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1、第2课时一元二次不等式的应用【学习目标】L熟练掌握分式不等式的解法2理解一元二次方程、二次函数、一元二次不等式 之间的关系3构建一元二次函数模型，解决实际问题.一、解简单的分式不等式问题问题鸿0与。-3)。+2)0等价吗？ *|力。与(x3)(x+2)20等价吗?提示x3x+20 与(x3)。+2)0 等价;x3x+220与(x3)。+2)2。不等价，前者的解集中没有-2,后者的解集中有一2.例1解以下不等式：x+1小丁。;X- 1m解(1)原不等式可化为(x+ l)(2x1)0, lx2?、故原不等式的解集为1X Y 1(2)原不等式可化为二二0,(x l)(3x+5)W0,3x+50,一,
2、 5产即WL故原不等式的解集为|(), A I 乙x- 1 (x+2)x+2x- 1 (x+2)x+20,贝I x2.故原不等式的解集为x|x 与投入本钱增加的比例x的关系式；为使本年度的年利润比上年度有所增加，那么投入本钱增加的比例x应在什么范围内？解 (1)由题意得 丁=12(1+0.75%)一 10(1+切+10 000X(1+0.6%)(0%1),整理得 y = 6 OOOx2+2 000x+20 000(0x0, 0x0,I即八解得04号0%0的解集是31 尤3,那么不等式-7Vo的解集是 人I U4人 CZA.ix312 x2B.ixx-|或九CSx2 X0等价于(如一l)(x+/
3、?)0,而(qxl)(x+Z?) = O的两根为7 h,因为不等式解集为x|-lx3,故可得a0,且!=一晨一=3,那么=1,人=一3；M .2ar+ 1 ee_2x+1 那么五二To即WTT3 i0,解得 xx，.D.ix11 .假设心0, b0,那么不等式一从ga的解集为（）答案解析解析原不等式可化为j 1一, lx侬+10, xax 10,I x九 v-g 或 x0,可得1x0 或故不等式的解集为x或W12 .qZ关于光的一元二次不等式工26工+。W0的解集中有且仅有3个整数，那么所有 符合条件的。的值之和是（）A. 13 B. 18 C. 21 D. 26答案C解析设y=f6x+m如图
4、，其图象为开口向上，对称轴为x=3的抛物线,根据题意可得/ = 3640,解得tz9,因为yWO的解集中有且仅有3个整数，结合二次函数的对称性可得4 12+。0,二， 、八 解得5。8,又Z, 6+0,所以。=6,7,8,所以符合题意的a的值之和6 + 7 + 8 = 21.14 .定义在R上的运算“软：x0y=x(l-y),关于x的不等式(xa)G)(x+)0,当 4 = 2时，不等式的解集为.答案x|1%0 即为(x2)(1 X2)0,即(x2)(%+1)12,s 乙nO.OSx+O.OOSx2，。.分别求解，得力甲v一40或1甲30,x 乙v一50 或 x 乙40.由于 x09 从而得
5、x 甲30 km/h, x 乙40 km/h.经比拟知乙车超过限速，应负主要责任.16.某热带风暴中心8位于海港城市A南偏东60。的方向，与A市相距400 km.该热带风暴 中心3以40 km/h的速度向正北方向移动，影响范围的半径是350 km.问：从此时起，经多少 时间后A市将受热带风暴影响，大约受影响多长时间？解 如图，以A市为原点，正东方向为x轴建立直角坐标系.北西 /L本海港城市4夕、， x,6()o、W50 km;；台风中芯万一,南、JAB=400, ZBAx=309，台风中心3的坐标为(20即，-200), xh后台风中心B到达点？(20即，40x200)处.由，A市受台风影响时
6、，有APW350,即(20075)2+(40X-200)2 W 3502,整理得 16x2-160x+3750,解这个不等式得3.75x625,A市受台风影响的时间为6.25-3.75 = 2.5(h).故在3.75h后，A市会受到台风的影响，时间长达2.5h.反思感悟分式不等式的解法(1)对于比拟简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零.对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为 不等号右边为零，然后再用上述方法求解.跟踪训练1解以下不等式:x+1 (x+ l)(x3)0,5x+1 RE.x 1
7、解(1)不等式:20可转化成不等式组， 解得xW 1或x3.即原不等式的解集为x|xW 1或x3.一山 i、5x+ 11 , 一、，5x+1(2)不等式 3可改与为+ 30,2(x 1) 即七 可将这个不等式转化成2(x-l)(x+l)0的解集为x2x3,求关于x的不等式0?+历:+0 的解集.解 由不等式的解集为x|2v3可知0,且2和3是方程ax2-hx-c=0的 两根，由根与系数的关系可知=5, ?=6.故2=上映c 6又由a0知c0,cc66解得或XT,所以不等式cf+法+q0的解集.b解 由根与系数的关系知?=-5,5=6且。0. CL-VAcOy60-解得 _3x0的解集为x2x3
8、”变为“不等式af+cN0的解集是x.求不等式。+法+0的解集解 方法一 由 加+法+。20的解集为,x gwxWZ，知。0,且一；，2为方程ax1-hx-c=0的两个根,X2=*。，V+2=-9.b c ，不等式cf+Zn+ov。变为+。0,又 */。0, /. 2x2 + 5x30,故所求不等式的解集为卜-3r.方法二由得a。,设方程cf+/?x+a=0的两根分别为xi, X2,那么 Xl+X2= -那么 Xl+X2= -7 X1X2=7,其中台X2b 1-3；+25一丁可L Q -1X J 9 X2 - 2,二不等式c/+Z?x+0的解集为葡3x0）的解集，求解其他不等式的解 集时，一般
9、遵循根据解集来判断二次项系数的符号.（2）根据根与系数的关系把。，c用a表示出来并代入所要解的不等式.（3）约去，将不等式化为具体的一元二次不等式求解.跟踪训练2关于x的不等式x2+qx+00的解集为xlx0的解集.解 +ax+/?0.解得入弓或工1 .加+以+10的解集为卜或xl三、一元二次不等式的实际应用例3 （教材P54页例5改编）某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离（刹车距离是指汽车刹 车后由于惯性往前滑行的距离）s m和汽车刹车前的车速x km/h有如下关系：s=2x+$2. 在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离不小于22.5 m,那么这辆汽车刹车前的车速至少 为多少？解由题意可得
10、5= 2x+A,x222.5,化简得-36x40520,解得xN45或xW9, 又二”。，x245.这辆汽车刹车前的车速至少为45 km/h.反思感悟解不等式应用题的步躲跟踪训练3某施工单位在对一个长800 m,宽600 m的草坪进行绿化时，是这样想的：中 间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如下图，假设要保证绿草坪的面积不小于总面积的二 分之一，试确定花坛宽度的取值范围.解 设花坛的宽度为xm,那么草坪的长为(8002x)m,宽为(6002x)m.根据题意得(8002%)-(600 - 2%) 2 J X 800 X 600,整理得 X2-700%+60 00020,0Vx300,解得尤260
11、0(舍去)或xWlOO,由题意知x。，所以。xW100,所以当x在04W100之间取值时，绿草坪的面积不小于总面积的二分之一.课堂小结-.知识清单：(1)简单的分式不等式的解法.二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用.(3)一元二次不等式的实际应用.1 .方法归纳：转化法、恒等变形法.2 .常见误区：解分式不等式要等价变形.利用一元二次不等式解决实际问题时，应注意实际意义.N随堂演练Y 11 .不等式一行lB. xx2C. x| 2xlD. x|xl答案C尸、2.假设不等式加+法+1。的解集为 1 x。的解集为卜一1%上,即方程加+法+1=0的解为一1,由方程的根与系数的关系可得*.a-
12、b= -5.3.不等式的解集为x| -2%0的解集为（）A： x 1xl |B.卜 xl C.1x lx2 f答案D解析 因为不等式加+/?尤+o0的解集为国一2rvl, 所以0可化为一2加一or+a0, 因为 a0,即（2% l）（x+1）0,解得X*或xv1.4.某商品在最近30天内的价格y与时间/(单位：天)的关系式是yi=，+10(0uW30, 1N)； 销售量”与时间，的关系式是”=，+35(0，30, fN),那么使这种商品日销售金额z不小 于500元的t的取值范围为.答案巾0W/W15, /eN)解析 z=(/+10)(-r+35),依题意有。+10)(一，+35)2500,解得
13、 10W/W15, 所以解集为110W/W15, TEN.课时对点练E3x51.假设：二_ 20, q： a2-7x+100,那么是 q 的(A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案B2 .不等式的解集是() 人 I Ixx 1 或一lxW2A. RlWxW2x|x-1 或x22B. x|lxW2答案D解析此不等式等价于,(x2)(x+ 1)WO, x+1 WO,- 1xW2.3 .不等式箕一的解集是()33A/x 尸贮2 rBAx W2或%百 fD.lx ，答案B解析不等式有力，移项得有一上。,(x2)0,(x2)0,x2W0,3x4即一可化为x233解得
14、#xv2,那么原不等式的解集为x不火2 :4.某服装厂生产某种风衣，月销售量x(件)与售价P(元/件)的关系为2=300 2x；生产x件 的本钱厂=500+30x元，为使月获利不少于8 600元，那么月产量x需满足()A. 55WxW60B. 60WxW65C. 65WxW70D. 70WxW75答案c解析 由题意可得(300-2x)x-(500+30x)8 600,即 x2135x+4 550W0,那么(x65)(x70)0,故 65WxW70.5 .某地每年销售木材约20万立方米，每立方米价格为2 400元，为了减少木材消耗，决定 按销售收入的/%征收木材税，这样每年的木材销售量减少蚤万立
15、方米.为了既减少木材消耗 又保证税金收入每年不少于900万元，贝h的取值范围是()A. 1|1W/W3B. ，|3W，W5C. ，|2W/0的解集是x lx2,那么以下选项正确的选项是()b0A. a-b-c0a+b+c0D.不等式of+8x+c。的解集是x| 2xl答案ABDb解析 对于A,。0,依题意知一1,2是方程加一bx+c=0的两个根，所以-1 + 2=1=) 1义2=二 所以/?=，c2a,所以Z?0,所以A正确;对于B,由题意可知当=1时不等式成立，一+c0,所以B正确；对于 C,当 x= -1 时 qx2/?x+c=O,即 q+Z?+c=O,所以 C 错误；对于D,由题得以2+
16、/zx+c0可化为苏+如一20,因为0,所以f+无一20,所以2xl,所以不等式a+x+oO的解集是x|2xl,所以D正确.7 .写出一个一元二次方程q/ + 2x+1=03W()有一个正实数根和一个负实数根的一个充分 不必要条件.答案。一1(答案不唯一)解析 因为办2+2%+l=0(W0)有一个正实数根和一个负实数根，设为汨，及，所以 XX2。，即。V0,故只需写出一个比V0范围小的范围即可.8 .关于光的不等式加+反+c0的解集是卜X一寺,那么尔一Zzx+c0的解集 为答案卜!x2 解析 由题意知，一2,一；是方程af+bx+cn。的两个根，且0,即为2x25x+20,解得*x0的解集为x Tx2) 、9 .关于x的不等式的解集为卜会假设 求a, c的值；(2)解关于x的不等式of+(ac+2)x+2c20.解 由题意知，不等式对应的方程tzx2+5x+c=0的两个实数根为J和I，由根与系数的关系，得由根与系数的关系，得解得 Q=6, C= 1.(2)由 a= 6, c= 1 知不等式 6rx2+(6zc+2)x+2c0 可化为一6f+8x220,