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1、本章知识结构图圆的基本性质圆圆的对称性弧、弦圆心角之间的关系同弧上的圆周角与圆心角的关系与圆有关的位置关系正多边形和圆有关圆的计算点和圆的位置关系切线直线和圆的位置关系三角形的外接圆三角形内切圆等分圆圆和圆的位置关系弧长扇形的面积圆锥的侧面积和全面积第1页/共70页一.圆的基本概念:1.圆的定义:到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆.2.有关概念:(1)弦、直径(圆中最长的弦)(2)弧、优弧、劣弧、等弧(3)弦心距O第2页/共70页二.圆的基本性质1.圆的对称性:(1)圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴.圆有无数条对称轴.(2)圆是中心对称图形,并且绕圆心旋转任何一个角度都能与
2、自身重合,即圆具有旋转不变性.第3页/共70页2.垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.ADBPCCD是圆O的直径,CDABAP=BP,ACBC=ADBD=第4页/共70页3.同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间的关系:(1)在同圆或等圆中,如果圆心角相等,那么它所对的弧相等,所对的弦相等.(2)在圆中,如果弧相等,那么它所对的圆心角相等,所对的弦相等.(3)在一个圆中,如果弦相等,那么它所对的弧相等,所对的圆心角相等.ABDCO COD=AOBABCD=AB=CD第5页/共70页1、如图,已知O的半径OA长为5,弦AB的长8,OCAB于C,则OC的长为_.OABC3AC=BC
3、弦心距半径半弦长第6页/共70页反思：在O中，若O的半径r、圆心到弦的距离d、弦长a中，任意知道两个量，可根据定理求出第三个量：CDBAO2：如图，圆O的弦AB8，DC2，直径CEAB于D，求半径OC的长。垂径直径MNAB,垂足为E,交弦CD于点F.第7页/共70页3、如图，P为 O的弦BA延长线上一点，PAAB2，PO5，求 O的半径。关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线。圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。MAPBOA第8页/共70页 4.圆周角:定义:顶点在圆周上，两边和圆相交的角，叫做圆周角.性质:(1)在同一个圆中,
4、同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.BAC=BOC12第9页/共70页在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的所有的圆周角相等.相等的圆周角所对的弧相等.圆周角的性质(2)ADB与AEB、ACB 是同弧所对的圆周角ADB=AEB=ACB第10页/共70页性质 3:半圆或直径所对的圆周角都相等,都等于900(直角).性质4:900的圆周角所对的弦是圆的直径.AB是O的直径 ACB=900圆周角的性质:第11页/共70页15第12页/共70页ABCOD3.6作圆的直径与找90度的圆周角也是圆里常用的辅助线第13页/共70页2.如图，AB是O的直径,BD是 O的弦，延长BD到点C,使 DC=BD,连接
5、AC交O与点F.（1）AB与AC的大小有什么关 系?为什么?（2）按角的大小分类,请你判断 ABC属于哪一类三角形，并说明理由.(05宜昌)1.在O中，弦AB所对的圆心角AOB=100，则弦AB所对的圆周角为_.（05年上海）500或1300第14页/共70页3.如图在比赛中,甲带球向对方球门PQ进攻,当他带球冲到A点时,同伴乙已经助攻冲到B点,此时甲是直接射门好,还是将球传给乙,让乙射门好?为什么?PQAB第15页/共70页(2)点在圆上(3)点在圆外(1)点在圆内1.点和圆的位置关系ACB如果规定点与圆心的距离为d,圆的半径为r,则d与r的大小关系为:点与圆的位置关系 d与r的关系 点在圆
6、内点在圆上点在圆外drdrdr三.与圆有关的位置关系:第16页/共70页7.在Rt ABC中，C=90,BC=3cm,AC=4cm,D为AB的中点，E为AC的中点，以B为圆心，BC为半径作B，问：（1）A、C、D、E与B的位置关系如何？（2）AB、AC与B的位置关系如何？EDCAB第17页/共70页2.如图,OA是O的半径,已知AB=OA,试探索当OAB的大小如何变化时点B在圆内?点B在圆上?点B在圆外?ABO第18页/共70页2.直线和圆的位置关系:OOOlll(1)相离:(2)相切:(3)相交:一条直线与一个圆没有公共点,叫做直线与这个圆相离.一条直线与一个圆只有一个公共点,叫做直线与这个
7、圆相切.一条直线与一个圆有两个公共点,叫做直线与这个圆相交.第19页/共70页OOl(1)当直线与圆相离时dr;(2)当直线与圆相切时d=r;(3)当直线与圆相交时dr.直线与圆位置关系的识别:drldrOldr设圆的半径为r,圆心到直线的距离为d,则:第20页/共70页1.与圆有一个公共点的直线。2.圆心到直线的距离等于圆的半径的直线是圆的切线。3.经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。OAlOA是半径,OA l直线l是O的切线.第21页/共70页切线的性质:(1)圆的切线垂直于经过切点的半径.(2)经过圆心垂直于切线的直线必经过切点.(3)经过切点垂直于切线的直线必经过圆心.OA
8、l OA l直线l是O的切线,切点为A第22页/共70页切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等；这点与圆心的连线平分这两条切线的夹角。BAPOPA、PB为O的切线PA=PB,APO=BPO第23页/共70页1.在RtABC中,B=90,A的平分线交BC于D,以D为圆心,DB长为半径作D.试说明:AC是D的切线.F F过D点作DFAC于F点，然后证明DF等于圆D的半径BD第24页/共70页如图，AB在O的直径，点D在AB的延长线上,且BD=OB,点C在O上,CAB=30.(1)CD是O的切线吗？说明你的理由;(2)AC=_，请给出合理的解释.只要连接OC，而后证明OC垂直CD第2
9、5页/共70页2.AB是O的弦,C是O外一点,BC是O的切线,AB交过C点的直径于点D,OACD,试判断BCD的形状,并说明你的理由.第26页/共70页不在同一直线上的三点确定一个圆.OCBA三角形的外接圆与内切圆:三角形的外心就是三角形各边垂直平分线的交点.OABC三角形的内心就是三角形各角平分线的交点.第27页/共70页等边三角形的外心与内心重合.特别的:内切圆半径与外接圆半径的比是1:2.OABCD第28页/共70页二、过三点的圆及外接圆1.过一点的圆有_个2.过两点的圆有_个，这些圆的圆心的都在_ 上.3.过三点的圆有_个4.如何作过不在同一直线上的三点的圆（或三角形的外接圆、找外心、
10、破镜重圆、到三个村庄距离相等）5.锐角三角形的外心在三角形_，直角三角形的外心在三角形_ _，钝角三角形的外心在三角形_。无数无数0或1内外连结着两点的线段的垂直平分线在斜边的中点上第29页/共70页经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形叫做圆的内接三角形。问题1：如何作三角形的外接圆？如何找三角形的外心？问题2：三角形的外心一定 在三角形内吗？C90ABC是锐角三角形ABC是钝角三角形第30页/共70页3.如图,是某机械厂的一种零件平面图.(1)请你根据所学的知识找出该零件所在圆的圆心(要求正确画图,不写做法,保留痕迹).(2)若弦AB=80cm,A
11、B的中点C到AB的距离是20cm,求该零件所在的半径长.第31页/共70页基础题：1.1.既有外接圆既有外接圆,又内切圆的平行四边形是又内切圆的平行四边形是_._.2.2.直角三角形的外接圆半径为直角三角形的外接圆半径为5cm,5cm,内切圆半径为内切圆半径为1cm,1cm,则此三角形的周长是则此三角形的周长是_._.3.3.O O边长为边长为2cm2cm的正方形的正方形ABCDABCD的内切圆的内切圆,E,E、F F切切 O O 于于P P点，交点，交ABAB、BCBC于于E E、F F，则，则BEFBEF的周长是的周长是_._.EF HG正方形正方形22cm22cm2cm2cm第32页/共
12、70页4.如图，O为ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，P是弧FDE上的一点，若A+C=110度，则FPE=_度CoDEAB.FP5 如 图，已 知 ABC的 三 边 长 分 别 为 AB=4cm，BC=5cm，AC=6cm，O是ABC的内切圆，切点分别是E、F、G，则AE=，BF=，CG=。第33页/共70页7如图，M与x轴相交于点A（2，0），B（8，0），与y轴相切于点C，求圆心M的坐标AOy.MCxB第34页/共70页6.6.小红家的锅盖坏了小红家的锅盖坏了,为了配一个锅盖为了配一个锅盖,需要测量锅盖的需要测量锅盖的直径直径(锅边所形成的圆的直径锅边所形成的圆的直径),),而小红家只
13、有一把长而小红家只有一把长20cm20cm 的直尺的直尺,根本不够长根本不够长,怎么办呢怎么办呢?小红想了想小红想了想,采取以下方采取以下方法法:首先把锅平放到墙根首先把锅平放到墙根,锅边刚好靠到两墙锅边刚好靠到两墙,用直尺紧贴用直尺紧贴墙面量得墙面量得MAMA的长的长,即可求出即可求出锅盖锅盖的直径的直径,请你利用图乙请你利用图乙,说说明她这样做的道理明她这样做的道理.第35页/共70页圆与圆的位置关系:.外离外切相交内切内含第36页/共70页O1O2O1O2O1O2O2O1O1O2 两圆的位置关系数量关系及识别方法 外离 外切 相交 内切 内含dR+rd=R+rd=R-rdR-rR-rdR
14、+r第37页/共70页1.如图，O1和O2内切于点T，O2的弦TA，TB分别交O1于C，D，连接AB，CD求证：AB/CDo1o2ABCDT第38页/共70页典型例题:1.如图,O的直径AB=12,以OA为直径的O1交大圆的弦AC于D,过D点作小圆的切线交OC于点E,交AB于F.EO1ODCBAF(2)猜想DF与OC的位置关系,并说明理由.(1)说明D是AC的中点.(3)若DF=4,求OF的长.第39页/共70页2.如图,正方形ABCD的边长为2,P是线段BC上的一个动点.以AB为直径作圆O,过点P作圆O的切线交AD于点F,切点为E.DCBAFPOE(1)求四边形CDFP的周长.(2)设BP=
15、x,AF=y,求y关于x的函数解析式.Q第40页/共70页三.正多边形:2.半径：正多边形外接圆的半径叫做这个正多边形的半径.中心：一个正多边形外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心3.中心角：正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角4.边心距：中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距OABFDCEG第41页/共70页3正多边形和圆（1）.有关概念（2）.常用的方法（3）.正多边形的作图EFCD.边心距r半径半径R R中心角O O边OABCRda第42页/共70页1.圆的周长和面积公式2.弧长的计算公式3.扇形的面积公式S=360nr2L=180nr=12lrS或四.圆中
16、的有关计算:周长C=2r面积s=r2Or第43页/共70页4.圆柱的展开图:DBCArhS侧=2r hS全=2r h+2 r2第44页/共70页5.圆锥的展开图:底面侧面aahrS侧=r aS全=r a+r2第45页/共70页1、扇形AOB的半径为12cm,AOB=120,求扇形的面积和周长.2、如图,当半径为30cm的转动轮转过120时,传送带上的物体A平移的距离为_.A第46页/共70页A AC CB BA A C C 3 3：如图，把如图，把RtABCRtABC的斜边放在直线的斜边放在直线 上，按顺时针方向转动一次上，按顺时针方向转动一次,使它转到使它转到 的的位置。若位置。若BC=1,
17、A=30BC=1,A=300 0。求点。求点A A运动到运动到A A位置时，点位置时，点A A经过的路线长。经过的路线长。第47页/共70页4.如下图，所示的三角形铁皮余料，剪下扇形制成圆锥形玩具，已知C=90度，AC=BC=4cm，使剪下的扇形边缘半径在三角形边上，弧与其他边相切，设计裁剪的方案图，直接写出扇形的半径长。O第48页/共70页5、扇形的面积是它所在圆的面积的 ，这个扇形的圆心角的度数是_.2406、圆锥的母线为5cm，底面半径为3cm，则圆锥的表面积为_24cm2第49页/共70页7、已知：在RtABC,求以AB为轴旋转一周所得到的几何体的全面积。分析：以AB为轴旋转一周所得到
18、的几何体是由公共底面的两个圆锥所组成的几何体，因此求全面积就是求两个圆锥的侧面积。第50页/共70页A AB BC C8 8：如图，在如图，在RtABCRtABC中，中，ACB=90ACB=900 0。(1)(1)分别以分别以ACAC，BCBC为轴旋转一周所得的圆锥相同吗为轴旋转一周所得的圆锥相同吗?(2)(2)以以ABAB为轴旋转一周得到怎样的几何体？为轴旋转一周得到怎样的几何体？(3)(3)若若AB=5AB=5，BC=4BC=4，你能求出题，你能求出题(2)(2)中几何体的表面积吗？中几何体的表面积吗？第51页/共70页9.如图，圆锥的底面半径为2cm，母线长为8cm，一只蚂蚁从底面圆周上
19、一点A出发，沿圆锥侧面爬行一周回到A点，求蚂蚁爬行的最短路线长是多少？BAOA第52页/共70页ECBAOD常见的基本图形及结论:1.如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C、D,则:AC=BD若大圆的弦切小圆于C,则OACBAC=BC两圆之间的环形面积S=AB2第53页/共70页2.如图,以等腰ABC的腰AB为直径作O交底边BC于点D,则:OCBAD点D是BC的中点.第54页/共70页OPBADC3.如图,已知PA、PB切圆O于点A,B,过弧AB上任一点E作圆O的切线,交PA,PB于点C,D,则:(1)PCD的周长=2PA(2)COD=900-APBE第55页/共70页OAB
20、COABCDFEDFE4.如图,ABC各边分别切圆O于点D、E、F.(1)DEF=900-A(3)S ABC=(a+b+c)r(2)BOC=900+A第56页/共70页ABCOEFD5.在Rt ABC中,ACB是直角,三边分别是a、b、c,内切圆半径是r,则:内切圆半径r=a+b-c2第57页/共70页6.如图,AB是圆O的直径,AD,BC,DC均为切线,则:(1)DC=AD+BC(2)DOC=900OBDCAE第58页/共70页3已知：AB为O的直径，P为AB弧的中点（1）若O与O外切于点P（见图甲），AP、BP的延长线分别交O于点C、D，连接CD，则PCD是 三角形；（2）若O与O相交于点
21、P、Q（见图乙），连接AQ、BQ并延长分别交O于点E、F，请选择下列两个问题中的一个作答：问题二：判断线段AE与BF的关系，并证明你的结论.问题一：判断PEF的形状，并证明你的结论；第59页/共70页5.已知O1、O2，相交与A，B两点，两圆的半径分别是和，公共弦的长AB=6，求O1O2和 O1 A O2BA.O1O2DAB.O1O2D=3+或3-O1O2 O1 A O2=75度或15度第60页/共70页6.某电机长生产一批直径分别为10cm和20cm的圆形硅钢片,现在有宽度为20cm的硅钢片,现设计了两种裁料方法:1.如图（一），把两种规格的圆钢片分开排料：2.如图（二）把2片小的和1片大的
22、圆钢片间隔起来排料：问题1.上述问题主要反映了有关圆的位置关系是_问题2.比较两种不同的方案，通过计算说明哪一种排料方法更节约用料？第61页/共70页专题一：与圆有关的辅助线的作法：辅助线，莫乱添，规律方法记心间；圆半径，不起眼，角的计算常要连，构成等腰解疑难；切点和圆心，连结要领先；遇到直径想直角，灵活应用才方便。弦与弦心距，亲密紧相连；第62页/共70页2、已知O1与O2相交于C、D，O1O2的延长线和O1交于A，AC、AD分别与O2相交于点E、F。求证：CE=DFCDo1o2AFEGH第63页/共70页4、如图，O1、O2外切于P，AB与O1、O2切于A、B，CP为O2的内公切线并交AB
23、于C，求证：O1CO2C。B12ACOOP第64页/共70页第1部分圆的基本性质第2部分与圆有关的位置关系本章安排复习内容第3部分正多边形和圆第4部分弧长和面积的计算第5部分有关作图第65页/共70页对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的距离d、圆半径r、弓形高h，这四个量中，只要已知其中任意两个量，就可以求出另外两个量，如图有：d+h=r经验点拔垂径定理的应用第66页/共70页AB.CO1O2要记住这个模型，他的结论有很多的应用ABC叫做切点三角形第67页/共70页熟练掌握以下的结论rr记住：在具体计算时往往用到的是面积法和方程思想第68页/共70页三.正多边形:2.半径：正多边形外接圆的半径叫做这个正多边形的半径.中心：一个正多边形外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心3.中心角：正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角4.边心距：中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距OABFDCEG第69页/共70页感谢您的欣赏！第70页/共70页