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1、第2课时等式性质与不等式性质【学习目标】1.了解等式的性质2掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题.【导语】同学们，2008年你们也就刚出生不久，但是08年北京奥运会注定已成为举世瞩目的一届奥 运会，没有之一，其场面气势恢宏、美轮美奂、激动人心，世界都把目光聚焦到北京，反映 出中国经济开展的高水平和快速度，一个开放的中国正在向世界展露出新的姿态，使得中国 对世界更加开放，世界各国进一步认识和了解中国这个亚洲强国，有人说北京奥运会超过已 经举办的任何一届奥运会！在刚才这一段话中，大家能发现有哪些不等关系吗？(条件允许可 提前播放中国队夺冠视频或播放北京奥运会主题曲我和你)一、等式性质
2、与不等式的性质问题判断以下命题是否正确？(1)如果a=b,那么b=a；(2)如果 a=b, b=c,那么 i=c；(3)如果 ab,那么 achc；(4)如果 a = b,那么 ac=bc；a h(5)如果 a=b, cWO,那么7=7提示以上均正确，这些都是等式的基本性质.【知识梳理】不等式的性质性质别名性质内容注意1对称性abha2传递性ab, bc=ac不可逆3可加性abb-c可逆4可乘性ab, cO=acbcab, cach, cd=g-ch-d同向6同向同正可乘性ab0, cdO=acbd同向7可乘方性abOa,lbnN, 22)同正解析 由题意补录了 名学生，新生人数增多，而原有学
3、生人数不变，由此知，新生所占的 比例必增大.由于补录后新生人数变为+Z?,在校生人数增加为加+故所对应的不等式模型是当， m m-vbri j几十b即假设 mnQ9 b0,那么一V tn m-vb16.二次函数y=Qf+a+c满足以下条件：该函数图象过原点；当x= 一1时，y的取值范围为大于等于1且小于等于2；当x=l时，的取值范围为大于等于3且小于等于4,求当x=2时，y的取值范围.解.二次函数 =加+云+。的图象过原点，。=0,)=cix+bx,又当x= 1时，1 Wi8W2.当 x=l 时，3W+bW4, 当了=-2 时，y=4a2b.设存在实数相，明使得 4a2b=m(a+/?)+na
4、b),而 4a2b=(m+ri)a+(znn)b,根+=4,mn= -2,解得用=1, n=3,/. 4q2b=3+0) + 3(aZ?).由可知 3q+Z?W4,33(qb)W6, 3 + 3W4。一2。4+6.即 6W4一2bW 10,故当x=2时，y的取值范围是大于等于6且小于等于IO.八、（1）假设那么 0/ 假设 4/不等式只有加法和乘法运算，没有减法和除法运算.例1对于实数小b, C,以下命题中的真命题是（）A.假设 ab,贝!J ac2bc2B.假设 那么!C.假设。b, -t,那么 aQ, hb0,有abon*=壮,故B为假命题；1 1 。/?0=T0,a ba =就，故C为假
5、命题；abab0Jab=ba0,1111 ba 4=b0=-0 a b a b ab,:cob,。0且匕0,故D为真命题.方法二特殊值排除法.取 c=0,那么 /=/?，故 A 错；取a=2, b=l,那么W 9=1 .有:木故B错；取。=2, b= ,那么2=3，5=2,有然，故C错.反思感悟 利用不等式的性质判断命题真假的注意点运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能想当然 随意捏造性质.解有关不等式的选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原那么： 一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算.跟踪训练1 （多项选择）假设:/0,那么下
6、面四个不等式成立的有（）B. a/?3B. a/?3A. abC. abab答案CD解析 由,：0可得Z?a0,从而依，A, B均不正确；+/?09那么4+/?b3, D正确.二、利用不等式的性质证明不等式例 2 已矢口求证： -c-a cb、下日日a _ b _a(cb) b(ca)1 c-a c-b (ca)(cb) acab+abc(ab)(cd)(cb)(ca)(cb)9Vcab0, ca0, c-b0, .a b .7.c-a cb延伸探究 作差法是比拟判断两个代数式的基本方法，你能用我们刚学过的性质解决本例 吗？证明方法一因为/?(),所以!因为c0,所以为余 所以即因为 cab0
7、,所以 ca09 ch0.所以a bca ch方法二 因为cab0,所以 0cacb,所以00,所以c-a c-b反思感悟(1)利用不等式的性质对不等式的证明其实质就是利用性质对不等式进行变形，变 形要等价，同时要注意性质适用的前提条件.(2)用作差法证明不等式和用作差法比拟大小的方法原理一样，变形后判断符号时要注意充分 利用题目中的条件.跟踪训练2cb09 c0, ba0,c c、cc c一一工0,一 a ba b方法二 9：ah0, b a三、利用不等式的性质求代数式的取值范围例3一6。8,2。3,求2+。，ab及号的取值范围.解 因为一 6tz8,2/?3,所以一122。16,所以一10
8、2a+/?19.又因为一3一/?2,所以一94一。6.v 1 1 1又及9当0(。8时，044；当 一6。0 时，0一。6,所以03,所以一3京0.由得一3令4.反思感悟 利用不等式的性质求取值范围的策略(1)建立待求范围的整体与范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求 得待求的范围.同向不等式的两边可以相加，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中屡次使用这种转 化，就有可能扩大其取值范围.跟踪训练31 *6,3从4,那么ah的取值范围是,另的取值范围是答案3ab3 12角翠析 * 3 b4,43./. 1 4qb6 3,即一3一/?3.1-3 1 - b y1-4兀6-3 4r
9、 lrbB. a2b2C.1D. tz3/?3答案D解析可利用赋值法.令。=1, b=2,满足。乩 但a2b2, =3b=acrbczB=abC.C.ab, ab0, D.ab答案C解析当c=0时，A不成立；当c0时，B不成立；abb=即，；,C 成立; ab ab a b同理可证D不成立.2 .假设la3, 4Z?2,那么q依的范围是()A. 一3。一|b|3B. 3ab5C. -3ab3D. abA答案c解析/ -4b29 0W|例4,I. 4|Z?|0.又 */ 1 a3,3a|Z?|b, cbQ, cdbc0,那 *答案(1) (2) (3) (4)0,那么以下不等式中一定正确的选项是
10、（）A另B.P小C. crh答案A角星析 v0, /.0, ,.：h, cd,那么 a+hc-dB.假设 a b,那么 c一C.假设 ah, c。2,那么一一/7,所以一4。，所以cc+8,那么B正确；选项C不满足倒数不等式的条件，如c0d时，不成立；选项D,当q= -1, /?=0时不成立.3 .设a, 假设。+|。|0B. 6z3+Z?30C. crb20D. a+b0答案D解析 此题可采用特殊值法，取=-2, b=l,贝I 一。0, a3+b30, +/?= 10,故 A, B, C 错误，D 正确.4 .bbbaB. ababC. abb aD. dbab 答案C.假设小人都是实数，那
11、么“班一班0”是庐0”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A.（多项选择）给出以下命题，其中正确的命题是（）A. ah=a2hah2B. ah=a2h2C. ab=a?h?,D. aha1h2答案BC解析 对于A,当0, bVO时不成立；选项B一定成立；对于 C,当 ah 时， Z?3 = （Z?）（cz2+tzZ?+Z?2） = （tz/?）0 成立；对于D,当人3,但22（ 3产5 .设a, b,。是任意实数，能够说明“假设eV。，且acVO,贝U是假命题的一组整 数，b,。的值依次为.答案1,0, 一1（答案不唯一）解析 假设cba且ac0,
12、 c0,那么取。=1, b=0, c= 1,那么满足条件ac09但abac不成立.6 .假设4 = 坨；力1，且qA，假设2=土，那么m的取值范围是 答案ov加wg解析假设A=y|yl,且那么e, 所以q+223,所以出W/ 即0mwg.7 .1。2,2人4,求3。一人与号的取值范围.解 因为所以 3V3aV6, -4-b-294 。 2所以一13一匕4, 11.10 .下面是甲、乙、丙三位同学做的三个题目，请你看看他们做得对吗？如果不对，请指出 错误的原因.甲：因为一6。8, 4/?2,所以一2ab6.乙：因为2。3,所以!悬，5 b 1又因为一68,所以一2齐4.丙：因为 2一/?4,所以
13、一4。一 2.又因为一2。+/?2,所以 0。3, 3。0,所以一3 V。+b3.解 甲同学做的不对，因为同向不等式具有可加性，但不能相减，甲同学对同向不等式求差 是错误的.乙同学做的不对，因为不等式两边同乘以一个正数，不等号的方向不变，但同乘以一个负数, 不等号方向改变，在此题中只知道一68,不明确，值的正负.故不能将944与一6战8 J ty两边分别相乘，只有两边都是正数的同向不等式才能分别相乘.丙同学做的不对，同向不等式两边可以相加，这种转化不是等价变形.丙同学将2a-b4 与一2+/?2两边相加得03,又将一4ba2与一2va+/?2两边相加得出一3。0, 又将该式与0。3两边相加得出
14、一32 且。1 是且2” 的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A.xyz, x+y+z=O,那么以下不等式中一定成立的是（）A. xyyzB. xzyzC. xyxzD. x|y|z|y|答案C解析因为 xyz, x+y+z=O,所以 3xx+y+z=0,3z0, zz,.有外表一样，重量不同的四个小球，它们的重量分别是m b, c, d,a+/?=c+d, a+db+c, a+cbacB. hcdaC. dhcaD. cadh答案A解析+b=c+d, a-dh-c9A（2+J+ （tz+b）b+c+（c+J）,即 ac./. bd.又/. abac.13 .三个不等式：加?0； （2）pbcad.假设以其中的两个作为条件，余下的一个作为结论，那么可以组成 个正确命题.答案3解析 =，二（证明略） hrad由得0,又由得ad0,所以所以可以组成3个正确命题.a拓广探究.某高校在2022年9月初共有2名在校学生，其中有（机）名新生，在9月底，又补录 了 b名学生，那么新生占学生的比例（选填“变大”“变小”或“不变”），其理 论论据用数学形式表达为.n n + h答案变大假设例0, b3那么弓m m-vb