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1、第28章：锐角三角函数人教版九年级下册28.1 28.1 锐角三角函数（锐角三角函数（1 1）意大利比萨斜塔意大利比萨斜塔1350年落成时就已倾斜，其塔顶年落成时就已倾斜，其塔顶中心点偏离垂直中心点中心点偏离垂直中心点2.1 m1972年比萨地区发生年比萨地区发生地震，这座高地震，这座高54.5 m的斜塔在大幅度摇摆后仍魏然屹的斜塔在大幅度摇摆后仍魏然屹立，但塔顶中心点偏离垂直中心线立，但塔顶中心点偏离垂直中心线5.2 m，而且还在，而且还在继续倾斜，有倒塌的危险当地从继续倾斜，有倒塌的危险当地从1990年对斜塔进行年对斜塔进行维修纠偏，维修纠偏，2001年竣工，此时塔顶中心点偏离垂直中年竣工
2、，此时塔顶中心点偏离垂直中心的距离减少了心的距离减少了43.8 cm 导入新课导入新课问题问题1 我们用我们用“塔身中心线与垂塔身中心线与垂直中心线所成的角直中心线所成的角”来描述比萨斜塔来描述比萨斜塔的程度，根据已测量的数据你能求角的程度，根据已测量的数据你能求角的度数吗？的度数吗？导入新课导入新课在上述问题中，可以抽象出什么几何图形？上述在上述问题中，可以抽象出什么几何图形？上述问题可以抽象成什么数学问题？问题可以抽象成什么数学问题？答：这个问题可以抽象出一个直角三角形，实答：这个问题可以抽象出一个直角三角形，实际是际是“已知直角三角形的一条直角边和斜边，求这已知直角三角形的一条直角边和斜
3、边，求这条直角边所对锐角的度数条直角边所对锐角的度数”导入新课导入新课对直角三角形的边角关系，已经研究了什么？对直角三角形的边角关系，已经研究了什么？还可以研究什么？还可以研究什么？答：我们前面研究了直角三角形中角与角之间答：我们前面研究了直角三角形中角与角之间的关系（两锐角互余）、三边之间的关系（勾股定的关系（两锐角互余）、三边之间的关系（勾股定理），还可以研究边与角之间的关系理），还可以研究边与角之间的关系 导入新课导入新课从实际需要看，要描述比萨斜塔的倾斜程度，我们从实际需要看，要描述比萨斜塔的倾斜程度，我们需要研究直角三角形中边与角之间的关系：从数学内部需要研究直角三角形中边与角之间的
4、关系：从数学内部看，我们已经研究了直角三角形的边与边的关系、角与看，我们已经研究了直角三角形的边与边的关系、角与角的关系，边与角之间有什么关系呢？本节课我们一起角的关系，边与角之间有什么关系呢？本节课我们一起来学习来学习“锐角三角函数锐角三角函数”锐角的正弦、余弦、正切锐角的正弦、余弦、正切 导入新课导入新课我们先研究有一个锐角为我们先研究有一个锐角为30的直角三角形问题的直角三角形问题问题问题2 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌现测得斜坡
5、与水平面所成角对坡面的绿地进行喷灌现测得斜坡与水平面所成角的度数是的度数是30，为使出水口的高度为，为使出水口的高度为35 m，那么需要，那么需要准备多长的水管？准备多长的水管？新课讲解新课讲解你能用数学语言来表达这个实际问题吗？如何解你能用数学语言来表达这个实际问题吗？如何解决这个问题决这个问题答：把上述实际问题抽象成数学问题为：在答：把上述实际问题抽象成数学问题为：在RtABC中，中，C=90，A=30，BC=35 m，求，求AB 新课讲解新课讲解依据依据“直角三角形中，直角三角形中，30角所对的直角边是斜边角所对的直角边是斜边的一半的一半”得到答案：得到答案：“需要准备需要准备70 m长
6、的水管长的水管”在上面的问题中，如果使出水口的高度为在上面的问题中，如果使出水口的高度为50 m，那么需要准备多长的水管？那么需要准备多长的水管？答：答：依据依据“直角三角形中，直角三角形中，30角所对的直角边角所对的直角边是斜边的一半是斜边的一半”得到答案：得到答案：“需要准备需要准备100 m长的水长的水管管”新课讲解新课讲解对于有一个锐角为对于有一个锐角为30的任意直角三角形，的任意直角三角形，30角角的对边与斜边有怎样的数量关系？的对边与斜边有怎样的数量关系？答：答：在直角三角形中，如果一个锐角等于在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那，那么不管这个直角三角形的大小如何，这个角的对边
7、与么不管这个直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于斜边的比值都等于 新课讲解新课讲解问题问题3 在直角三角形中，如果锐角的大小发生了改在直角三角形中，如果锐角的大小发生了改变，其对边与斜边的比值还是变，其对边与斜边的比值还是 吗？例如，如图，任意吗？例如，如图，任意画一个画一个RtABC，使，使C=90，A=45，计算，计算A的的对边与斜边的比对边与斜边的比 由此你能得出什么结论？由此你能得出什么结论？新课讲解新课讲解答：答：在在RtABC中，中，C=90，因为，因为A=45，所，所以以RtABC是等腰直角三角形是等腰直角三角形由勾股定理，得由勾股定理，得AB2=AC2+BC2=
8、2BC2，因此因此 结论：结论：在一个直角三角形中，当一个锐角等于在一个直角三角形中，当一个锐角等于45时，无论这个直角三角形的大小如何，这个角的对角与时，无论这个直角三角形的大小如何，这个角的对角与斜边的比都等于斜边的比都等于 新课讲解新课讲解问题问题4 由上述两个结论可知，在由上述两个结论可知，在RtABC中，中，C=90，当，当A=30时，时，A的对边与斜边的比都的对边与斜边的比都等于等于 ，它是一个固定值；当，它是一个固定值；当A=45时，时，A的对的对边与斜边的比都等于边与斜边的比都等于 ，它也是一个固定值由此，它也是一个固定值由此你能猜想出什么一般的结论呢？你能猜想出什么一般的结论
9、呢？新课讲解新课讲解答：答：在在RtABC中，当锐角中，当锐角A的度数一定时，无的度数一定时，无论这个直角三角形的大小如何，论这个直角三角形的大小如何，A的对边与斜边的的对边与斜边的比都是一个固定值比都是一个固定值问题问题5 如图，任意画如图，任意画RtABC和和RtABC，使得使得C=C=90，A=A=，那么，那么 与与 有什么关系？你能解释吗？有什么关系？你能解释吗？新课讲解新课讲解解：解：=；因为；因为C=C=90，A=A=，所以所以RtABCRtABC所以所以 ，即，即 新课讲解新课讲解在直角三角形中，当锐角在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，无论的度数一定时，无论这个直角三角形的大
10、小如何，它的对边与斜边的比都这个直角三角形的大小如何，它的对边与斜边的比都是一个固定值这个固定值随锐角是一个固定值这个固定值随锐角A的度数的变化而的度数的变化而变化，由此我们给这个变化，由此我们给这个“固定值固定值”以专门名称以专门名称如图，在如图，在RtABC中，中，C=90，我们把锐角，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做的对边与斜边的比叫做A的的正弦正弦（sine），记作），记作sin A，即，即 新课讲解新课讲解sin A=当当A=30时，时，A的正弦为多少？的正弦为多少？A=45呢？呢？答：答：sin 30=，sin 45=注意：正弦的三种表示方式：注意：正弦的三种表示方式：sin A（
11、省去角的符号），（省去角的符号），sin 30，sinDEF 新课讲解新课讲解问题问题6 如图，在如图，在RtABC中，中，C=90，当，当A确定时，确定时，A的对边与斜边的比随之确定此时，其的对边与斜边的比随之确定此时，其他边之间的比是否也随之确定呢？为什么？他边之间的比是否也随之确定呢？为什么？新课讲解新课讲解所以所以 ，即，即 ；，即，即 答：答：当当A确定时，确定时，A的邻边与斜边的比、的邻边与斜边的比、A的对边与邻边的比都是确定的的对边与邻边的比都是确定的证明：证明：如图，因为如图，因为C=C=90，A=A=，所以，所以RtABCRtABC 新课讲解新课讲解我们把我们把A的邻边与斜边
12、的比叫做的邻边与斜边的比叫做A的的余弦余弦（cosine），记作），记作cos A，即，即cos A=；把把A的对边与邻边的比叫做的对边与邻边的比叫做A的的正切正切（tangent），记作），记作tan A，即，即tan A=A的正弦、余弦、正切都是的正弦、余弦、正切都是A的的锐角三角锐角三角函数函数（trigonometric function of acute angle）新课讲解新课讲解例例1 如图，在如图，在RtABC中，中，C=90，求，求sin A和和sin B的值的值分析：求分析：求sin A就是要确定就是要确定A的对边与斜边的比；求的对边与斜边的比；求sin B就是要确定就是要
13、确定B的对边与斜边的比的对边与斜边的比 新课讲解新课讲解解：解：如图（如图（1），在），在RtABC中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得因此因此 ，如图（如图（2），在），在RtABC中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得因此因此，新课讲解新课讲解例例2 如图，在如图，在RtABC中，中，C=90，AB=10，BC=6，求求sin A，cos A，tan A的值的值解：解：由勾股定理，得由勾股定理，得因此因此 ，新课讲解新课讲解1在在ABC中，若三边中，若三边BC、CA、AB满足满足BCCAAB=51213，则，则cos B=（）A B C DC 巩固练习巩固练习2在在RtABC中，中，C=90
14、，a=3，c=5，求，求sin A和和tan A的值的值解：在解：在RtABC中，中，a=3，c=5，sin A=，tan A=巩固练习巩固练习1正弦、余弦、正切的定义正弦、余弦、正切的定义如图，在如图，在RtABC中，中，C=90，A，B，C的的对边分别为对边分别为a，b，c（1）正弦：锐角）正弦：锐角A的对边与斜边的比叫做的对边与斜边的比叫做A的正弦，的正弦，记作记作sin A，即，即sin A=课堂小结课堂小结（2）余弦：锐角）余弦：锐角A的邻边与斜边的比叫做的邻边与斜边的比叫做A的余弦，的余弦，记作记作cos A，即，即cos A=；（3）正切：锐角）正切：锐角A的对边与邻边的比叫做的
15、对边与邻边的比叫做A的正切，的正切，记作记作tan A，即，即tan A=2锐角三角函数的定义锐角三角函数的定义A的正弦、余弦、正切都是的正弦、余弦、正切都是A的锐角三角函数，即的锐角三角函数，即sin A，cos A，tan A都叫做锐角都叫做锐角A的三角函数的三角函数课堂小结课堂小结第第2828章：锐角三角函数章：锐角三角函数人教版九年级下册28.1 28.1 锐角三角函数（锐角三角函数（2 2）1什么是正弦、余弦、正切？什么是正弦、余弦、正切？2含含30，45角的直角三角形有哪些性质？角的直角三角形有哪些性质？3还记得我们推导正弦关系的时候所得到的结论吗？还记得我们推导正弦关系的时候所得
16、到的结论吗？sin 30=，sin 45=4你还能推导出你还能推导出sin 60的值及的值及30，45，60角的其他角的其他三角函数值吗？三角函数值吗？导入新课导入新课问题问题1 分别画出含有分别画出含有30，45，60角的直角三角形，角的直角三角形，并求出并求出sin 30，sin 45，sin 60的值，以此类推求出的值，以此类推求出30，45，60角的所有三角函数值角的所有三角函数值解：解：新课讲解新课讲解问题问题2 求出下列各角的三角函数值：求出下列各角的三角函数值：（1）sin 3724；（；（2）cos 212830；（3）tan 5245解：（解：（1）求）求sin 3724的值
17、，利用计算器的的值，利用计算器的 键，再键，再输入角度值输入角度值3724，得到结果：，得到结果：sin 37240.6074注意：输入度数时，用注意：输入度数时，用 键或用小数度数键或用小数度数 新课讲解新课讲解（2）cos 2128300.9306；（；（3）tan 52451.315问题问题3 已知下列锐角三角函数值，求出其对应的锐角的已知下列锐角三角函数值，求出其对应的锐角的度数度数（1）sin B=0.9759；（；（2）cos B=0.7859；（3）tan B=0.7355解：（解：（1）依次按键）依次按键 ，然后输入函数值，然后输入函数值0.9759，得到，得到B772344或
18、或77.4；新课讲解新课讲解（2）B3812或或38.20；（3）B3620或或36.33注意：注意：1按按“度分秒度分秒”键就可以转换成用度分秒表示键就可以转换成用度分秒表示的角；的角；2已知三角函数值求角的度数需要用第二功能键已知三角函数值求角的度数需要用第二功能键 新课讲解新课讲解例例1 求下列各式的值：求下列各式的值：（1）；（2）=1；解：解：（1）（2）=0 新课讲解新课讲解例例2 （1）如图（）如图（1），在），在RtABC中，中，C=90，求，求A的度数的度数（2）如图（）如图（2），），AO是圆锥的高，是圆锥的高，OB是底面半径，是底面半径，求，求 的度数的度数 新课讲解新课
19、讲解分析：分析：要求一个直角三角形中一个锐角的度数，可以先要求一个直角三角形中一个锐角的度数，可以先求该锐角的某一个三角函数值，如果这个值是一个特殊求该锐角的某一个三角函数值，如果这个值是一个特殊值，那么我们就可以求出这个角的度数值，那么我们就可以求出这个角的度数解：解：（1）在图（）在图（1）中，）中，（2）在图（）在图（2）中，）中，新课讲解新课讲解1计算：计算：sin230+cos230-tan245解：原式解：原式=巩固练习巩固练习注意：当注意：当A、B均为锐角时，若均为锐角时，若AB，则，则sin Asin B，cos Acos B，tan Atan B1计算：计算：sin230+c
20、os230-tan245解：原式解：原式=巩固练习巩固练习2用计算器求下列三角函数的值用计算器求下列三角函数的值(结果精确到结果精确到0.0001)（1）sin 462540；（；（2）cos 5640；（3）tan 463520解：（解：（1）sin 4625400.7245；（2）cos 56400.5495；（3）tan 4635201.0571 巩固练习巩固练习3已知下列锐角三角函数值，求出其对应锐角的度数已知下列锐角三角函数值，求出其对应锐角的度数（1）sin A=0.2046；（；（2）cos A=0.7958；（3）tan A=3.280解：（解：（1）A11.81或或11482
21、2；（2）A37.27或或37169；（3）A73.04或或73241 巩固练习巩固练习30，45，60角的三角函数值如下表：角的三角函数值如下表：对于锐角对于锐角A，sin A与与tan A，角度越大，函数值越，角度越大，函数值越大；对于大；对于cos A，角度越大，函数值越小，角度越大，函数值越小课堂小结课堂小结第第2828章：锐角三角函数章：锐角三角函数人教版九年级下册28.2 28.2 解直角三角形及其应用（解直角三角形及其应用（1 1）导入新课导入新课意大利比萨斜塔在意大利比萨斜塔在1350年落成时就已倾斜，其塔年落成时就已倾斜，其塔顶中心点偏离垂直中心线顶中心点偏离垂直中心线2.1
22、 m1972年比萨地区发生年比萨地区发生地震，这座高地震，这座高54.5 m的斜塔在大幅度摇摆后仍巍然屹的斜塔在大幅度摇摆后仍巍然屹立，但塔顶中心点偏离垂直中心线增至立，但塔顶中心点偏离垂直中心线增至5.2 m，而且还，而且还以每年增加以每年增加1 cm的速度继续倾斜，随时都有倒塌的危的速度继续倾斜，随时都有倒塌的危险为此，意大利当局从险为此，意大利当局从1990年起对斜塔进行维修纠年起对斜塔进行维修纠偏，偏，2001年竣工，此时塔顶中心点偏离垂直中心线的年竣工，此时塔顶中心点偏离垂直中心线的距离比纠偏前减少了距离比纠偏前减少了43.8 cm 导入新课导入新课ABC塔塔身身中中心心线线垂垂直直
23、中中心心线线如果要求你根据如果要求你根据上述信息，用上述信息，用“塔身中心线与塔身中心线与垂直中心线所成垂直中心线所成的角的角”（如图）（如图）来描述比萨斜塔来描述比萨斜塔的倾斜程度，你的倾斜程度，你能完成吗？能完成吗？导入新课导入新课如图，在如图，在 RtABC中，中，C=90，BC=5.2 m，AB=54.5 m因此因此 所以所以 528 也可以求出也可以求出2001年纠偏后塔身中年纠偏后塔身中心线与垂直中心心线与垂直中心线的夹角线的夹角ABC比萨斜塔倾斜程度的问题，比萨斜塔倾斜程度的问题，1972年的情形：年的情形：导入新课导入新课上述实际问题抽象为数学上述实际问题抽象为数学问题，问题，
24、就是已知直角三角形的就是已知直角三角形的某些边长，求其锐角的度数某些边长，求其锐角的度数ABC在在Rt ABC中，你还能中，你还能求出其他未知的边和角吗？求出其他未知的边和角吗？导入新课导入新课解直角三角形的概念：解直角三角形的概念：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角由直角三角形中的已知元素，即三条边和两个锐角由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形 新课讲解新课讲解归纳：归纳：（1）在直角三角形的六个元素中，除直角）在直角三角形的六个元素中，除直角外的
25、五个元素，只要知道两个元素（其中至少有一外的五个元素，只要知道两个元素（其中至少有一条边），就可以求出其余的三个元素条边），就可以求出其余的三个元素（2）定义：在直角三角形中，由已知元素求未知）定义：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形元素的过程就是解直角三角形（3）解直角三角形有四种基本类型：）解直角三角形有四种基本类型：已知斜边已知斜边和一条直角边；和一条直角边；已知两条直角边；已知两条直角边；已知斜边和已知斜边和一个锐角；一个锐角；已知一条直角边和一个锐角已知一条直角边和一个锐角 新课讲解新课讲解例例1 如图，在如图，在RtABC中，中，C=90，解这个直角三角形，
26、解这个直角三角形解：解：，新课讲解新课讲解例例2 如图，在如图，在RtABC中，中，C=90，B=35，b=20，解这个直角三角形（结果保留小数点后一位），解这个直角三角形（结果保留小数点后一位）解：解：A=90-B=90-35=55 ，新课讲解新课讲解1在在RtABC中，中，C=90，BC=，AC=，则则A=（）A90 B60 C45 D302如图，在如图，在ABC中，中，ADBC，垂足为垂足为D，B=60，C=45（1）求）求BAC的度数；的度数；（2）若）若AC=2，求，求AD的长的长D 巩固练习巩固练习解：（解：（1）BAC=180-60-45=75（2）ADBC，ADC是直角三角形是
27、直角三角形C=45，AD=ACsin C=2sin 45=巩固练习巩固练习1解直角三角形的概念解直角三角形的概念由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形过程，叫做解直角三角形2解直角三角形的类型及方法解直角三角形的类型及方法（1）解直角三角形有四种基本类型：）解直角三角形有四种基本类型：已知斜边和已知斜边和一条直角边；一条直角边；已知两条直角边；已知两条直角边；已知斜边和一已知斜边和一个锐角；个锐角；已知一条直角边和一个锐角已知一条直角边和一个锐角课堂小结课堂小结（2）在解直角三角形时，可以用勾股定理确定直角）在解直角三角形
28、时，可以用勾股定理确定直角三角形的三边关系，由锐角三角函数得到边角关系三角形的三边关系，由锐角三角函数得到边角关系在选择关系时，应遵循以下基本原则：有斜（斜边）在选择关系时，应遵循以下基本原则：有斜（斜边）用弦（正弦、余弦），无斜（斜边）用切（正切），用弦（正弦、余弦），无斜（斜边）用切（正切），宁乘勿除，尽量采用原始数据宁乘勿除，尽量采用原始数据课堂小结课堂小结第第2828章：锐角三角函数章：锐角三角函数人教版九年级下册28.2 28.2 解直角三角形及其应用（解直角三角形及其应用（2 2）观看视频：观看视频：2012年年6月月18日，日，“神舟神舟”九号载人航天飞船与九号载人航天飞船与“天
29、宫天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接一号目标飞行器成功实现交会对接这是让所有中国人骄傲的伟大的科研成果，其中就含有关这是让所有中国人骄傲的伟大的科研成果，其中就含有关于解直角三角形的相关问题，那么解直角三角形的依据是什么于解直角三角形的相关问题，那么解直角三角形的依据是什么呢？呢？答：（答：（1）勾股定理；（）勾股定理；（2）直角三角形的两锐角互余；）直角三角形的两锐角互余；（3）在直角三角形中，应用锐角三角函数的知识）在直角三角形中，应用锐角三角函数的知识 新课讲解新课讲解把握了直角三角形边角之间的各种关系，我们就把握了直角三角形边角之间的各种关系，我们就能解决与直角三角形有关的实际问题了
30、，这节课我们能解决与直角三角形有关的实际问题了，这节课我们就学习就学习“解直角三角形的应用解直角三角形的应用”新课讲解新课讲解例例1 2012年年6月月18日，日，“神舟”九号载人航天飞船九号载人航天飞船与与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接一号目标飞行器成功实现交会对接“神舟”九号与九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面一号的组合体在离地球表面343 km的圆形轨道上运行，如图，当组合体运行到地的圆形轨道上运行，如图，当组合体运行到地球表面球表面P点的正上方时，从中能直接看到的地球表面点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与最远的点在什么位置？最远点与P点的距离
31、是多少点的距离是多少(地地球半径约为球半径约为6 400 km，取取3.142，结果取整数，结果取整数)？新课讲解新课讲解（1）如何理解从组合体中能直接看到的地球表面的）如何理解从组合体中能直接看到的地球表面的最远点？最远点？答：是视线与地球相切时的切点答：是视线与地球相切时的切点 新课讲解新课讲解（2）你能根据题意画出示意图吗？）你能根据题意画出示意图吗？答：如图，答：如图，FQ切切 O于点于点Q，FO交交 O于点于点P（3）如上图，最远点）如上图，最远点Q与与P点的距离是线段点的距离是线段PQ的长吗？的长吗？为什么？为什么？新课讲解新课讲解答：不是，地球是圆的，最远点答：不是，地球是圆的，
32、最远点Q与与P点的距离是点的距离是的长的长（4）上述问题实质是已知什么？要求什么？）上述问题实质是已知什么？要求什么？答：已知答：已知RtFOQ中的中的FO和和OQ，求，求FOQ，并进，并进而求而求 O中中 的长的长 新课讲解新课讲解 解：设解：设POQ=，在图中，在图中，FQ是是 O的切线，的切线，FOQ是直角三角形是直角三角形 ，的长为的长为 由此可知，当组合体在由此可知，当组合体在P点正上方时，从中观测地球表点正上方时，从中观测地球表面时的最远点距离面时的最远点距离P点约点约2 051 km 新课讲解新课讲解例例2 热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰热气球的探测器显示，从热气球
33、看一栋楼顶部的仰角为角为30，看这栋楼底部的俯角为，看这栋楼底部的俯角为60，热气球与楼的水，热气球与楼的水平距离为平距离为120 m，这栋楼有多高（结果取整数）？，这栋楼有多高（结果取整数）？新课讲解新课讲解如图，当我们进行测量时，在视线与水平线所成如图，当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角仰角，视线在水，视线在水平线下方的角叫做平线下方的角叫做俯角俯角 新课讲解新课讲解（1）如何根据题意画出示意图？）如何根据题意画出示意图？解：如下图解：如下图 新课讲解新课讲解（2）“热气球与楼的水平距离热气球与楼的水平距离”如何表示？如
34、何表示？答：过点答：过点A作作BC的垂线段的垂线段AD，则线段，则线段AD的长即为的长即为120 m（3）结合示意图，问题已知什么？要求什么？）结合示意图，问题已知什么？要求什么？答：已知答：已知=30，=60，AD=120 m，求，求BC的长的长（4）你能用不同方法解决这个问题吗？）你能用不同方法解决这个问题吗？答：方法答：方法1：利用正切先求出：利用正切先求出BD的长，再求的长，再求CD的长；的长；方法方法2：先求出：先求出AB，AC的长，再利用勾股定理求出的长，再利用勾股定理求出BC的长的长 新课讲解新课讲解（5）联系例）联系例1，例，例2在图形上有何变化？在图形上有何变化？答：答：例例
35、1中只有一个直角三角形，而例中只有一个直角三角形，而例2中有两个直中有两个直角三角形，且这两个直角三角形在公共的直角边的角三角形，且这两个直角三角形在公共的直角边的两侧两侧 新课讲解新课讲解 (m)解：解：如图，如图，=30，=60，AD=120 ，BD=ADtan=120tan30 ，CD=ADtan=120tan60 因此，这栋楼高约为因此，这栋楼高约为277 m 新课讲解新课讲解例例3 如图，一艘海轮位于灯塔如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东的北偏东65方向，距方向，距离灯塔离灯塔80 n mile的的A处，它沿正南方向航行一段时间处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔后，到达位于灯
36、塔P的南偏东的南偏东34方向上的方向上的B处这时，处这时，B处距离灯塔处距离灯塔P有多远（结果取整数）？有多远（结果取整数）？新课讲解新课讲解分析：分析：方向角通常是以南北方向线为主，一般习方向角通常是以南北方向线为主，一般习惯说成惯说成“南偏东（西）南偏东（西）”或或“北偏东（西）北偏东（西）”；观测；观测点不同，所得的方向角也不同点不同，所得的方向角也不同解：如图，在解：如图，在RtAPC中，中，PC=PAcos(90-65)=80cos2572.505 新课讲解新课讲解在在RtBPC中，中，B=34，因此，当海轮到达位于灯塔因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东的南偏东34方向时，方向时，它
37、距离灯塔它距离灯塔P大约大约130 n mile 新课讲解新课讲解例例4 如图，拦水坝的横断面为梯形如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度，斜面坡度i=11.5是指坡面的铅直高度是指坡面的铅直高度AF与水平宽度与水平宽度BF的比，的比，斜面坡度斜面坡度i=13是指是指DE与与CE的比根据图中数据，求：的比根据图中数据，求：（1）坡角）坡角和和的度数；的度数；（2）斜坡）斜坡AB的长（结果保留小数点后一位）的长（结果保留小数点后一位）新课讲解新课讲解如下图，如下图，BC表示水平面，表示水平面，AB表示坡面，我们把表示坡面，我们把水平面水平面BC与坡面与坡面AB所形成的所形成的ABC称为称为
38、坡角坡角一般地，线段一般地，线段BC的长度称为斜坡的长度称为斜坡AB的的水平宽度，线段水平宽度，线段AC的长度称为斜坡的长度称为斜坡AB的铅的铅直高度坡面的铅直高度直高度坡面的铅直高度h和水平宽度和水平宽度l的比的比叫做坡面的叫做坡面的坡度坡度（或坡比），用（或坡比），用i表示，记表示，记作作i=hl，坡度通常写成坡度通常写成hl的形式，坡面的形式，坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作与水平面的夹角叫做坡角，记作 新课讲解新课讲解于是于是 =tan显然，坡度越大，显然，坡度越大，越大越大注意：（注意：（1）坡度）坡度i不是坡角的度数，它是坡角不是坡角的度数，它是坡角的正的正切值，即切值，即i=ta
39、n；（2）坡度）坡度i也叫坡比，即也叫坡比，即，一般写成，一般写成1m的形式的形式 新课讲解新课讲解解：解：（1）由已知，得）由已知，得 ，故故334124，18266（2）在）在RtABF中，因为中，因为 ，所以所以 (m)新课讲解新课讲解1如图，某拦水坝的横断面为等腰梯形如图，某拦水坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝，坝顶宽顶宽BC为为6 m，坝高为，坝高为3.2 m，为了提高水坝的拦水，为了提高水坝的拦水能力，需要将水坝加高能力，需要将水坝加高2 m，并保持坝顶宽度不变，并保持坝顶宽度不变，但背水坡的坡度由原来的但背水坡的坡度由原来的1 2变成变成1 2.5（有关数据在（有关数据在图上已注
40、明），求加高后的坝底图上已注明），求加高后的坝底HD的长为多少？的长为多少？巩固练习巩固练习解：解：由题意，得由题意，得MN=EF=3.2+2=5.2，NF=6.在在RtHNM与与RtEFD中，中，MN HN=1 2.5，EF FD=1 2，HN=13，DF=10.4HD=HN+NF+FD=29.4因此加高后的坝底因此加高后的坝底HD的长为的长为29.4米米 巩固练习巩固练习2如图，某船向正东方向航行，在如图，某船向正东方向航行，在A处望见某岛处望见某岛C在在北偏东北偏东60方向，前进方向，前进6海里到海里到B点，测得该岛在北偏点，测得该岛在北偏东东30方向已知该岛周围方向已知该岛周围6海里内
41、有暗礁，若该船继海里内有暗礁，若该船继续向东航行，有无触礁危险？请说明理由（参考数续向东航行，有无触礁危险？请说明理由（参考数据：据：1.732）巩固练习巩固练习解：解：该船继续向东行驶，有触礁的危险该船继续向东行驶，有触礁的危险过点过点C作作CD垂直垂直AB的延长线于点的延长线于点D，CAB=30，CBD=60，BCD=30.设设CD的长为的长为x，则，则tanCBD=，BD=巩固练习巩固练习tanCAB=tan 30=，x=而而x5.26，继续向东行驶，有触礁的危险继续向东行驶，有触礁的危险 巩固练习巩固练习 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；直角三角形的问题）；（2）根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等解直角三）根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等解直角三角形；角形；（3）得到数学问题的答案；）得到数学问题的答案；（4）得到实际问题的答案）得到实际问题的答案课堂小结课堂小结