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1、1.3.1 二项式定理(1)1.在在n=1,2,3时，写出并研究时，写出并研究(a+b)n的展开式的展开式.(a+b)1=,(a+b)2=,(a+b)3=,a+ba2+2ab+b2a3+3a2b+3ab2+b3结合左边的次数分析：结合左边的次数分析：展开式中的项数、次数展开式中的项数、次数(a、b各自次数）各自次数）每一项的系数规律每一项的系数规律提出问题提出问题：次数:各项的次数等于二项式的次数项数:次数+1(a+b)2(a+b)(a+b)展开后其项的形式为：a2，ab，b2 这三项的系数为各项在展开式中出现的次数。考虑b对对(a+b)(a+b)2 2展开式的分析展开式的分析每个都不取b的情
2、况有1种，即 ,则a2前的系数为恰有1个取b的情况有 种，则ab前的系数为恰有2个取b的情况有 种，则b2前的系数为(a+b)2 =a2+2ab+b2 a2+ab+b2(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+a2b+ab2+b32.在在n=4时，猜测时，猜测(a+b)的展开式的展开式.4(a+b)4(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)？问题：1)(a+b)4展开后各项形式分别是什么？2)各项前的系数代表着什么？3)你能分析说明各项前的系数吗？a4 a3b a2b2 ab3 b4各项前的系数 代表着这些项在展开式中出现的次数3)你能分析说明各项前的系数吗？a4 a3b a2b2
3、ab3 b4每个都不取b的情况有1种，即 则a4前的系数为恰有1个取b的情况有 种，则a3b前的系数为恰有2个取b的情况有 种，则a2b2前的系数为恰有3个取b的情况有 种，则ab3前的系数为恰有4个取b的情况有 种，则b4前的系数为则(a+b)4 a4 a3b a2b2 ab3 b4一一二二三三四四问题：问题：4个容器中有相同的红、黑玻璃个容器中有相同的红、黑玻璃球各一个，从每个容器中取一个球，球各一个，从每个容器中取一个球，有多少不同的结果？有多少不同的结果？4个红球个红球0个黑球个黑球3个红球个红球1个黑球个黑球2个红球个红球2个黑球个黑球1个红球个红球3个黑球个黑球0个红球个红球4个黑
4、球个黑球C40C41C42C43C44一一二二三三四四a4 a3b a2b2 ab3 b4都都不不取取b取取一一个个b 取取两两个个b 取取三三个个b 取取四四个个b 项项系数系数C40C41C42C43C44(a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)4=C4a4+C4a3b+C4a2b2+C4ab3+C4b401234结果：结果：发现规律：发现规律：对于对于(a+b)n=的展开式中的展开式中an-rbr的系数是在的系数是在n个括号中，恰有个括号中，恰有r个个括号中取括号中取b(其余括号中取其余括号中取a)的组合数的组合数 .那么，那么，我们能不能写出我们能不能写出(a+
5、b)n的展开式？的展开式？将将(a+b)n展开展开的结果的结果又又是是怎怎样样呢？呢？归纳提高归纳提高(a+b)n=一般地，对于n N*有二项式定理 这个公式表示的定理叫做这个公式表示的定理叫做二项式定理二项式定理，公式，公式右边的多项式叫做右边的多项式叫做(a+b)n的的 ，其中其中 （r=0,1,2,n）叫做）叫做 ，叫做二项展开式的叫做二项展开式的通项通项，用，用 Tr+1 表示，该项是指展开式的第表示，该项是指展开式的第 项，展开式共有项，展开式共有_个项个项.展开式展开式二项式系数二项式系数r+1n+12.系数规律：系数规律：3.指数规律：指数规律：（1）各项的次数均为各项的次数均为
6、n；（2）字母字母a按降幂排列按降幂排列,次数由次数由n递减到递减到0 字母字母b按升幂排列按升幂排列,次数由次数由0递增到递增到n1.项数规律：项数规律：展开式共有展开式共有n+1个项个项二项式定理二项式定理 二项式定理二项式定理 4.二项式系数可写成组合数的形式二项式系数可写成组合数的形式,组合数的下标组合数的下标为二项式的次数为二项式的次数,组合数的上标由组合数的上标由0 0递增到递增到n n5.展开式中的第展开式中的第 r+1 r+1 项，即通项项，即通项 T Tr+1r+1=_=_；6.二项式系数为二项式系数为 _；项的系数为项的系数为 二项式系数与数字系数的积二项式系数与数字系数的
7、积课堂练习特别地特别地:1、把、把b用用-b代替代替 (a-b)n=Cnan-Cnan-1b+(-1)rCnan-rbr +(-1)nCnbn01rn对定理的再认识2、令、令a=1，b=x3、在上式中，令 x=1，则有：解解:（1）例例1.用二项式定理展开下列各式：用二项式定理展开下列各式：例2、求（x+a)12的展开式中的倒数第4项解:解:第四项系数为280.例例4.求近似值（精确到求近似值（精确到0.001）（1）(1.002)6；（；（2）(0.997)3（3）今天星期三，再过）今天星期三，再过22001天是星期几？天是星期几？分析：（分析：（1）(1.002)6=（1+0.002)6
8、（2）(0.997)3=(1-0.003)3 （3）22001=（7+1）667类似这样的近似计算转化为二项式定理求展开式，按精确度展开到一定项.例5 求 展开式中的有理项解:令原式的有理项为:112x例7 计算并求值解(1):将原式变形例7 计算并求值解:(2)原式例8:求 的展开式中 项的系数.解的通项是的通项是的通项是由题意知解得所以 的系数为:注意：对于较为复杂的二项式与二项式乘积利用两个通项之积比较方便运算例例9 9192除以除以100的余数是的余数是由此可见，除后两项外均能被由此可见，除后两项外均能被100整除整除所以 9192除以100的余数是81整除性问题，余数问题，主要根据二
9、项式定理的特点，进行添项或减项，凑成能整除的结构，展开后观察前几项或后几项,再分析整除性或余数。这是解此类问题的最常用技巧。余数要为正整数，1、已知、已知 的展开式中的展开式中x3的系数的系数 为为 ，则常数，则常数a的值是的值是_ 2、在、在(1-x3)(1+x)10的展开式中的展开式中x5的系数是（）的系数是（）A.-297 B.-252 C.297 D.2073、(x+y+z)9中含中含x4y2z3的项的系数是的项的系数是_课堂练习4 4、已知、已知(1+)n展开式中含展开式中含x x-2-2的项的系数为的项的系数为1212，求，求n.n.5 5、已知（、已知（10+x10+xlgxlg
10、x）5 5的展开式中第的展开式中第4 4项为项为10106 6，求，求x x的值的值.6、若 展开式中前三项系数成等差 数列，求（1）展开式中含x的一次幂的项；（2）展开式中所有x 的有理项；1.3.1 二项式定理(2)1.二项式定理：2.通项规律：3.二项式系数：第(r+1)项 运用二项式定理可以在头脑里迅速地展开一些式子,从而能解决些问题.这节课我们来做一些练习.4.特殊地：注:项的系数与二项式系数是两个不同的概念令以x=1得已知求:(1)；(2)；(3);(4)（一）赋值法的应用:分析:取通项来分析,常数项即常数项即 项项.（二）求特定项:解：根据二项式定理，取a3x2，b的通项公式是的
11、展开式中第9项为常数项。由题意可知，由题意可知，故存在常数项且为第故存在常数项且为第9项，项，常数项常数项常数项即常数项即 项项.求求(x 2)10（x 21）展开式中含）展开式中含 x 10 项项的系数为的系数为.(高考题高考题)179能力训练能力训练5:在在(x2+3x+2)5 的展开式中的展开式中,x的系数为多少的系数为多少？240能力训练5:(x2+3x+2)5展开式中x的系数为_.方法1 (x2+3x+2)5=(x2+2)+3x5 方法2 (x2+3x+2)5=x(x+3)+25 方法3 (x2+3x+2)5=x2+(3x+2)5 方法4 (x2+3x+2)5=(x+1)5(x+2)
12、5，.妙妙!(5)二项式定理简单应用二项式定理简单应用.(1)二项式定理：二项式定理：(2)二项展开式的通项二项展开式的通项:(注意，它是注意，它是第第k+1项项)(3)(3)区别区别二项式系数二项式系数，项的系数项的系数(4)(4)掌握用掌握用通项公式通项公式求二项式系数，项的系数及项求二项式系数，项的系数及项2.求求(1+x+x2)(1x)10展开式中含展开式中含 x 项的系数项的系数3.求(1+x)+(1+x)2+(1+x)10展开式中x3的系数4.9192除以除以100的余数是的余数是.5.若若(x+1)n=x n+ax3+bx2+1(nN*)，且且 a:b=3:1，那么，那么 n=_
13、（95上海高考）上海高考）4.9192除以除以100的余数是的余数是由此可见，除后两项外均能被由此可见，除后两项外均能被100整除整除所以所以 9192除以除以100的余数是的余数是815.若若(x+1)n=x n+ax3+bx2+1（nN*），），且且 a:b=3:1，那么，那么 n=_6.6.试判断在试判断在 的展开式中有的展开式中有无常数项？如果有，求出此常数项；如果无常数项？如果有，求出此常数项；如果没有，说明理由没有，说明理由.解：设展开式中的第解：设展开式中的第r+1项为常数项，则：项为常数项，则：由题意可知，由题意可知，故存在常数项且为第故存在常数项且为第7项，项，常数项常数项常数项即常数项即 项项.