推二”,一项相等,其余两项皆相等.其正确性源于圆的旋转不变性.即:圆绕其圆心旋转任意角度,所得图形与原图形完全重合.(2)注意应用此关系的前提条件是在同圆或等圆中,没有前提条件,所得的结论不一定成立.(3)注意应用此关系可以证明角相等,线段相等,弧相等.知识点一知识点二知识点三知识点一知识点二知识点三在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.所以解答这类问题,只要说明其中一组量相等即可.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点一
15、弧、弦、圆心角之间的关系的灵活运用例1如图,弦CD=EF,请至少找出图中5对具有相等关系的量.分析:根据圆心角、弧、弦的关系进行推理,逐步得到所需答案.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点二与弧、弦、圆心角之间的关系有关的计算题例2如图,在AOB中,AO=AB,以点O为圆心,OB为半径的圆交AB于点D,交AO于点E,AD=OB.试说明 ,并求A的度数.拓展点一拓展点二拓展点三解:连接OD,如图所示,设A=x,AD=OB,DO=DA,DOA=x,BDO=2x,B=2x,又AO=AB,BOE=B=2x,BOD=2x-x=x=DOE,.在OBD中,x+2x+2x=180,x=36,即A=36.拓展点一拓展
16、点二拓展点三拓展点三与弧、弦、圆心角之间的关系有关的证明题例3如图,已知BD,CE是O的两条弦,OA平分DAE.求证:AB=AC.分析:作OMBD于M,ONCE于N,根据角平分线的性质得到OM=ON,根据圆心角、弧、弦之间的关系得到BD=CE,证明AMOANO,得到AM=AN,得到答案.拓展点一拓展点二拓展点三证明:作OMBD于M,ONCE于N,OA平分DAE,OM=ON,BD=CE.OMBD,ONCE,AMOANO,AM=AN,AB=AC.拓展点一拓展点二拓展点三在圆中证明两条弦相等,一般通过证明两条弦所对应的弧相等来证明.知识点一知识点二知识点三知识点四知识点一圆周角的定义顶点在圆上,并且
17、两边都与圆相交,我们把这样的角叫做圆周角.名师解读:理解此概念应注意两个方面:一是注意与圆心角的区别,圆心角是顶点在圆心,而圆周角是顶点在圆上;二是它的两边必须与圆相交(两边在圆内形成两条弦).如果除顶点外,其他的部分都在圆外,这样的角也不是圆周角.24.1.4圆周角圆周角知识点一知识点二知识点三知识点四例1下面图形中的角,是圆周角的是()解析:根据圆周角的定义用排除法即可.选项A的角顶点不在圆上,选项C,D中的角在圆内没有形成两条弦,故选B.答案:B知识点一知识点二知识点三知识点四注意圆周角必须满足两个条件:顶点在圆上;角的两条边都与圆相交.二者缺一不可.知识点一知识点二知识点三知识点四知识
18、点二圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.名师解读:(1)定理的要求是同一条弧所对的圆周角和圆心角,从数值大小上来看,圆周角是圆心角的一半;(2)不能忽略“同一条弧”这个前提条件,不能简单表述成“圆周角等于圆心角的一半.知识点一知识点二知识点三知识点四例2如图所示,OA,OB,OC都是O的半径,ACB=45,BOC=30,求BAC与AOB的度数.分析:根据同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半得出BAC=BOC=15,AOB=2ACB=90.解:OA,OB,OC都是O的半径,ACB=45,BOC=30,BAC=BOC=15,AOB=2ACB=90.知识点一知识点二知识点三
19、知识点四求图形中圆周角的度数时,一般考虑先求它所对的弧所对的圆心角的度数,利用圆周角定理进行求解,若无法直接求出,则考虑进行转化.知识点一知识点二知识点三知识点四知识点三圆周角定理的推论同弧或等弧所对的圆周角相等;半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90的圆周角所对的弦是直径.名师解读:运用此推论可参考如下:(1)利用此结论,可以帮助我们证明两个圆周角相等或者两条弧相等;“相等的圆周角所对的弧相等的条件是在同圆或等圆中,如果失去了这个前提条件,结论就不一定正确.(2)解答图形中有圆的直径的问题时,通常把直径所对的直角表示出来,再结合其他知识进行解答,简称“遇直径,出直角”;当图中有直角而没有直径
20、时,也常常把直角所对的直径作出,简称“见直角,作直径”.知识点一知识点二知识点三知识点四例3如图所示,自O上一点C向弦AB作垂线段CD,求证:ACD=BCO.分析:延长CO交O于E点,连接BE.根据同弧所对的圆周角相等得出CAB=CEB,由CE为O的直径,根据直径所对的圆周角是直角得出CBE=90,那么ADC=CBE=90.然后根据三角形内角和定理得到CAD+ADC+ACD=180,CEB+CBE+BCO=180,利用等式的性质即可得出ACD=BCO.知识点一知识点二知识点三知识点四证明:延长CO交O于E点,连接BE.则CAB=CEB.CE为O的直径,CBE=90,ADC=CBE=90.CAD
21、+ADC+ACD=180,CEB+CBE+BCO=180,ACD=BCO.知识点一知识点二知识点三知识点四解答这类问题,作出辅助线是解题的关键.知识点一知识点二知识点三知识点四知识点四圆内接四边形的概念及性质1.概念:如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫做圆内接多边形,这个圆叫做这个多边形的外接圆.如果四边形ABCD是O的内接四边形,O就是四边形ABCD的外接圆.2.性质:圆内接四边形的对角互补.名师解读:利用圆的内接四边形的性质“对角互补”可以方便求圆内角的度数和说明角之间的关系.知识点一知识点二知识点三知识点四例4如图所示,四边形ABCD内接于O,如果它的一个外角DCE=6
22、4,那么BOD=()A.128B.100 C.64 D.32解析:四边形ABCD内接于O,A+BCD=180,又BCD+DCE=180,A=DCE=64,BOD=2A=128.答案:A知识点一知识点二知识点三知识点四在圆中求圆心角的度数,一般借助于圆心角所对的弧所对的圆周角或圆心角所对的弦来解决问题.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点一利用圆周角定理及其推论求角的度数或线段的长度例1如图,ABC中,AB=AC,以AB为直径的O分别交BC,AC于点D,E,若AE=BE,则EBC的度数是()A.15B.30C.22.5D.45拓展点一拓展点二拓展点三解析:AB为圆O的直径,AEB=90.又AE=BE,
23、ABE为等腰直角三角形,A=ABE=45,AB=AC,则EBC=ABC-ABE=22.5.答案:C拓展点一拓展点二拓展点三此题的方法不唯一,也可以连接AD,利用等腰三角形的性质得出BAD的度数,然后利用EBC=BAD得出结果,熟练掌握圆周角定理及其推论是解本题的关键.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点二利用圆周角定理及其推论证明线段相等或角相等例2如图,AB,CD是O的直径,DF,BE是弦,且DF=BE,求证:D=B.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点一拓展点二拓展点三利用“在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等”是证明弧相等的重要方法之一,解答此类问题的方法往往也不唯一.拓展点一拓展点二拓展点三拓
24、展点三与圆周角定理有关的综合题例3如图,ABC是O的内接三角形,点C是优弧 上一点(点C与A,B不重合),设OAB=,C=.(1)当=36时,求的度数;(2)猜想与之间的关系,并给予证明.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点一拓展点二拓展点三此题主要考查圆周角、圆心角关系定理.主要证法有三种:(1)连接OB,构建圆周角;(2)连接OB,并作AB的垂线段OD,利用等腰三角形三线合一的性质、圆周角与圆心角的关系求解;(3)延长AO交O于E,连接BE,利用圆周角定理,把与放在同一个直角三角形中.知识点一知识点二知识点三知识点一点与圆的位置关系点与圆有三种位置关系:点在圆内、点在圆上、点在圆外.名师解读:确
25、定点与圆的位置关系的方法有两种:一是可用图形上的位置来判断:如图所示,24.2.1点和圆的位置关系点和圆的位置关系知识点一知识点二知识点三设圆O的半径为r,则有:(1)若点A在圆O的内部,则OAr.反之:(1)若OAr,则点C在圆O的外部.二是利用数量关系来判断:一般地,如果P是圆所在平面内的一点,d表示点P到圆心O的距离,r表示圆的半径,则有:点P在O上d=r;点P在O内dr.知识点一知识点二知识点三例1如图,以点O(1,1)为圆心,OO为半径画圆,判断点P(-1,1),点Q(1,0),点R(2,2)和O的位置关系.知识点一知识点二知识点三要确定点与圆的位置关系,主要确定点与圆心的距离(d)
26、与半径(r)的大小关系;根据它们之间的对应关系确定即可.知识点一知识点二知识点三知识点二不在同一条直线上的三点确定圆不在同一条直线上的三点确定一个圆.经过三角形的三个顶点可以作一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点,叫做这个三角形的外心.名师解读:(1)一个三角形有且只有一个外接圆,而一个圆可以有无数多个内接三角形.(2)三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等,都等于三角形外接圆的半径.知识点一知识点二知识点三例2三角形外心具有的性质是()A.到三个顶点距离相等B.到三边距离相等C.外心必在三角形外D.到顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍解析:三角形的
27、外心是任意两边垂直平分线的交点,线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等,外心到三个顶点距离相等.答案:A知识点一知识点二知识点三理解三角形的外心是任意两边垂直平分线的交点是解答的关键.知识点一知识点二知识点三知识点三反证法假设命题的结论不成立,由此经过推理得出矛盾,由矛盾断定所作假设不正确,从而得到原命题成立.这种方法叫做反证法.名师解读:用反证法证明命题的一般步骤:(1)否定结论假设命题的结论不成立;(2)推出矛盾从假设出发,根据已知条件,经过推理论证,得出一个与命题的条件或已知的定义、基本事实、定理等相矛盾的结果;(3)肯定结论由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确.知识点一知
28、识点二知识点三例3用反证法证明命题“在直角三角形中,至少有一个锐角不大于45”时,应先假设()A.有一个锐角小于45B.每一个锐角都小于45C.有一个锐角大于45D.每一个锐角都大于45答案:D知识点一知识点二知识点三(1)使用反证法的前提是直接证法比较“困难”.(2)解答问题的关键是第一步“假设”,在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况,如:“都是”的否定是“不都是”,大于的否定是“不大于”即“小于等于”等等.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点一圆的存在性与点和圆的位置关系例1A,B,C是平面内的三点,AB=3,BC=3,AC=6,下列说法正确的是()A.可以画一个圆,使A,B,C
29、都在圆上B.可以画一个圆,使A,B在圆上,C在圆外C.可以画一个圆,使A,C在圆上,B在圆外D.可以画一个圆,使B,C在圆上,A在圆内解析:A,B,C是平面内的三点,AB=3,BC=3,AC=6,AB+BC=AC,则B是线段AC的中点,可以画一个圆,使A,B在圆上,C在圆外.答案:B拓展点一拓展点二拓展点三拓展点一拓展点二拓展点三拓展点二几何图形上的点与圆的位置关系例2在矩形ABCD中,已知AB=3,BC=4,A的半径为r,若B,D在A内,C在A外,则r的取值范围是()A.3r4B.3r5C.4r4拓展点一拓展点二拓展点三解析:如图所示,要想矩形的顶点B,D在A内,C在A外,r必须大于AD,且
30、小于AC,而AD=4,AC=5,所以r的范围为4r5.答案:C拓展点一拓展点二拓展点三解答这类问题抓住点到圆心的距离与圆半径的大小关系,数形结合,根据已知得出r与各边长的关系是解题关键.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点三与外接圆有关的综合题例3在等腰ABC中,AB=AC=13 cm,BC=10 cm,求等腰ABC外接圆的半径.分析:设O为ABC外接圆的圆心,连接AO,并延长AO交BC于D,连接OB,OC,得出ADBC,BD=DC,根据勾股定理求出AD,设出等腰ABC外接圆的半径,在RtOBD中,由勾股定理得出OB2=OD2+BD2,代入求出即可.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点一拓展点二拓展点三解
31、答这类问题,关键是通过作辅助线,利用外接圆的性质和等腰三角形的性质进行分析.由于是等腰三角形,容易想到过A作AD垂直于BC交于点D,此时需要说明圆心O在AD上,否则错误.知识点一知识点二知识点三知识点四知识点五知识点一直线与圆的位置关系直线和圆有两个公共点,这时我们就说这条直线和圆相交,这条直线叫做圆的割线.直线和圆只有一个公共点,这时我们就说这条直线和圆相切,这条直线叫做圆的切线.直线和圆没有公共点,这时我们说这条直线和圆相离.设O的半径为r,点O到直线l的距离为d,则直线l和O相交dr.24.2.2直线和圆的位置关系直线和圆的位置关系知识点一知识点二知识点三知识点四知识点五名师解读:直线和
32、圆的位置关系,还可用下表表示:判定一条直线与圆的位置关系时,既可以用直线与圆的公共点的个数来判定它们的位置关系,也可以用圆心到直线的距离与半径的大小关系来判定它们的位置关系.知识点一知识点二知识点三知识点四知识点五例1如图,ABC中,C=90,B=60,AO=x,O在AB上,且O的半径为1.问当x在什么范围内取值时AC与O相离、相切、相交?分析:由三角形的内角和定理可求出A的大小,根据含30角的直角三角形的性质即可得到OD和AO的关系,(1)若圆O与AC相离,则有OD大于r,列出关于x的不等式,求出不等式的解集即可得到x的范围;(2)若圆O与AC相切,则有OD=r,求出x的值即可;(3)若圆O
33、与AC相交,则有OD小于r,列出关于x的不等式,求出不等式的解集即可得到x的范围.知识点一知识点二知识点三知识点四知识点五知识点一知识点二知识点三知识点四知识点五解答这类问题时,可以先画出草图,利用直线与圆的位置关系由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系来判断.知识点一知识点二知识点三知识点四知识点五知识点二切线的判定经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.名师解读:切线的判定方法可以归纳为两种:(1)定义法:和圆有唯一公共点的直线是圆的切线或到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线;(2)切线的判定定理.知识点一知识点二知识点三知识点四知识点五例2如图,在等腰三角形ABC中,A
34、B=AC,O为AB上一点,以O为圆心,OB长为半径的圆交BC于D,DEAC交AC于E.求证:DE是O的切线.分析:连接OD,由OB=OD,AB=AC,可得到ODB=C,即ODAC,而DEAC,即可得到ODDE,从而得到DE是O的切线.知识点一知识点二知识点三知识点四知识点五证明:如图所示,连接OD,则OB=OD,OBD=ODB.又AB=AC,OBD=C.ODB=C.ODAC.又DEAC,ODDE.DE是O的切线.知识点一知识点二知识点三知识点四知识点五当已知直线过圆上一点,要证明它是圆的切线,则要连接圆心和这个点,证明这个连线与已知直线垂直即可.知识点一知识点二知识点三知识点四知识点五知识点三
35、切线的性质圆的切线垂直于过切点的半径.名师解读:切线的性质定理与判定定理互为逆定理,切线的判定定理是由“垂直得切线”;而性质定理是由“切线得垂直”.当已知条件中有切线,而图形中没有经过切点的半径(或直径)时,通常作出经过切点的半径,这是解答这类问题的常规辅助线.知识点一知识点二知识点三知识点四知识点五例3如图,P是O外一点,PA是O的切线,A为切点,PO与O相交于B点,已知P=28,C为O上一点,连接CA,CB,则C的度数为()A.28B.62C.31D.56知识点一知识点二知识点三知识点四知识点五知识点一知识点二知识点三知识点四知识点五当题目中有圆的切点,而过切点的半径又没有时,一般作出这条
36、半径,再利用切线的性质定理结合圆周角等其他知识来求解.知识点一知识点二知识点三知识点四知识点五知识点四切线长及其定理切线长:经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间线段的长,叫做这点到圆的切线长.定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.名师解读:理解“切线长”时可以类比“两点间的距离”,切线长是数量,而不是图形.运用切线长定理可以得出角相等和线段相等,因此,在解答与两条切线有关的问题时,常常运用此定理找相等的角或线段.知识点一知识点二知识点三知识点四知识点五例4如图,PA,PB分别切O于A,B,PA=10 cm,C是劣弧 上的点(不与点A,B
37、重合),过点C的切线分别交PA,PB于点E,F.则PEF的周长为()A.10 cmB.15 cmC.20 cmD.25 cm知识点一知识点二知识点三知识点四知识点五解析:由于PEF的三边都是变化的,而图形中有三条圆的切线,故易考虑到使用切线长定理进行转化.PA,PB分别切O于A,B,PB=PA=10 cm.EA与EC为O的切线,EA=EC,同理得到FC=FB,PEF的周长=PE+EF+PF=PE+EC+FC+PF=PE+EA+FB+PF=PA+PB=10+10=20(cm).答案:C知识点一知识点二知识点三知识点四知识点五解答本题关键是运用切线长定理得出EC=AE,CF=FB,最后把三角形的周
38、长转化成两条切线长的和.知识点一知识点二知识点三知识点四知识点五知识点五内切圆及内心内切圆:与三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆.内心:内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心.名师解读:(1)一个三角形有且只有一个内切圆,而一个圆的外切三角形有无数多个.(2)三角形的内心是三角形三个内角的平分线的交点,这点到三角形三边的距离相等,一定在三角形的内部.知识点一知识点二知识点三知识点四知识点五例5如图,O是RtABC的内切圆,D,E,F分别为切点,ACB=90,则EDF的度数为()A.25B.30C.45D.60知识点一知识点二知识点三知识点四知识点五解析:由于EDF是圆周
39、角,所以考虑构造出所对的弧所对的圆心角,又有切点,所以想到连接OE,OF.O是RtABC的内切圆,D,E,F分别为切点,OEBC,OFAC.OEC=OFC=90.C=90,由四边形的内角和得EOF=90.EDF=EOF=45.答案:C知识点一知识点二知识点三知识点四知识点五解答这类问题的关键是构造出EDF所对应的圆心角.拓展点一拓展点二拓展点一直线与圆的位置关系的灵活运用例1如图所示,正方形的边长为4,O的半径为1,正方形中心O1与圆心O在直线l上,O与CD边相切,O以1 cm/s的速度向左边运动.(1)当运动时间t在何数值范围时O与CD相交?(2)当t为何值时,O与AB相切?拓展点一拓展点二
40、分析:(1)由t=0或t=2时,O与CD边相切,得出当0t2时,O与CD相交;(2)由t=4或6时,O到AB的距离d=1,得出O与AB相切.解:(1)根据题意得,当t=0或t=2时,O与CD边相切,故当0t2时,O到CD的距离d1,O与CD相交.(2)根据题意得,当t=4时,O到AB的距离d=1,O与AB相切;当t=6时,O到AB的距离d=1,O与AB相切.综上所述,当t=4或6时,O与AB相切.拓展点一拓展点二解答这类问题,仔细观察图形,由题意得出圆心到直线的距离d与半径r的数量关系是解决问题的关键.拓展点一拓展点二拓展点二证明圆的切线的常用方法例2如图,已知AB为O的直径,过点B作O的切线
41、BC,连接OC,弦ADOC.求证:CD是O的切线.拓展点一拓展点二分析:本题中既有圆的切线是已知条件,又证明另一条直线是圆的切线.也就是既要注意运用圆的切线的性质定理,又要运用圆的切线的判定定理.欲证明CD是O的切线,只要证明ODC=90即可,而易发现图形中的ABC是直角,只要设法证明CDO=ABC即可.拓展点一拓展点二证明:连接OD.OCAD,1=3,2=4.OA=OD,1=2.3=4.又OB=OD,OC=OC,OBCODC.OBC=ODC.BC是O的切线,OBC=90.ODC=90.DC是O的切线.拓展点一拓展点二解答这类既有圆的切线,又要求证明圆的切线的问题,可以从切线的性质出发,结合其
42、他条件,数形结合进行分析,逐步探求出证明的思路.知识点一知识点二知识点一正多边形的相关概念把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心,外接圆的半径叫做正多边形的半径,正多边形每一条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角,中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.名师解读:由正多边形的相关概念可以发现都是与这个正多边形的外接圆有关的.因此解答正多边形的问题时,特别要注意:(1)任何一个圆都存在着内接正n边形和外切正n边形;(2)任何一个正n边形都有一个外接圆和一个内切圆,而且它们是同心圆.这种关系是研究正多边形的画法和有关计算的基础.(3)正n边形一定是轴对称图形,有n条对称轴,但是不
43、一定是中心对称图形,当边数是偶数时,是中心对称图形,对称中心是各条对称轴的交点;当边数是奇数时,不是中心对称图形.24.3正多边形和圆正多边形和圆知识点一知识点二知识点一知识点二知识点一知识点二求解正多边有关的计算问题,关键是把握被半径和边心距分割成的直角三角形,将正多边形的计算问题转化为解直角三角形的问题.知识点一知识点二知识点二正多边形的画法由于同圆中相等的圆心角所对的弧相等,因此作相等的圆心角就可以等分圆周,从而得到相应的正多边形.具体如下:画一个圆,记为O.用量角器画一个 的圆心角A1OA2,再以点A2为圆心,以弦A2A1为半径在O上截得点A3.然后以点A3为圆心,以弦A2A1为半径在
44、O上截得点A4,这样下去,就可以把O分成n等份.顺次连接这n个分点,就得到一个正n边形.名师解读:这种方法适合于作任意边数的正多边形,但是作具体的正多边形时,可根据正多边形的边数和自身的特点选择其他方法.知识点一知识点二例2已知半径为R的O,用多种工具、多种方法作出圆内接正三角形.分析:根据正三角形的特点,即中心角为120,边长与半径相等,边心距等于半径的一半,结合圆的性质可以有多种作法.解:方法一:(1)用量角器依次画圆心角AOB=120,BOC=120;(2)连接AB,BC,CA,则ABC为圆内接正三角形.方法二:(1)用量角器画圆心角BOC=120;(2)在O上用圆规截取 ;(3)连接A
45、C,BC,AB,则ABC为圆内接正三角形.方法三:(1)作直径AD;(2)以D为圆心,以OA长为半径画弧,交O于B,C;(3)连接AB,BC,CA,则ABC为圆内接正三角形.知识点一知识点二方法四:(1)作直径AE;(2)分别以A,E为圆心,OA长为半径画弧与O分别交于点D,F,B,C;(3)连接AB,BC,CA(或连接EF,ED,DF),则ABC(或EFD)为圆内接正三角形.知识点一知识点二解答作正多边形的作图问题时,先根据正多边形的边数分析其特点,结合圆的性质及基本的尺规作图,然后选择作法,最后作出图形,这种问题的答案不唯一.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点一正多边形的计算例1正三角形的内切
46、圆半径r,外接圆半径R与边上的高h的比为()拓展点一拓展点二拓展点三解析:画出图形,连接OB,连接AO并延长交BC于点D,得到直角三角形BOD,利用30角所对的直角边等于斜边的一半,得到R=2r,然后求出h与r的关系,计算r,R与h的比.如图所示,在直角三角形BOD中,OBD=30,R=2r,AD是BC边上的高h,OA=OB,h=R+r=3r.rRh=r2r3r=123.答案:A拓展点一拓展点二拓展点三解答这类问题,构造出含有所有线段的图形,然后数形结合,把所有线段用同一线段分别表示即可求出结论.本题考查的是正多边形,此题几个量之间的数量关系可当做结论加以牢记,有利于今后提高解题的速度.拓展点
47、一拓展点二拓展点三拓展点二正多边形的对称性 例2如图,求中心点为原点,顶点A,D在x轴上,边长为2 cm的正六边形ABCDEF的各个顶点的坐标.分析:先连接OE,由于正六边形是轴对称图形,并设EF交y轴于G,那么GOE=30.在RtGOE中,GE=1,OG=,则E的坐标为(1,),与E关于y轴对称的点F的坐标是(-1,),其他点的坐标类似可求出.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点一拓展点二拓展点三正多边形的计算,一般是过中心作边的垂线,把内切圆半径、外接圆半径、中心角之间的计算转化为解直角三角形问题解答.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点三与正多边形有关的综合题例3正六边形的中心角MON(60)绕中心
48、O旋转.试证:无论中心角旋转到何种位置,阴影部分的面积总等于这个正六边形面积的 .分析:连接OB,OA,根据正多边形内角和定理求出OAM=OBN,再由全等三角形的判定定理即可得出OAMOBN即可得出结论.拓展点一拓展点二拓展点三证明:连接OB,OA.AOM+AON=60,AON+NOB=60,AOM=NOB.OAM+OAB=120,OBA+OAB=120,OAM=OBN.OA=OB,OAMOBN(ASA).S阴影=SOAB=S六边形ABCDEF.拓展点一拓展点二拓展点三解答此类问题时,一般先画出图形,数形结合进行解答.解答本题的关键是熟知正六边形的性质及全等三角形的判定定理.知识点一知识点二知
49、识点三24.4弧长和扇形面积弧长和扇形面积知识点一知识点二知识点三例1一圆弧所对的圆心角为150,它所对的弧长等于半径为5 cm的圆的周长,则该弧所在圆的半径为()A.24 cmB.12 cmC.6 cmD.30 cm解析:先用弧长公式表示出弧长,代入相关数据求出r的值即可.由题意得,l=25=10,则10=,解得r=12.答案:B知识点一知识点二知识点三解答这类问题时,一般根据弧长公式直接求解或根据公式变形求解.知识点一知识点二知识点三 知识点二扇形的面积公式 半径为r的圆中,圆心角为n的扇形的面积为名师解读:根据扇形的面积公式和弧长公式,已知S扇形,l,n,r四个量中的任意两个,都可以求出
50、另外的两个量.知识点一知识点二知识点三例2如果扇形所含的圆心角为150,弧长为5,那么扇形的面积是()A.5 B.10 C.15D.30答案:C知识点一知识点二知识点三在计算扇形的面积时,要根据情况选用合适的公式,当已知扇形的半径和圆心角时,选用公式S扇形=;当已知扇形的弧长和半径时,选用公式S扇形=lr.知识点一知识点二知识点三知识点三圆锥的母线、侧面积和全面积圆锥的母线:连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线.圆锥的侧面展开图:圆锥的侧面展开图是一个扇形.设圆锥的母线长为l,底面圆的半径为r,那么这个扇形的半径为l,扇形的弧长为2r,因此,圆锥的侧面积为rl,圆锥的全面积为r