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1、第三节第三节 幂级数幂级数一、函数项级数的概念二、幂级数及其收敛法三、幂级数的运算一、函数项级数的概念定义在区间I上的函数列则由这函数列构成的表达式称为定义在区间I上的(函数)无穷级数，简称(函数项)级数.对于每一个确定的值 ，函数项级数(1)成为常数项级数如果(2)式收敛，我们称点 是函数项级数(1)的收敛点；如果(2)发散，我们称点 是函数项级数(1)的发散点.函数项级数(1)的所有收敛点的全体称为它的收敛域，所有的发散点的全体称为它的发散域.函数项级数的和是x的函数s(x)，通常称s(x)为函数项级数的和函数.级数(1)的前n项的部分和记作 ,则在收敛域上有 我们把 叫做函数项级数的余项
2、(当然，只有x在收敛域上 才有意义)，于是有定义 形如的级数，称为(xx0)的幂级数，均是常数，称为幂级数的系数.称为x的幂级数，它的每一项都是x的幂函数.我们主要讨论这种类型的幂级数.当x0=0时，(1)式变为：二、幂级数及其敛散性定理1(阿贝尔(Abel)定理)如果级数 当 时收敛，则适合不等式 的一切x使这幂级数绝对收敛.反之，如果级数 当 时发散，则适合不等式 的一切x使这幂级数发散.证明：先设 是幂级数(3)的收敛点，即级数收敛.概据级数收敛的必要条件，这时有于是存在一个常数M,使得这样级数(3)的一般项的绝对值 定理的第二部分可用反证法证明.倘若幂级数当 时发散而有一点 适合 使级
3、数收敛.则根据本定理的第一部分，级数当 时应收敛,这与所设矛盾.定理得证.推论 如果幂级数 不是仅在x=0一点收敛,也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个确定的正数R存在，使得 当|x|R时，幂级数发散;当x=R与x=R时，幂级数可能收敛也可能发散.正数R通常叫做幂级数(3)的收敛半径.开区间(R,R)叫做幂级数(3)的收敛区间.定理2如果幂级数的系数满足条件：证明：考察幂级数(2)的各项取绝对值所成的级数这级数相邻两项之比为:(a)正数R称为幂级数(3)的收敛半径；(c)如果R=0说明幂级数(3)只在x=0处收敛;(d)如果 说明幂级数(3)在 处收敛.收敛区间；(3)例2 求幂级数的收敛半径与收敛区间.对于端点x=1，级数成为交错级数,收敛.对于端点x=1，级数成为：三、幂级数的运算 如果幂级数的收敛半径分别为R10和R20，则收敛半径R等于R1和R2中较小的一个.性质1 如果幂级数 的和函数s(x)在其收敛域I上连续.即幂级数在其收敛区间内可以逐项积分，并且积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.性质2 如果幂级数 的和函数s(x)在其收敛域I上可积，并有逐项积分公式性质3 幂级数 的和函数s(x)在其收敛区间(R,+R)内可导，且有逐项求导公式即幂级数在其收敛区间内可以逐项求导，并且求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.