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1、第二章第二章 线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法 3-1 系统时间响应的性能指标系统时间响应的性能指标3-2 一阶系统的时域分析一阶系统的时域分析3-6 线性系统稳态误差的计算线性系统稳态误差的计算3-3 二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析3-4 高阶系统的时域分析高阶系统的时域分析3-5 线性系统的稳定性分析线性系统的稳定性分析3-1 系统时间响应的性能指标系统时间响应的性能指标一、一、动态和和稳态过程程3 3、动态过程程（过渡渡过程或瞬程或瞬态过程）：系程）：系统在典型在典型信号作用下，系信号作用下，系统输出量从初始状出量从初始状态到最到最终状状态的的过程。程。4 4、稳态过程：程
2、：系系统在典型信号作用下，当在典型信号作用下，当时间t趋向无向无穷时，系，系统输出量的表出量的表现形式。形式。1 1、典型、典型输入信号：入信号：单位位阶跃、单位斜坡、位斜坡、单位脉位脉冲、冲、单位加速度、正弦等位加速度、正弦等2 2、系、系统的的时间响响应，由，由动态过程程和和稳态过程程两部分两部分组成成与此与此对应，性能指，性能指标分分为动态性能指性能指标和和稳态性能性能指指标h(t)t时间时间tr上上 升升峰值时间峰值时间tpAB超调量超调量%=AB100%动态性能指标定义动态性能指标定义1h(t)t调节时间调节时间tsh(t)t时间时间tr上上 升升峰值时间峰值时间tpAB超调量超调量
3、%=AB100%调节时间调节时间tsh(t)t上升时间上升时间tr调节时间调节时间 ts动态性能指标定义动态性能指标定义21 1、延、延迟时间td：指响指响应曲曲线第一次达到其第一次达到其终值一半所一半所需要的需要的时间。2 2、上升、上升时间tr：指响指响应曲曲线从从终值10%10%上升到上升到终值90%90%所需要的所需要的时间；对于有振于有振荡的系的系统，也可定，也可定义为响响应从从零第一次上升到零第一次上升到终值所需要的所需要的时间。上升。上升时间是系是系统响响应速度的一种度量。速度的一种度量。3 3、峰、峰值时间tp：指响指响应超超过终值达到第一个峰达到第一个峰值所所需要的需要的时间
4、。4 4、调节时间ts：指响指响应达到并保持在达到并保持在终值5%5%（或（或2%2%）内所需要的）内所需要的时间。5 5、超调量、超调量%：指响应的最大偏离量h(tp)与终值h()之差的百分比，即：6 6、稳态性能性能：稳态误差是描述系差是描述系统稳态性能的一种性性能的一种性能指能指标，通常在，通常在阶跃函数、斜坡函数和加速度函数作函数、斜坡函数和加速度函数作用下用下进行行测定或定或计算。算。稳态误差是系差是系统控制精度或抗控制精度或抗扰动能力的一种度量。能力的一种度量。3-2 一阶系统的时域分析一阶系统的时域分析一、一一、一阶系系统数学模型数学模型开开环传递函数函数 闭环传递函数函数 二、
5、一二、一阶系系统单位位阶跃响响应t0T2T3T4T5Tc(t)00.632 0.8650.9500.9820.9931特点：特点：（1）初始斜率）初始斜率为1/T；（2）无超无超调（3）稳态误差差ess=0。性能指性能指标：（1）延）延迟时间：td=0.69T（2）上升上升时间：tr=2.20T（3）调节时间：ts=3T(=0.05)解解:(1)与标准形式对比得：与标准形式对比得：T=1/10=0.1，ts=3T=0.3s 例例3.1 某一阶系统如图某一阶系统如图,(1)求调节时间求调节时间ts,(2)若要求若要求ts=0.1s,(2)要求要求ts=0.1s，即即3T=0.1s,即即 ,得得
6、0.1C(s)R(s)E(s)100/s(-)求反馈系数求反馈系数 Kh.解题关键：解题关键：化闭环传递函数为标准形式。化闭环传递函数为标准形式。Kh二、一二、一阶系系统单位脉冲响位脉冲响应t0.135/T0.018/TT2T3T4T初始斜率初始斜率为为0.368/T0.05/T0c(t)单位脉冲响应曲线单位脉冲响应曲线t-Ttk(t)0T三、一三、一阶系系统单位斜坡响位斜坡响应所以一所以一阶系系统跟踪跟踪单位斜坡信号的位斜坡信号的稳态误差差为一一阶系系统能跟踪斜坡能跟踪斜坡输入信号入信号,但存在但存在稳态误差差。上式表明，跟踪上式表明，跟踪误差随差随时间推移而增大，直至无限大。推移而增大，直
7、至无限大。因此，一因此，一阶系系统不能不能实现对加速度加速度输入函数的跟踪。入函数的跟踪。三、一三、一阶系系统单位位加速度加速度响响应表3-1一阶系统对典型输入信号的响应输入信号时域输入信号频域输出响应传递函数11(t)t微分微分等价关系：系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响应的导数；系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应的积分；积分常数由零初始条件确定。3-3 二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析一、二一、二阶系系统数学模型数学模型标准形式：准形式：自然振自然振荡频率率阻尼比阻尼比闭环特征方程闭环特征方程：闭环特征根闭环特征根：二、二二、二阶系系统单位位阶跃响响应
8、1、0:负阻尼系统负阻尼系统两个特征根位于S右半平面，系统响应发散 j-1j-10t1c(t)0发散振荡2、=0:无阻尼系统无阻尼系统两个特征根为一对共轭纯虚根：s1,2=jnj=0t12c(t)0等幅振荡3、01:临界阻尼系统临界阻尼系统两个特征根为一对不相等负实根j11c(t)t0单调上升过程0123456789101112 nt c(t)0.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0以上几种情况的单位阶跃响应曲线如下图：以上几种情况的单位阶跃响应曲线如下图：=00.10.20.30.40.50.60.70.81.02.0 越小，超调量越大，平稳性越差，调节时间越小，超调量越
9、大，平稳性越差，调节时间ts长；长；过大时，系统响应迟钝，调节时间过大时，系统响应迟钝，调节时间ts也长，快速性差；也长，快速性差；=0.7，调节时间最短，快速性最好，而超调量调节时间最短，快速性最好，而超调量%0，若不若不满足足ai0，则系系统是不是不稳定的。定的。若若满足，足，则需需进一步判定。一步判定。不稳定不稳定不稳定不稳定（缺（缺3 3次项）次项）可能稳定可能稳定 判定以下系统的稳定性判定以下系统的稳定性（2）系）系统闭环稳定的充分必要条件定的充分必要条件:特征方程各特征方程各项系数均大于零系数均大于零,即即 ai0 下列行列式和各下列行列式和各阶顺序主子式全部序主子式全部为正。正。
10、q已已经证明，明，在特征方程各在特征方程各项系数均大于系数均大于零零时，赫，赫尔维茨奇次行列式全茨奇次行列式全为正，正，则赫赫尔维茨偶次行列式必全茨偶次行列式必全为正；反之亦然。正；反之亦然。2 2 2 2、劳劳思思思思稳稳定判据定判据定判据定判据(1)(1)(1)(1)系系系系统稳统稳定的定的定的定的必要条件必要条件必要条件必要条件是特征方程的所有系数是特征方程的所有系数是特征方程的所有系数是特征方程的所有系数ai0均大于零。均大于零。均大于零。均大于零。不缺不缺不缺不缺项项。系数同号。它是系系数同号。它是系系数同号。它是系系数同号。它是系统稳统稳定的必要条件，也就是定的必要条件，也就是定的
11、必要条件，也就是定的必要条件，也就是说说，只能用来判断系，只能用来判断系，只能用来判断系，只能用来判断系统统的不的不的不的不稳稳定而不能用来判定而不能用来判定而不能用来判定而不能用来判别别稳稳定。定。定。定。(2)(2)(2)(2)劳劳思判据思判据思判据思判据2 2 2 2为为：线线性系性系性系性系统稳统稳定的定的定的定的充要条件充要条件充要条件充要条件是是是是劳劳思思思思阵阵列表中第一列所有列表中第一列所有列表中第一列所有列表中第一列所有项项系数均大于零，系数系数均大于零，系数系数均大于零，系数系数均大于零，系数变变量次数量次数量次数量次数为为极点在极点在极点在极点在s s右半平面的个数。右
12、半平面的个数。右半平面的个数。右半平面的个数。例题：例题：，判定稳定性及在右半平面判定稳定性及在右半平面根个数根个数 变号两次，有两个号两次，有两个闭极点在极点在s右半平面。右半平面。四、四、劳思判据特殊情况思判据特殊情况1 1、某行第一列元素、某行第一列元素为0 0，该行元素不全行元素不全为0 0时：乘：乘因子因子(s+a)，a为任意正数。任意正数。例题：例题：，判定，判定s s右半平面中闭环右半平面中闭环根的个数。根的个数。s31-3s202s1以（以（s+3)乘以原来方程得到乘以原来方程得到s41-36 s33-70s2s1s0-0.672066变号两次，有号两次，有两个正根两个正根，实
13、际上上 2 2 2 2、在在在在劳劳斯斯斯斯阵阵列列列列表表表表中中中中，如如如如果果果果某某某某一一一一行行行行中中中中的的的的所所所所有有有有元元元元素素素素都都都都等等等等于于于于零零零零，则则表表表表明明明明在在在在s s平平平平面面面面内内内内存存存存在在在在两两两两个个个个大大大大小小小小相相相相等等等等符符符符号号号号相相相相反反反反的根。的根。的根。的根。在在在在这这种种种种情情情情况况况况下下下下，利利利利用用用用全全全全为为零零零零行行行行的的的的上上上上一一一一行行行行的的的的系系系系数数数数，可可可可组组成成成成一一一一个个个个辅辅助助助助方方方方程程程程，并并并并用用
14、用用这这个个个个辅辅助助助助方方方方程程程程导导数数数数的的的的系系系系数数数数取取取取代各代各代各代各项项，最后用，最后用，最后用，最后用劳劳斯判据加以判断。斯判据加以判断。斯判据加以判断。斯判据加以判断。例例题：试求系求系统在右半在右半s平面的根数及虚根平面的根数及虚根值。右半右半s平面无根平面无根 五、五、劳思判据思判据应用用判定判定稳定性，确定正根的个数定性，确定正根的个数确定是系确定是系统稳定的参数取定的参数取值范范围例例题：系：系统如如图，确定使系，确定使系统稳定的定的 和和K的范的范围。稳定范围例例题：系：系统如如图，确定使系，确定使系统闭环极点全部落在极点全部落在s=-1左左边
15、时K的范的范围。3-6 线性系统稳态误差计算线性系统稳态误差计算稳态误差是系差是系统的的稳态性能指性能指标，是系，是系统控制精度的度量。控制精度的度量。只只讨论系系统的原理性的原理性误差，不包括非差，不包括非线性等因素所造成的附加性等因素所造成的附加误差。差。计算系算系统的的稳态误差以系差以系统稳定定为前提前提条件条件。一、一、误差与差与稳态误差差1 1、从、从输入定入定义误差差偏差偏差=误差差 2 2、从、从输出定出定义误差差 3 3、两种定、两种定义的的误差差间关系关系 对单位反馈系统对单位反馈系统 4 4、稳态误差差 5、稳态误差差计算的一般方法算的一般方法终值定理：定理：（1 1）判定
16、系）判定系统的的稳态性性（2 2）求）求误差差传递函数函数（3 3）利用）利用误差定差定义求取，求出求取，求出误差响差响应的原函数的原函数e(t)，求极求极值（4）若）若满足足终值定理，利用定理，利用终值定理求取（定理求取（终值定理定理条件：条件：sE(s)所有极点位于所有极点位于s左半平面。左半平面。）1）,符合终值定理应用条件。符合终值定理应用条件。3）,不符合终值定理应用条件。不符合终值定理应用条件。2）,符合终值定理应用条件。符合终值定理应用条件。为为 1）r(t)=t，2)r(t)=t2/2，3)r(t)=sint，求系统稳态误差。求系统稳态误差。解：解：误差传递函数为误差传递函数为
17、例题例题 设单位反馈系统开环传递函数为设单位反馈系统开环传递函数为G(s)=1/Ts,输入信号分别输入信号分别v本题说明：本题说明：1 1）使用终值定理要注意条件）使用终值定理要注意条件 2 2）稳态误差与输入有关。）稳态误差与输入有关。使用终值定理将得出错误结论。使用终值定理将得出错误结论。1、影响、影响稳态误差的因素差的因素 一般开环传递函数可以写成如下形式：一般开环传递函数可以写成如下形式：q 显然，系统的稳态误差取决于原点处开环极点的显然，系统的稳态误差取决于原点处开环极点的阶次阶次、开环开环增增益益K以及输入信号的形式。以及输入信号的形式。式中，式中，K为开环增益。为开环增益。为开环
18、系统在为开环系统在s平面坐标原点的极点平面坐标原点的极点重数，重数，=0,1,2时，系统分别称为时，系统分别称为 0 型、型、型、型、型系统。型系统。二、二、系系统类型与静型与静态误差系数法差系数法2、阶跃输入下入下稳态误差及静差及静态位置位置误差系数差系数3、斜坡、斜坡输入下入下稳态误差及静差及静态速度速度误差系数差系数4、加速度、加速度输入下入下稳态误差及静差及静态加速度加速度误差系数差系数5、系、系统型型别、静、静态误差系数与差系数与输入信号行式之入信号行式之间的关系的关系 减小或消除误差的措施减小或消除误差的措施：提高开提高开环积分分环节的的阶次次 、增加、增加开开环增益增益 K。表表
19、3-1 3-1 输入信号作用下的稳态误差输入信号作用下的稳态误差例题例题解：解：r(t)作用作用时：Kp=,Kv=K=10,essr=0+2/10=0.2。求求r(t)=1(t)+2t,n(t)=-1(t)时系系统稳态误差。差。C(s)G1(s)G2(s)R(s)N(s)(-)三三 动态误差系数法差系数法 动态误差系数法适用于研究动态误差系数法适用于研究输入信号为任意时间函数时输入信号为任意时间函数时的系的系统稳态误差。统稳态误差。其中其中 C0，C1，C2，为动态误差系数。为动态误差系数。设误差差传递函数在函数在s邻域展开成泰勒域展开成泰勒级数数为：四、四、扰动作用下的作用下的稳态误差差C(
20、s)G1(s)G2(s)R(s)N(s)(-)控制系控制系统在在扰动作用下的作用下的稳态误差，反映了系差，反映了系统的抗干的抗干扰能力。在理想情况下，其能力。在理想情况下，其稳态误差差应为0，但，但实际上并不能上并不能实现。例题例题解：解：r(t)作用作用时：Kp=,Kv=K=10,essr=0+2/10=0.2。对扰动作用来作用来讲，减小或消除误差的措施：减小或消除误差的措施：增大增大扰动作用点之作用点之前的前向通路增益、增大前的前向通路增益、增大扰动作用点之前的前向通路作用点之前的前向通路积分分环节数。数。终值定理法不能表示定理法不能表示稳态误差随差随时间变化的化的规律。律。求求r(t)=1(t)+2t,n(t)=-1(t)时系系统稳态误差。差。C(s)G1(s)G2(s)R(s)N(s)(-)n(t)作用作用时：