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1、第三章 随机信号的功率谱估计郑宝玉1内内 容容v 随机信号的特征随机信号的特征v 经典谱估计与现代谱估计经典谱估计与现代谱估计v 参数模型法概述参数模型法概述v 基于基于AR模型的谱估计法模型的谱估计法v 最大熵谱估计算法最大熵谱估计算法 v 最小方差谱估计最小方差谱估计v 基于矩阵特征分解的谱估计基于矩阵特征分解的谱估计v 高阶谱估计高阶谱估计2最大熵谱估计算法最大熵谱估计算法v Levinson算法算法v Berg算法算法3Levinson算法算法MEM的核心是求解如下方程：的核心是求解如下方程：这个方程实际上是联合这个方程实际上是联合AR模型法和预测滤波法得出的。模型法和预测滤波法得出的
2、。我们发现，方程我们发现，方程(1)有如下特点：有如下特点：系数矩阵是一个系数矩阵是一个Toplitz矩阵，利用矩阵，利用Toplitz矩阵的性质矩阵的性质 可简化方程求解。可简化方程求解。实际问题中，一般只知道信号的某些观测值，而不知道实际问题中，一般只知道信号的某些观测值，而不知道 其其AR模型阶数，该阶数也需要在方程求解过程中找到。模型阶数，该阶数也需要在方程求解过程中找到。下面介绍两种算法。下面介绍两种算法。v引言引言4Levinson算法算法v 原理原理 假设已得到假设已得到k阶线性预测系数阶线性预测系数(预测滤波参数预测滤波参数)，我们，我们来考虑求来考虑求k1阶滤波参数。阶滤波参
3、数。k阶滤波参数的矩阵方程为阶滤波参数的矩阵方程为由于系数矩阵的由于系数矩阵的Toplitz性质，上式又有如下形式性质，上式又有如下形式5Levinson算法算法现考虑模型阶数增加现考虑模型阶数增加1,即从即从k变为变为k+1的情况。的情况。对于对于k+1模型模型,有有由于系数矩阵的由于系数矩阵的ToplitzToplitz性质，性质，k+1k+1阶系数矩阵阶系数矩阵 可有两种分块形式。可有两种分块形式。6Levinson算法算法 利用这个性质，可设利用这个性质，可设式中式中7Levinson算法算法 比较比较(3)和和(4)，可知，当，可知，当(3)与与(4)等效；且有下列两个递推关系式：等
4、效；且有下列两个递推关系式：即当下式成立时即当下式成立时和由由(8)末式还可得末式还可得：(5)(10)构成构成Levinson算法基础算法基础。8Levinson算法算法 现用现用i表示递推过程的阶数，令表示递推过程的阶数，令i=k+1,并设信号模型的并设信号模型的最大阶数为最大阶数为N，则有如下则有如下LevinsonLevinson算法算法算法算法:1)1)由由由由(3)(3)式，令式，令式，令式，令i=k+10，得，得 2)置置i=k+11;3)由由(8)、(10)式计算式计算 4)由由(7)、(10)式计算式计算 5)由由(6)、(7)和和(10)式计算式计算 6)置置i=i+1;7
5、)判别：若判别：若 转转3)；否则，结束程序。；否则，结束程序。v 算法算法9Levinson算法算法 v 讨论讨论Levinson算法第算法第4步利用了一个重要递推关系步利用了一个重要递推关系(12)，通常称为通常称为Levinson关系式关系式递推过程产生一个滤波参数序列递推过程产生一个滤波参数序列 通常称为偏相关系数通常称为偏相关系数递推过程产生的递推过程产生的 可用来监视可用来监视i阶信号模型的均方阶信号模型的均方 误差估值。误差估值。递推结果的最终解为递推结果的最终解为 和和递推过程及结果递推过程及结果10Levinson算法算法 v 讨论讨论 优点优点：计算简单：计算简单 缺点缺点
6、：需根据有限观测数据估计自相关序列：需根据有限观测数据估计自相关序列r(n)短数据序列时短数据序列时，自相关估计值误差很大，引起预测，自相关估计值误差很大，引起预测 滤波参数误差，导致滤波参数误差，导致“谱峰飘移谱峰飘移”和和“谱线分裂谱线分裂”(即出即出 现虚假谱线现虚假谱线)长数据序列时长数据序列时，自相关估计值虽精确，但计算量大。，自相关估计值虽精确，但计算量大。优缺点优缺点11Berg算法算法 v前向预测与后向预测前向预测与后向预测 考虑信号序列值：考虑信号序列值：前向预测前向预测后向预测后向预测前向预测误差：前向预测误差：后向预测误差：后向预测误差：其中其中 分别为分别为p p阶前、
7、后向预测系数。阶前、后向预测系数。12Berg算法算法 v Berg算法原理算法原理根据前面的基本概念，可知根据前面的基本概念，可知m m阶前向预测误差为阶前向预测误差为类似地，类似地，m m阶后向预测误差为阶后向预测误差为再利用再利用LevinsonLevinson关系式：关系式：有有其中其中13Berg算法算法 v BergBerg算法原理算法原理（续）续）定义定义m m阶前、后向预测误差的功率为阶前、后向预测误差的功率为将将(16)代入代入(17)，并令，并令Pm对对 的偏导数为零的偏导数为零,得最佳得最佳14Berg算法算法 v BergBerg算法算法 设已知有限数据序列设已知有限数
8、据序列x(n),n=0,1,N，则可按下列步，则可按下列步骤计算预测滤波器系数，并在此基础上计算功率谱。骤计算预测滤波器系数，并在此基础上计算功率谱。1.置置m=0,计算初值计算初值2.m=m+1,并按并按(19)计算反射系数计算反射系数3.3.计算滤波器系数：计算滤波器系数：4.计算预测误差功率计算预测误差功率Pm：5.5.按按(16)(16)式计算滤波器输出式计算滤波器输出6.置置m=m+1,并重复步骤并重复步骤(2)-(5),直到直到m=p。15Berg算法算法 v BergBerg算法（续）算法（续）最后，由最后，由Berg算法估计的滤波器系数算法估计的滤波器系数计算功率谱密度：计算功
9、率谱密度：16内内 容容v 随机信号的特征随机信号的特征v 经典谱估计与现代谱估计经典谱估计与现代谱估计v 参数模型法概述参数模型法概述v 基于基于AR模型的谱估计法模型的谱估计法v 最大熵谱估计算法最大熵谱估计算法 v 最小方差谱估计最小方差谱估计v 基于矩阵特征分解的谱估计基于矩阵特征分解的谱估计v 高阶谱估计高阶谱估计17最小方差谱估计最小方差谱估计 v 基本原理基本原理v MV谱与谱与ME谱或谱或AR谱的关系谱的关系18最小方差谱估计最小方差谱估计 v MVSE基本原理基本原理 三点说明三点说明 最小方差功率谱估计最小方差功率谱估计(MVSE)，又称最大似然谱估又称最大似然谱估 计，但
10、实际上它并不是最大似然谱估计；计，但实际上它并不是最大似然谱估计；提出者提出者Capon,1969也把这个方法叫做高分辨率谱估也把这个方法叫做高分辨率谱估 计方法，但实际上其分辨率并不高于计方法，但实际上其分辨率并不高于AR模型法；模型法；尽管这样，但由于其思路独特，仍有了解的必要。尽管这样，但由于其思路独特，仍有了解的必要。下面，讨论该方法的导出过程。下面，讨论该方法的导出过程。19最小方差谱估计最小方差谱估计 v MVSE基本原理基本原理 算法推导算法推导 将随机信号将随机信号x(n)通过通过FIR滤波器滤波器A(z):则其输出为则其输出为其中其中y(n)的均方值，也就是的均方值，也就是y
11、(n)的功率，由下式给出的功率，由下式给出：式中 为r(0),r(1),r(p)构成的Toeplitz矩阵。若y(n)的均值为零，则 也是y(n)的方差。20最小方差谱估计最小方差谱估计 v MVSE基本原理基本原理 算法推导（续）算法推导（续）求滤波器的系数，有两个原则：求滤波器的系数，有两个原则：在某一在某一给定频率给定频率 处处,x(n)x(n)无失真通过无失真通过,这等效于要求：这等效于要求：式中式中 在在 附近的频率分量被拒绝附近的频率分量被拒绝,即在即在 附近使附近使 为最小。为最小。为同时满足这两个原则，必须满足下式：为同时满足这两个原则，必须满足下式：这就是这就是“最小方差最小
12、方差”谱估计谱估计的来历。的来历。21最小方差谱估计最小方差谱估计 v MVSE基本原理基本原理 算法推导（续）算法推导（续）利用利用Lagrange乘子法求解乘子法求解(5)式式,得最小方差滤波器系数得最小方差滤波器系数为为相应的最小方差为相应的最小方差为从而，估计的最小方差谱为从而，估计的最小方差谱为应该注意应该注意，并不是真正意义上的功率谱，因为并不是真正意义上的功率谱，因为 对对 的积分并不等于信号的功率，但它描述了真正谱的的积分并不等于信号的功率，但它描述了真正谱的相对强度。相对强度。22最小方差谱估计最小方差谱估计 v MV谱与谱与AR谱的关系谱的关系对自相关矩阵的逆矩阵对自相关矩
13、阵的逆矩阵 作作Cholesky分解，有分解，有其中其中 分别是分别是0阶阶p阶阶AR模型系数和激励功率模型系数和激励功率(即方差即方差)组成的矩阵，即组成的矩阵，即23最小方差谱估计最小方差谱估计 v MV谱与谱与AR谱的关系谱的关系（续）（续）将将(8)(8)代入代入(7)(7)，得，得于是，我们得到于是，我们得到MV谱与谱与AR谱之间的一个重要关系：谱之间的一个重要关系：其中24内内 容容v 随机信号的特征随机信号的特征v 经典谱估计与现代谱估计经典谱估计与现代谱估计v 参数模型法概述参数模型法概述v 基于基于ARAR模型的谱估计法模型的谱估计法v 最大熵谱估计算法最大熵谱估计算法 v
14、最小方差谱估计最小方差谱估计v 基于矩阵特征分解的谱估计基于矩阵特征分解的谱估计v 高阶谱估计高阶谱估计25基于矩阵特征分解的谱估计基于矩阵特征分解的谱估计 v 自相关矩阵的特征分解自相关矩阵的特征分解v 基于子空间的频率估计与信号估计基于子空间的频率估计与信号估计26自相关矩阵的特征分解自相关矩阵的特征分解v 基本原理基本原理 设信号设信号x(n)由由M个复正弦加白噪声组成个复正弦加白噪声组成,分别是第分别是第 i 个复正弦的功率和频率个复正弦的功率和频率,则则x(n)的自相关函数为的自相关函数为式中正弦信号的幅度为式中正弦信号的幅度为 为白噪声的功率。为白噪声的功率。如果由如果由(p p+
15、1)+1)个个rxx(n)组成自相关矩阵：组成自相关矩阵：27自相关矩阵的特征分解自相关矩阵的特征分解v基本原理（续）基本原理（续）且定义信号向量：且定义信号向量：则由则由(1)-(3),有有 式中第一、二项分别为信号阵和噪声阵式中第一、二项分别为信号阵和噪声阵,前者最大秩为前者最大秩为M.设设 ，对，对Rp进行特征分解得：进行特征分解得：式中式中Vi 是对应于特征值是对应于特征值 的特征向量的特征向量,特征向量相互正交，特征向量相互正交，即即28自相关矩阵的特征分解自相关矩阵的特征分解v 基本结论基本结论 从上面讨论可以看出：从上面讨论可以看出：Rp的所有特征向量的所有特征向量V1,Vp+1
16、形成形成p+1维向量空间维向量空间(信息空间信息空间),且且V1,Vp+1相互正交。相互正交。利用相关矩阵的特征值，可将利用相关矩阵的特征值，可将信息空间信息空间分成分成两个子空间两个子空间：由主特征向量由主特征向量 V1,VM 张成张成信号子空间信号子空间(主分量主分量)其特征值分别为其特征值分别为 由特征向量由特征向量 VM+1,Vp+1 张成张成噪声子空间噪声子空间 其特征值均为其特征值均为 信号向量信号向量e1,eM和主特征向量和主特征向量V1,VM张成相同的子空间张成相同的子空间 信号子空间。信号子空间。结论结论:可在信号子空间或噪声子空间进行谱估计和频率估计可在信号子空间或噪声子空
17、间进行谱估计和频率估计 应用应用:借助噪声子空间噪声特性借助噪声子空间噪声特性,从信号子空间估计有用信从信号子空间估计有用信号号 下面考虑下面考虑pM和和pM两种情况下基于噪声子空间的估计问题两种情况下基于噪声子空间的估计问题29基于矩阵特征分解的谱估计基于矩阵特征分解的谱估计 v 自相关矩阵的特征分解自相关矩阵的特征分解v 基于子空间的频率估计与信号估计基于子空间的频率估计与信号估计-PHD方法方法-MUSIC方法方法30 v 理论基础理论基础 若若p=M,则则(5)式中式中Rp仅有仅有一个噪声向量一个噪声向量VM+1,它所它所 对应的对应的 特征值就是噪声方差特征值就是噪声方差 ，该特征值
18、也是，该特征值也是Rp的最小特征的最小特征 值（因为此时值（因为此时 ）。可以证明，这时有）。可以证明，这时有 定理定理 1 1 噪声向量噪声向量VM 与信号向量与信号向量ei(i1,M)都正交都正交,即即 令则根据定理则根据定理1 1有有其中其中Pisarenko谐波分解谐波分解(PHD)31 Pisarenko谐波分解谐波分解(PHD)PHD算法的步骤算法的步骤 1)求求x(n)的自相关函数并构成自相关矩阵的自相关函数并构成自相关矩阵Rp,且设且设 p=M2)对对Rp进行特征分解进行特征分解,得特征值得特征值 及特征向量及特征向量 将其排序并找出最小的特征值将其排序并找出最小的特征值 及相
19、应的及相应的3)将将 代入代入(7)，形成，形成 M 阶多项式并求该多项式的根，阶多项式并求该多项式的根，得到得到x(n)的的M 个频率个频率4)由由(1)有有5)再由(1)得：故可求得故可求得32MUSIC方法方法v理论基础理论基础 若噪声子空间的向量不止一个，用类似的方法可以证明有若噪声子空间的向量不止一个，用类似的方法可以证明有 定理2 信号向量ei与噪声子空间的向量Vk都正交，即由于自相关矩阵Rp的特征向量 构成一组正交基，因此有注意注意:(11)对应于对应于Mp的情况，在这种情况下，若再使用的情况，在这种情况下，若再使用(8),则求出的则求出的V(z)将有将有p-M个多余零点。故不宜
20、再使用个多余零点。故不宜再使用(8)计算。计算。33MUSIC方法方法v MUSIC算法算法 基本思路基本思路 由于信号向量与噪声子空间的各个向量都正交由于信号向量与噪声子空间的各个向量都正交,因此因此 信号向量与噪声空间各向量的线性组合也信号向量与噪声空间各向量的线性组合也 正交正交,故有故有且上式在 处应为零。从而有该峰值对应的就是正弦信号的频率，分辨率优于该峰值对应的就是正弦信号的频率，分辨率优于AR模型法。模型法。34空间谱估计问题空间谱估计问题v 阵列信号处理问题阵列信号处理问题阵列阵列：多个天线（传感器）的组合多个天线（传感器）的组合 阵元每个天线（传感器）阵元每个天线（传感器）假设假设：1）信源：点信源。即窄带信号）信源：点信源。即窄带信号 2）远场：波前）远场：波前(阵列阵列)平面波平面波35由由capon提出，称为最小方差无畸变提出，称为最小方差无畸变(MVDR:minimum variance distortionless response)波束形成器波束形成器空间谱估计问题空间谱估计问题36v 最优波束形成器最优波束形成器DOA 估计：波束形成器估计：波束形成器设计一个滤波器设计一个滤波器 抽头（权系数）抽头（权系数）空间谱估计问题空间谱估计问题37MUSIC空间谱空间谱：噪声子空间方法信号子空间方法波束形成器：空间谱估计问题空间谱估计问题38