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1、第第8 8章章 相量法相量法 复数复数8.1正弦量正弦量8.2相量法的基础相量法的基础8.3电路定律的相量形式电路定律的相量形式8.4首首 页页本章重点本章重点2.2.正弦量的相量表示正弦量的相量表示3.3.电路定理的相量形式电路定理的相量形式l 重点：重点：1.1.正弦量的表示、相位差正弦量的表示、相位差返 回1.1.复数的表示形式复数的表示形式FbReImao|F|下 页上 页代数式代数式指数式指数式极坐标式极坐标式三角函数式三角函数式8.1 8.1 复数复数返 回几种表示法的关系：几种表示法的关系：或或2.2.复数运算复数运算加减运算加减运算 采用代数式采用代数式下 页上 页FbReIm
2、ao|F|返 回则则 F1F2=(a1a2)+j(b1b2)若若 F1=a1+jb1，F2=a2+jb2图解法图解法下 页上 页F1F2ReImoF1+F2-F2F1ReImoF1-F2F1+F2F2返 回乘除运算乘除运算 采用极坐标式采用极坐标式若若 F1=|F1|1 ，F2=|F2|2则则:下 页上 页模相乘模相乘角相加角相加模相除模相除角相减角相减返 回例例1 解解下 页上 页例例2解解返 回旋转因子旋转因子复数复数 ej=cos+jsin =1F ejFReIm0F ej下 页上 页旋转因子旋转因子返 回 +j,j,-1 都可以看成旋转因子。都可以看成旋转因子。特殊特殊旋转因子旋转因子
3、ReIm0下 页上 页注意返 回8.2 8.2 正弦量正弦量1.1.正弦量正弦量l瞬时值表达式瞬时值表达式i(t)=Imcos(t+)ti0Tl周期周期T 和频率和频率f频率频率f：每秒重复变化的次数。：每秒重复变化的次数。周期周期T：重复变化一次所需的时间。：重复变化一次所需的时间。单位：赫单位：赫(兹兹)Hz单位：秒单位：秒s正弦量为周期函数正弦量为周期函数 f(t)=f(t+kT)下 页上 页波形波形返 回l正弦电流电路正弦电流电路 激励和响应均为同频率的正弦量的线性电路激励和响应均为同频率的正弦量的线性电路（正弦稳态电路）称为正弦电路或交流电路。（正弦稳态电路）称为正弦电路或交流电路。
4、1.1.正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域占有十分重要的地位。占有十分重要的地位。l研究正弦电路的意义研究正弦电路的意义正弦函数是周期函数，其加、减、求导、正弦函数是周期函数，其加、减、求导、积分运算后仍是同频率的正弦函数；积分运算后仍是同频率的正弦函数；正弦信号容易产生、传送和使用。正弦信号容易产生、传送和使用。下 页上 页优点返 回2.2.正弦信号是一种基本信号，任何非正弦周期信正弦信号是一种基本信号，任何非正弦周期信号可以分解为按正弦规律变化的分量。号可以分解为按正弦规律变化的分量。对正弦电路的分析研究具有重要的理对正弦电路的分析研究具有重要的理论价
5、值和实际意义。论价值和实际意义。下 页上 页结论返 回(1)(1)幅值幅值 (振幅、最大值振幅、最大值)Im(2)(2)角频率角频率2.2.正弦量的三要素正弦量的三要素(3)(3)初相位初相位单位：单位：rad/s ，弧度弧度/秒秒反映正弦量变化幅度的大小。反映正弦量变化幅度的大小。相位变化的速度，反映正弦量变化快慢。相位变化的速度，反映正弦量变化快慢。反映正弦量的计时起点，常用角度表示。反映正弦量的计时起点，常用角度表示。i(t)=Imcos(t+)下 页上 页返 回同同一一个个正正弦弦量量，计计时时起起点点不不同同，初初相相位不同。位不同。一般规定一般规定：|。=0=/2=/2下 页上 页
6、iot注意返 回例例已知正弦电流波形如图，已知正弦电流波形如图，103rad/s，1.1.写出写出 i(t)表达式；表达式；2.2.求最大值发生的时间求最大值发生的时间t1 1tio10050t1解解由于最大值发生在计时起点右侧由于最大值发生在计时起点右侧下 页上 页返 回3.3.同频率正弦量的相位差同频率正弦量的相位差设设 u(t)=Umcos(t+u),i(t)=Imcos(t+i)相位差相位差：=(t+u)-(t+i)=u-i规定规定：|(180)下 页上 页等于初相位之差等于初相位之差返 回l 0，u超超前前i 角角，或或i 滞滞后后 u 角角,(u 比比 i 先到达最大值先到达最大值
7、)；l 0，i 超前超前 u 角，或角，或u 滞后滞后 i 角角,i 比比 u 先先 到达最大值）。到达最大值）。下 页上 页返 回 tu,iu iuio 0，同相同相 =(180o)，反反相相特殊相位关系特殊相位关系 tu io tu ioj=/2：u 领先领先 i/2 tu io同样可比较两个电压或两个电流的相位差。同样可比较两个电压或两个电流的相位差。下 页上 页返 回例例计算下列两正弦量的相位差。计算下列两正弦量的相位差。下 页上 页解解不能比较相位差不能比较相位差两个正弦量两个正弦量进行相位比进行相位比较时应满足较时应满足同频率、同同频率、同函数、同符函数、同符号，且在主号，且在主值
8、范围比较。值范围比较。结论返 回4.4.周期性电流、电压的有效值周期性电流、电压的有效值 周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其平均效果工程上采用有效值来表示。了衡量其平均效果工程上采用有效值来表示。l周期电流、电压有效值定义周期电流、电压有效值定义R直流直流IR交流交流 i物物理理意意义义下 页上 页返 回下 页上 页均方根值均方根值定义电压有效值：定义电压有效值：l 正弦电流、电压的有效值正弦电流、电压的有效值设设 i(t)=Imcos(t+)返 回下 页上 页返 回同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系
9、：若交流电压有效值为若交流电压有效值为 U=220V，U=380V 其最大值为其最大值为 Um311V Um537V下 页上 页注意工工程程上上说说的的正正弦弦电电压压、电电流流一一般般指指有有效效值值，如如设设备备铭铭牌牌额额定定值值、电电网网的的电电压压等等级级等等。但但绝绝缘缘水水平平、耐耐压压值值指指的的是是最最大大值值。因因此此，在在考考虑虑电电器器设设备备的的耐耐压水平时应按最大值考虑。压水平时应按最大值考虑。返 回测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读数一般为有效值。数一般为有效值。区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符区分电压、电流的瞬
10、时值、最大值、有效值的符号。号。下 页上 页返 回8.3 8.3 相量法的基础相量法的基础1.1.问题的提出问题的提出电路方程是微分方程：电路方程是微分方程：两个正弦量的相加：如两个正弦量的相加：如KCL、KVL方程运算：方程运算：下 页上 页RLC+-uCiLu+-返 回i1i1+i2 i3i2角频率角频率 同同频频的的正正弦弦量量相相加加仍仍得得到到同同频频的的正正弦弦量量，所以，只需确定初相位和有效值。因此采用所以，只需确定初相位和有效值。因此采用正弦量正弦量复数复数下 页上 页I1I2I3有效值有效值 1 2 3初相位初相位变换的思想变换的思想 tu,ii1 i2oi3结论返 回造一个
11、复函数造一个复函数对对 F(t)取实部取实部 任任意意一一个个正正弦弦时时间间函函数数都都有唯一与其对应的复数函数。有唯一与其对应的复数函数。无物理意义无物理意义是一个正弦量是一个正弦量 有物理意义有物理意义3.3.正弦量的相量表示正弦量的相量表示下 页上 页结论返 回F(t)包含了三要素包含了三要素：I、，复常数包含了两个要素：复常数包含了两个要素：I,。F(t)还可以写成还可以写成复常数复常数下 页上 页正弦量对正弦量对应的相量应的相量相量的模表示正弦量的有效值相量的模表示正弦量的有效值相量的幅角表示正弦量的初相位相量的幅角表示正弦量的初相位注意返 回同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：
12、同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：已知已知例例1 1试用相量表示试用相量表示i,u.解解下 页上 页例例2试写出电流的瞬时值表达式。试写出电流的瞬时值表达式。解解返 回在复平面上用向量表示相量的图在复平面上用向量表示相量的图l 相量图相量图下 页上 页q+1+j返 回4.4.相量法的应用相量法的应用同频率正弦量的加减同频率正弦量的加减相量关系为：相量关系为：下 页上 页结论 同频正弦量的加减运算变为对应相量同频正弦量的加减运算变为对应相量的加减运算。的加减运算。返 回i1 i2=i3下 页上 页例例返 回借助相量图计算借助相量图计算+1+j首尾相接首尾相接下 页上 页+1+j返 回正弦量的
13、微分、积分运算正弦量的微分、积分运算微分运算微分运算 积分运算积分运算下 页上 页返 回例例用相量运算：用相量运算：把时域问题变为复数问题；把时域问题变为复数问题；把微积分方程的运算变为复数方程运算；把微积分方程的运算变为复数方程运算；可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路。可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路。下 页上 页Ri(t)u(t)L+-C相量法的优点返 回 正弦量正弦量相量相量时域时域 频域频域相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。线性电路。相量法用来分析正弦稳态电路。相量法用来分析正弦稳态电路。正弦波形图正弦波形图相量图相量图
14、下 页上 页注意不不适适用用线线性性线线性性12非非线性线性返 回8.4 8.4 电路定律的相量形式电路定律的相量形式1.1.电阻元件电阻元件VCR的相量形式的相量形式时域形式：时域形式：相量形式：相量形式：相量模型相量模型uR(t)i(t)R+-有效值关系有效值关系相位关系相位关系R+-URu相量关系：相量关系：UR=RIu=i下 页上 页返 回瞬时功率瞬时功率 波形图及相量图波形图及相量图 i touRpRu=iURI 瞬时功率以瞬时功率以2交变，始终大于零，表交变，始终大于零，表明电阻始终吸收功率明电阻始终吸收功率同同相相位位下 页上 页返 回时域形式：时域形式：相量形式：相量形式：相量
15、模型相量模型相量关系：相量关系：2.2.电感元件电感元件VCR的相量形式的相量形式下 页上 页有效值关系有效值关系：U=L I相位关系：相位关系：u=i+90 i(t)uL(t)L+-j L+-返 回感抗的性质感抗的性质表示限制电流的能力；表示限制电流的能力；感抗和频率成正比。感抗和频率成正比。XL相量表达式相量表达式XL=L=2fL，称为感抗，单位为称为感抗，单位为(欧姆欧姆)BL=-1/L=-1/2fL，称为称为感纳，单位为感纳，单位为 S 感抗和感纳感抗和感纳下 页上 页返 回功率功率 t iouLpL2 瞬时功率以瞬时功率以2交变，有正有负，一周期内刚交变，有正有负，一周期内刚好互相抵
16、消，表明电感只储能不耗能。好互相抵消，表明电感只储能不耗能。i波形图及相量图波形图及相量图电压超前电压超前电流电流90900 0下 页上 页返 回时域形式：时域形式：相量形式：相量形式：相量模型相量模型iC(t)u(t)C+-+-相量关系：相量关系：3.3.电容元件电容元件VCR的相量形式的相量形式下 页上 页有效值关系：有效值关系：IC=CU相位关系：相位关系：i=u+90 返 回XC=-1/C，称为容抗，单位为称为容抗，单位为 (欧姆欧姆)B C=C，称为容纳，单位为称为容纳，单位为 S 容抗和频率成反比容抗和频率成反比 0，|XC|直流开路直流开路(隔直隔直)，|XC|0 高频短路高频短
17、路|XC|容抗与容纳容抗与容纳相量表达式相量表达式下 页上 页返 回功率功率 t iCoupC 瞬时功率以瞬时功率以2交变，有正有负，一周期交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消，内刚好互相抵消，表明电容只储能不耗能。表明电容只储能不耗能。u波形图及相量图波形图及相量图电流超前电流超前电压电压900下 页上 页2返 回4.4.基尔霍夫定律的相量形式基尔霍夫定律的相量形式同同频频率率的的正正弦弦量量加加减减可可以以用用对对应应的的相相量量形形式式来来进进行行计计算算。因因此此，在在正正弦弦电电流流电电路路中中，KCL和和KVL可用相应的相量形式表示：可用相应的相量形式表示：流入某一结点的所有正弦电
18、流用相量表示流入某一结点的所有正弦电流用相量表示时仍满足时仍满足KCL；而任一回路所有支路正弦电压用；而任一回路所有支路正弦电压用相量表示时仍满足相量表示时仍满足KVL。下 页上 页表明返 回例例1 1试判断下列表达式的正、误。试判断下列表达式的正、误。L下 页上 页返 回例例2已知电流表读数：已知电流表读数：A18A下 页上 页6AA2A1A0Z1Z2A2A0?I0max=?A0A0I0min=?A2A0A1解解返 回例例3解解相量模型相量模型下 页上 页+_15u4H0.02Fij20-j10+_15返 回下 页上 页j20-j10+_15返 回例例4 4解解下 页上 页+_5uS0.2F
19、i相量模型相量模型+_5-j5返 回例例5解解下 页上 页j40jXL30CBA返 回例例6图示电路图示电路I1=I2=5A，U50V，总电压与总电流总电压与总电流同相位，求同相位，求I、R、XC、XL。解法解法1 1令等式两边实部等于实部，虚部等于虚部令等式两边实部等于实部，虚部等于虚部下 页上 页jXC+_RjXLUC+-返 回下 页上 页画相量图计算画相量图计算jXC+_RjXLUC+-解法解法2返 回例例7 图示电路为阻容移项装置，如要求电容电压图示电路为阻容移项装置，如要求电容电压滞后与电源电压滞后与电源电压/3，问，问R、C应如何选择应如何选择。解解1 1画相量图计算画相量图计算上 页jXC+_R+-解解2返 回