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1、第十六章 二次根式16.1 二根次式第1课时 二次根式的概念学习目标1.理解二次根式的概念.（重点）2.掌握二次根式有意义的条件.（重点）3.会利用二次根式的非负性解决相关问题.（难点）电视塔越高，从塔顶发射的电磁波传得越远，从而能收看到电视节目的区域越广，电视塔高h（单位：km）与电视节目信号的传播半径 r（单位：km）之间存在近似关系 ，其中地球半径R6 400 km如果两个电视塔的高分别是h1 km、h2 km，那么它们的传播半径之比是 .你能化简这个式子吗？式子 表示公式中 中的 表示什么意义？什么？创设情境提出问题 （1）中式子你是怎么得到？得到的两个式子有什么不同？问题：（1）面积
2、为3 的正方形的边长为_，面积为S 的正方形的边长为_ 创设情境提出问题 （2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130m2，则它的宽为_m（2）中得到的式子有什么意义？创设情境提出问题 （3）中当h 的值分别为0，10，15，20，25时，得到的结果分别是什么？表示的数怎样变化？t=问题：（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系 h=5t2，如果用含有h 的式子表示 t，则 _（1）这些式子分别表示什么意义？（2）这些式子有什么共同特征？这些式子的共同特征是：都表示一个非负数（包括字母或式子表示的非负数）的算术平方根 分别表示
3、3，S，65，的算术平方根 合作探究形成知识 上面问题中，得到的结果分别是：，合作探究形成知识 把形如 ，用来表示一个非负数的算术平方根的式子，叫做二次根式（3）根据你的理解，请写出二次根式的定义被开方数a0；根指数为2二次根式二次根式：一般地，我们把形如 （a0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号合作探究形成知识 初步应用巩固知识练习1指出下列哪些是二次根式？（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）二次根式都是非负数的算术平方根；带有根号的算术平方根是二次根式练习2二次根式和算术平方根有什么关系？初步应用巩固知识例1当x 是怎样的实数时，在实数范围内有意义？初步应用巩固知识2-x当x
4、2时，在实数范围内有意义解：要使 在实数范围有意义，必须x-20，x22-x2-x例2当x 是怎样的实数时，在实数范围内有意义？呢？初步应用巩固知识（1）；（2）；（3）解：（1）由a+10，得a-1；（2）由1-2a0，得a 0 B.a0 C.a0 D.a=02.下列各式中下列各式中，是二次根式的有，是二次根式的有_.144-220m+3ab2+a21521b-、.C15b2+a2、220m+、3.a取什么实数时，下列各式有意义？取什么实数时，下列各式有意义？;2)1(+a;)2(2a.1)3(aa2a为任意实数为任意实数a0知识回顾知识回顾420 是2的算术平方根，根据算术平方根的意义，是
5、一个平方等于2的非负数.因此 .同理，分别是0,4，的算术平方根，即得上面的等式.归纳总结 的性质：一般地，a (a 0).即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.注意：不要忽略a0这一限制条件.这是使二次根式 有意义的前提条件.例1 计算：解：(2)可以用到幂的哪条基本性质呢？积的乘方：（ab）2=a2b2把得到的结论推广到一般，并用含字母的二次根把得到的结论推广到一般，并用含字母的二次根式表示式表示：（a0）探究探究2填空，你能说说这样做的依据吗填空，你能说说这样做的依据吗？_；_；_；_0 2 0.1即任意一个非负数的平方的算术平方根等于它本身.平方运算算术平方根 -2 -0.1 .2
6、 .观察两者有什么关系？a(a0)思考：当a0时，=？-a归纳总结a(a0)-a(a0)即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.的性质：例3 化简：解：，而3.14，要注意a的正负性.注意（7）；（8）（1）；（；（2）；（；（3）；（4）；（；（5）；（；（6）；练习化简练习化简：归纳概念归纳概念（1）含有表示数的字母；）含有表示数的字母；（2）用基本运算符号连接数或表示数的字母）用基本运算符号连接数或表示数的字母用基本运算符号把数或表示数的字母连接起来得到的式子叫代数式用基本运算符号把数或表示数的字母连接起来得到的式子叫代数式 （a0），问题问题3回顾我们学过的式子，如回顾我们学
7、过的式子，如这些式子有哪些共同这些式子有哪些共同特征？特征？议一议：如何区别 与？从运算顺序看从取值范围看从运算结果看先开方,后平方先平方，后开方a0a取任何实数a|a|意义表示一个非负数a的算术平方根的平方表示一个实数a的平方的算术平方根1.在下列各式中，不是代数式的是（）A.7 B.32 C.DB练一练2.如图是一圆形挂钟，正面面积为S，用代数式表示出钟的半径为_.方法总结：单个的数字或字母也是代数式，代数式中不能含有“=”“”或“”等.3.化简：（1）;（2）;（3）;（4）.37481-1012a4.实数a在数轴上的位置如图所示，化简的结果是 .15、在实数范围内分解因式：解：本题逆用
8、了 在实数范围内分解因式.在实数范围内分解因式时，原来在有理数范围内分解因式的方法和公式仍然适用.6、已知a、b、c是ABC的三边长，化简：解：a、b、c是ABC的三边长，a+bc，b+ca，b+ac，原式=|a+b+c|-|b+c-a|+|c-b-a|=a+b+c-（b+c-a）+（b+a-c）=a+b+c-b-c+a+b+a-c =3a+b-c分析：利用三角形三边关系三边长均为正数，a+bc两边之和大于第三边，b+c-a0，c-b-a0课堂小结（1）你知道了二次根式的哪些性质？）你知道了二次根式的哪些性质？（2）运用二次根式性质进行化简需要注意什么？）运用二次根式性质进行化简需要注意什么？
9、（3）请谈谈发现二次根式性质的思考过程？）请谈谈发现二次根式性质的思考过程？（4）想一想，到现在为止，你学习了哪几类字母表）想一想，到现在为止，你学习了哪几类字母表 示数得到的式子？说说你对代数式的认识示数得到的式子？说说你对代数式的认识16.2 16.2 二次根式的乘除二次根式的乘除（第（第1 1课时）课时）复习复习1.什么叫二次根式？式子 叫做二次根式.2.二次根式的基本性质:二次根式的双重非负性：由算术平方根的意义可知，都是实数.当 取某个非负数值时，就是这个非负数的算术平方根，也是一个实数.既然是实数，就应该可进行四则运算，那么其运算满足怎样的运算法则？如何进行二次根式的加、减、乘、除
10、运算？就是我们要讨论的问题.探究探究计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？（1）=，=；（2）=，=；（3）=，=.6 6 20 20 30 30 二次根式的乘法法则是即：两个非负数的算术平方根的积等于这两个数积的算术平方根.求证：证明：根据积的乘方法则，有就是ab算术平方根.又 表示ab算术平方根，.证一证一般地，对于二次根式的乘法是语言表述：算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.二次根式的乘法法则:二次根式相乘，_不变，_相乘.根指数被开方数归纳总结注意：a,b都必须是非负数.应用（1 1）例1 计算：（1）；（2）.解：（1）=；（2）=3.思考二次根式的乘法法则反过来，
11、就得到例2 化简：.（2）.（1）；解：（1）；（2）.这样运算的作用：化简二次根式 可以看作公式 在 时的特殊情形 应用（2 2）例3 计算：（1）；（2）；（3）.；解：（1）二次根式相乘，被开方数的积中有开得尽方的要移出根号外.应用（2 2）（3）.本章中二次根式相乘时，如没有特别说明，所有的字母都表示正数.（2）；含系数的二次根式相乘，将系数相乘作为积的系数，被开方数相乘作为积的被开方数.1.化简：化简：2.化简化简:（1）（2）（3）（4）3.已知一个矩形的长和宽分别是已知一个矩形的长和宽分别是 ，求这个矩形的面积。，求这个矩形的面积。练习练习（1）；（2）4.化简：解：（1）（2）
12、当二次根式内的因数或因式可以化成含平方差或完全平方的积的形式，此时运用乘法公式可以简化运算.5.计算：解：易错提醒：中，a,b必须是非负数.例3 比较大小(一题多解):解：(1)方法一：，又2027，即 .方法二：，又2027，即 .解：(2)，又5254，,即 比较两个二次根式大小的方法：可转化为比较两个被开方数的大小，即将根号外的正数平方后移到根号内，计算出被开方数后，再比较被开方数的大小被开方数大的，其算术平方根也大.也可以采用平方法.归纳两个负数比较大小，绝对值大的反而小课堂小结一、本节课的主要内容是什么？（一）二次根式的乘法法则：.（二）积的算术平方根的性质：.（三）化简二次根式的步
13、骤：1.将被开方数尽可能分解成完全平方数.移出根号外.2.平方项用公式.3.应用公式课堂小结二、运用二次根式的乘法法则的关键问题是什么？三、本节课涉及的思想方法有哪些？16.2 16.2 二次根式的乘除二次根式的乘除（第（第2 2课时）课时）复习提问1.二次根式的乘法法则：即：两个非负数算术平方根的积等于这两个数积的算术平方根.乘法法则是如何得出的？除法有没有类似的法则？2.乘法公式的逆用：有何作用？即：积的算术平方根等于各因式的算术平方根的积.探究（1 1）计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？（1）=，=；（2）=；=，=，（3）=.探究（1 1）二次根式的除法法则是：.即：商的算
14、术平方根等于算术平方根的商.二次根式的除法法则是类比乘法法则，采用由特殊到一般的方法归纳得出的.应用（1 1）例1 计算：（1）；.（2）；解：（1）.（2）运算结果中应不含能开得尽方的因数或因式.探究（2 2）把二次根式的除法法则反过来，就得到：，利用它可以进行二次根式的化简.例2 化简：（1）；（2）.（1）；解：.（2）应用（2 2）例3 计算：（1）；（2）.（3）.解：（1）解法1：.解法2：先用除法法则运算，再用性质 去掉分母中的根号利用分式的基本性质和公式 去掉分母中的根号 应用（2 2）（2）.（3）利用第（1）题中解法2的方法去掉分母中的根号.二次根式的运算中，最后结果分母一
15、般不含二次根式.最简二次根式上述几个例题中运算的最后结果，都有如下两个特点：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式最简二次根式.说明：二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式.应用 例5 设长方形的面积为S，相邻两边长分别为a，b.已知S=，b=，求a.解：因为S=ab，所以.注意本题中去掉分母中的根号的方法，是否还有其他方法呢？应用应用 那么它们例6 如果两个电视塔的高分别是h1km，h2km，的传播半径之比是.那么它们例6 如果两个电视塔的高分别是h1km，h2km，的传播半径之比是
16、.试化简该式.利用除法法则，分式的性质和二次根式的性质对代数式进行化简，从结果来看，这个比与地球半径无关，简化了解决问题的步骤.练习练习1.化简 的结果是（）A9 B3 C D B2.下列根式中，最简二次根式是（）A.B.C.D.C3.若使等式 成立，则实数k取值范围是 （）BA.k1 B.k2 C.1k2 D.1k2 4.下列各式的计算中，结果为 的是（）A.B.C.D.C应用（2 2）5、计算：（1）；（2）.被开方数为带分数的先化为假分数再进行运算解：（1）.应用（2 2）（2）.如果根号前有系数，就把系数相除，作为商的系数.6、7、课堂小结一、本节课的主要内容是什么？二、运用二次根式的
17、除法法则的关键问题是什么？四、本节课涉及的思想方法有哪些？三、学习最简二次根式有何意义？第十六章 二次根式16.3 二根次式的加减第1课时 二次根式的加减 二次根式计算、化简的结果二次根式计算、化简的结果符合什么要求？符合什么要求？（1）被开方数不含分母；被开方数不含分母；分母不含根号；分母不含根号；（2）被开方数中不含能开得尽被开方数中不含能开得尽 方的因数或因式方的因数或因式.下列根式中，哪些是最简二次根式？下列根式中，哪些是最简二次根式？复习回顾复习回顾思考 现有一块长7.5dm、宽5dm的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两个分别是8dm2和18dm2的正方形木板？7.5dm5
18、dm问题1 怎样列式求两个正方形边长的和?S=8dm2S=18dm2问题2 所列算式能直接进行加减运算吗?如果不能,把式中各个二次根式化成最简二次根式后，再试一试(说出每步运算的依据）.（化成最简二次根式）（逆用分配律）在这块木板上可以截出两个分别是8dm2和18dm2的正方形木板解：列式如下：在有理数范围内成立的运算律，在实数范围内仍然成立.归纳总结二次根式的加减法法则:一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.(1)化将非最简二次根式的二次根式化简；加减法的运算步骤：(2)找找出被开方数相同的二次根式；(3)并把被开方数相同的二次根式合并
19、.“一化简二判断三合并”化为最简二次根式 用分配律合并 整式加减 二次根式性质 分配律 整式加 减法则依据：二次根式的性质、分配律和整式加减法则.基本思想：把二次根式加减问题转化为整式加减问题 典例精析例2 计算:解：例3 计算:解：有括号，先去括号练习1.二次根式：中，与 能进行合并的是 （）A.B.C.D.2.下列运算中错误的是 （）A.B.C.D.AC3.3.计算计算（1 1）（2 2）（3 3）（4 4）（5 5）（6 6）1.填空填空（1）.（2）.（3）.（4）.测试2.下列二次根式能与合并的是（下列二次根式能与合并的是（）A.与与 B.与与 C.与与 D.与与3.计算计算（1）（
20、2）（3）（4）思考思考1.1.二次根式加减运算的一般步骤与依据是什么？二次根式加减运算的一般步骤与依据是什么？2 2在二次根式加减运算中，有哪些地方易错？在二次根式加减运算中，有哪些地方易错？课堂小结课堂小结二次根式加减法则注意运算顺序运算原理 一般地，二次根式的加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.运算律仍然适用与实数的运算顺序一样第十六章 二次根式16.3 二根次式的加减第2课时 二次根式的加减问题1 单项式与多项式、多项式与多项式的乘法法则法则分别是什么?问题2 多项式与单项式的除法法则是什么?m(a+b+c)=ma+mb+mc；(m+n)(a+
21、b)=ma+mb+na+nb复习引入(ma+mb+mc)m=a+b+c分配律 单多 转化 前面两个问题的思路是：思考 若把字母a,b,c,m都用二次根式代替(每个同学任选一组)，然后对比归纳，你们发现了什么？单单 二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样，体现在：运算律、运算顺序、乘法法则仍然适用.例1 计算：解：二次根式的混合运算，先要弄清运算种类，再确定运算顺序：先乘除，再加减，有括号的要算括号内的，最后按照二次根式的相应的运算法则进行.归纳解：此处类比“多项式多项式”即(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab.例2 计算：解：解：进行二次根式的混合运算时，一般先将二次根式转化
22、为最简二次根式，再根据题目的特点确定合适的运算方法，同时要灵活运用乘法公式，因式分解等来简化运算.归纳 计算：练一练先用乘法交换律，再用乘法公式化简.例3 已知 试求x2+2xy+y2的值.解：x2+2xy+y2=（x+y)2把 代入上式得原式=例4 计算:解:分母形如 的式子，分子、分母同乘以 的式子，构成平方差公式，可以使分母不含根号.归纳整式的运算法则和乘法公式中的字母意义非常整式的运算法则和乘法公式中的字母意义非常广泛，可以是单项式、多项式，也可以代表二次根广泛，可以是单项式、多项式，也可以代表二次根式，所以整式的运算法则和乘法公式适用于二次根式，所以整式的运算法则和乘法公式适用于二次
23、根式的运算式的运算.填空（填空（1）=.（2）=；=；（3）=.（4）=.（5）=.测试：阅读下列材料，然后回答问题：在进行类似于二次根式 的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简：方法一：方法二：能力提升：(1)请用两种不同的方法化简：(2)化简：解：(1)课堂小结课堂小结二次根式混合运算乘法公式化简求值分 母 有 理 化化简已知条件和所求代数式 (a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab小结与复习第十六章 二次根式二次根式二次根式 我们将数的范围扩大到实数的同时，代数式中也就随之引我
24、们将数的范围扩大到实数的同时，代数式中也就随之引进了根式根式的研究使我们初步了解了无理数的性质，数与进了根式根式的研究使我们初步了解了无理数的性质，数与式相辅相成，相互促进，体现了代数知识紧密的联系性，因此，式相辅相成，相互促进，体现了代数知识紧密的联系性，因此，根式问题不但是初中阶段常规试题和竞赛试题的重点和难点之根式问题不但是初中阶段常规试题和竞赛试题的重点和难点之一，同时，对高中乃至更深层的数学学习都有深远的意义一，同时，对高中乃至更深层的数学学习都有深远的意义知识点归纳知识点归纳 知识点归纳知识点归纳 典题精讲典题精讲二次根式的意义二次根式的意义 典题精讲典题精讲实数的大小比较实数的大
25、小比较数的大小比较秘决数的大小比较秘决：1、正数零负数；对于两个负数，绝对值大的反而小，、正数零负数；对于两个负数，绝对值大的反而小，这是比较法则这是比较法则2、大小比较的常用方法：、大小比较的常用方法：作差法；作差法；倒数法；倒数法；作比法作比法典题精讲典题精讲实数的大小比较实数的大小比较分析：尝试直接比较或作差比较，难以实现因此可考虑倒数法分析：尝试直接比较或作差比较，难以实现因此可考虑倒数法典题精讲典题精讲实数的大小比较实数的大小比较分析：尝试直接比较或作差比较，难以实现因此可考虑倒数法分析：尝试直接比较或作差比较，难以实现因此可考虑倒数法A A典题精讲典题精讲实数的大小比较实数的大小比
26、较计算：解：典题精讲典题精讲二次根式的运算及应用二次根式的运算及应用二次根式的化简与求值 有条件的二次根式的化简与求值问题是代数式变形的重有条件的二次根式的化简与求值问题是代数式变形的重点，也是难点，这类内容包括了整式，分式，二次根式等众点，也是难点，这类内容包括了整式，分式，二次根式等众多知识，且往往联系着分解变形、整体代换等重要的数学思多知识，且往往联系着分解变形、整体代换等重要的数学思想方法，其解题的基本思路：想方法，其解题的基本思路：1直接代入直接代入：直接将已知条件代入到待化简求值的式子中；：直接将已知条件代入到待化简求值的式子中；2变形代入变形代入：适当的条件，适当的结论，同时变形
27、条件与：适当的条件，适当的结论，同时变形条件与结论，再代入求值结论，再代入求值二次根式的化简与求值 二次根式的化简与求值 二次根式的化简与求值 对一些有关二次根式的代数式求值问题，我们不能孤立地看待已知与已知、已知与对一些有关二次根式的代数式求值问题，我们不能孤立地看待已知与已知、已知与未知，而应从整体的角度去分析已知与已知、已知与未知的关系，然后采取相应的措施，未知，而应从整体的角度去分析已知与已知、已知与未知的关系，然后采取相应的措施，如做一些必要的运算变形、恒等变形、整体代入求值等如做一些必要的运算变形、恒等变形、整体代入求值等二次根式的化简与求值 二次根式的化简与求值 构造方程与方程组
28、【点评点评】复合二次根式的化简，一般是将二次根式中的被开方数配成完全平方式，然复合二次根式的化简，一般是将二次根式中的被开方数配成完全平方式，然后再求解的方法，这也叫用配方法配方时有时需要通过几次拼凑方可达到目的后再求解的方法，这也叫用配方法配方时有时需要通过几次拼凑方可达到目的 配方法主要用来解竞赛中经常出现的复合二次根式的化简问题和需要用完全平方配方法主要用来解竞赛中经常出现的复合二次根式的化简问题和需要用完全平方公式解决的问题公式解决的问题复合二次根式的化简二次根式中的数学方法二次根式中的数学方法 数学方法是数学的灵魂，只有掌握了数学思想方法，才能真数学方法是数学的灵魂，只有掌握了数学思
29、想方法，才能真正地学好数学知识，将知识转化为能力。初中数学竞赛中渗透正地学好数学知识，将知识转化为能力。初中数学竞赛中渗透了不少数学思想方法，下面本章的有关赛题为例，说明数学竞了不少数学思想方法，下面本章的有关赛题为例，说明数学竞赛中常用的数学方法。赛中常用的数学方法。换元法是一种重要的数学方法，它在解题中有着广泛的应用换元法是一种重要的数学方法，它在解题中有着广泛的应用对于一些复杂的根式运算，通过换元，将其转化为有理式的运算，可以使得运算简便对于一些复杂的根式运算，通过换元，将其转化为有理式的运算，可以使得运算简便例例1 二次根式中的数学方法二次根式中的数学方法一换元法一换元法点评：点评：本
30、例运用换元法变形整理，换元的主要目的是本例运用换元法变形整理，换元的主要目的是化繁为简，化无理式化繁为简，化无理式为有理式为有理式，再求代数式的值，再求代数式的值二次根式中的数学方法二次根式中的数学方法一换元法一换元法二次根式中的数学方法二次根式中的数学方法一换元法一换元法分母有理化分母有理化 二次根式运算经常涉及到分母有理化其基本方法为二次根式运算经常涉及到分母有理化其基本方法为“分分子、分母同乘以分母的有理化因式子、分母同乘以分母的有理化因式”其实分母有理化还有其其实分母有理化还有其它方法，下面以部分赛题为，针对题目的特征，介绍几种分母它方法，下面以部分赛题为，针对题目的特征，介绍几种分母有理化妙招，以开拓思路，提高大家的数学素质有理化妙招，以开拓思路，提高大家的数学素质 分母有理化分母有理化：分母有理化分母有理化一巧用因式分解法一巧用因式分解法分母有理化分母有理化