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1、第三章第三章 傅里叶变换傅里叶变换本章主要内容本章主要内容周期信号的傅里叶级数（周期信号的傅里叶级数（Ch1)(Fourier Series,FS)非周期信号的傅里叶变换非周期信号的傅里叶变换傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质卷积和卷积定理卷积和卷积定理周期信号傅立叶变换周期信号傅立叶变换抽样信号的傅里叶变换和抽样定理抽样信号的傅里叶变换和抽样定理模拟滤波器模拟滤波器(ch7)Fourier Transform,FT1 The introduction of Fourier1768年生于法国年生于法国1807年提出年提出“任何周期信号任何周期信号都可用正弦函数级数表示都可用正弦函数级数表示”拉格
2、朗日拉格朗日Lagrange反对发表反对发表1822年首次发表在年首次发表在“热的分热的分析理论析理论”一书中一书中1829年狄里赫利年狄里赫利(Dirichlet)第一个给出收第一个给出收敛条件敛条件2傅立叶的两个最主要的贡献傅立叶的两个最主要的贡献“周期信号都可表示为谐波关系的周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和正弦信号的加权和”傅里叶的傅里叶的第一个主要论点第一个主要论点“非周期信号都可用正弦信号的加非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示权积分表示”傅里叶的第二个主要论点傅里叶的第二个主要论点3frequency-domain analysis：Fourier transform
3、，自变量为，自变量为 j complex frequency analysis：Laplace transform,自变量为自变量为 S=+j Z-domain analysis：Z 变换，自变量为变换，自变量为 z 43.1 Frequency analysis of periodic signals-FS满足狄利赫利条件的周期信号可展开成满足狄利赫利条件的周期信号可展开成正交函数线性组合的无穷级数：正交函数线性组合的无穷级数：.三角函数式的三角函数式的 傅立里叶级数傅立里叶级数 cosn 1t,sinn 1t.复指数函数式的傅里叶级数复指数函数式的傅里叶级数 e j n 1t Trigon
4、ometric seriescomplex exponential function5三角函数是正交函数 Trigonometric founctions are Orthogonal6狄利赫利条件：狄利赫利条件：(1)在一个周期内函数绝对可积，即在一个周期内函数绝对可积，即(2)在一个周期内有有限个极值点；在一个周期内有有限个极值点；(3)在一个周期内在一个周期内,只有有限个间断点；只有有限个间断点；且在这些间断点上函数是有限值且在这些间断点上函数是有限值一般周期信号都满足这些条件一般周期信号都满足这些条件.7一、三角函数形式的傅里叶级数一、三角函数形式的傅里叶级数:直流分量基波分量n=1
5、谐波分量n1first harmonic components n=1Nth harmonic components n=N8直流系数余弦分量系数正弦分量系数9二、二、余弦形式的傅立叶级数余弦形式的傅立叶级数比较几种系数的关系比较几种系数的关系10 周期函数的频谱周期函数的频谱Cn：周期信号的谱线只出现在基波频率的整数倍的频率处。直观看出：各分量的大小，各分量的频移，Cn 11三、周期函数的指数形式付氏级数三、周期函数的指数形式付氏级数由前知由前知引入了负频率引入了负频率由欧拉公式由欧拉公式代入，整理代入，整理指数形式付指数形式付氏级数氏级数 :12则指数形式则指数形式付氏级数付氏级数 :傅立
6、叶级数傅立叶级数的复系数的复系数Fn13指数形式的傅里叶级数的复系数指数形式的傅里叶级数的复系数三种傅氏级数的系数间的关系三种傅氏级数的系数间的关系14周期复指数信号的频谱图 1516周期复指数信号的频谱图的特点l引入了负频率变量，没有物理意义，只是数学推导；l Cn 是实函数，Fn 一般是复函数，l 当 Fn 是实函数时，可用Fn 的正 负表示0和相位，幅度谱和相 位谱合一；17四、周期信号的功率特性P为周期信号的平均功率符合帕斯瓦尔定理表明：周期信号的平均功率等于直流、基波和各次谐波分量有效值的平方和。18帕斯瓦尔定理（Parseval)上式为帕斯瓦尔定理，该定理说明：用一个完备的正交函数
7、集来准确表示一个信号时，这个信号所含有的功率衡等于此信号所含有的功率衡等于此信号在正交函数集中各分量的功率总和信号在正交函数集中各分量的功率总和。19五、对称信号的傅里叶级数三种对称：偶函数：f(t)=f(-t)整周期对称整周期对称奇函数：f(t)=-f(-t)奇谐函数：半周期对称半周期对称任意周期函数有：偶函数项 奇函数项201.f(t）是周期偶函数只含直流和余弦分量其中a是实数bn=0Fn是实数21例如:周期三角函数是偶函数Ef(t)T1/2-T1/2t222.f(t)是周期奇函数只含正弦分量Fn为虚数23例如周期锯齿波是奇函数E/2-E/2T1/2-T1/2f(t)t0243.f(t)是
8、奇谐函数：l沿t轴移半个周期；沿横轴反转；波形不变；l半周期对称T1/2-T1/20tf(t)25奇谐函数的傅氏级数偶次谐波的系数为偶次谐波的系数为0,只有奇次谐波的正、余弦分量只有奇次谐波的正、余弦分量n为奇数为奇数26例：利用傅立叶级数的对称性判断所含有的频率分量周期偶函数，奇谐函数，只含基波和奇次谐波的余弦分量周期奇函数，奇谐函数，只含奇次谐波的正弦分量27只含有正弦分量含有直流分量和余弦分量28EX:对称方波,是偶函数且奇谐函数E/2-E/2T1/4-T1/4t六、Gibbs PhenomenonFS中只有奇次谐波的余弦项。中只有奇次谐波的余弦项。29对称方波有限项的傅里叶级数谐波次数NN=1N=3N=5N11Gibbs.m30由以上可见：N越大，越接近方波，误差越小高频分量，快变信号，主要影响跳变沿；低频分量，慢变信号，主要影响顶部；任一分量的幅度或相位发生相对变化时，波形将会失真有吉伯斯(Gibbs)现象发生31HW:1,2,3,4,5 Hint:Problem 2 f2(t)=f1(t+T/2)f3(t)=f1(-t)32