2-1等式性质与不等式性质-【题型分类归纳】)2.docx

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1、2等式性质与不等式性质一.等式的基本性质.如果a = b r那么b = a.1 .如果 a = b f b = c ,那么 a = c.2 .如果a-b t那么ac = bc.3 .如果a = b r那么ac = be.4 .如果。,存0 ,那么2 = Lz Cz二、不等式的性质崛别名性质内容注意1对称性abbb , bc=ac不可逆3可加性ab=a + cb + c可逆4可乘性ab , cOacbcab t cOacb , cd=a + cb + d同向6正数同向可乘性ab0 , cdOacbd同向7正数乘方性abOanbn(n N , n2)同正三、比拟两个实数(或代数式)大小1、作差法、

2、作商法是比拟两个实数(或代数式)大小的基本方法.作差法的步骤:作差、变形、判断差的符号、得出结论.作商法的步骤:作商、变形、判断商与1的大小、得出结论.2、介值比拟法也是比拟大小的常用方法,其实质是不等式的传递性:假设a b , bc,那么ac;假设bc ,那么abc B . ac1 be2 C . ac = bcD . b-a B . C . |6z|Z7|D . a1 b2a ba-b a【答案】B【解析】选项A:由于avbvO,即而0 ,b-a0,所以工?=号0,所以,所以成立; a b aba b11 Z?11选项B :由于a0 ,即一人0 ,所以一-0 ,所以一-,所以不 a-b a

3、 a(a-b)a-b a成立;选项C:由于匕0,所以|加,所以成立;选项D :由于,所以一一人 ,所以切内,所以/,所以成立【变式1-2】以下命题正确的选项是()A .假设 ab,那么B .假设 ab ,那么。? a bC .假设ab , cA-d D .假设ab , cd ,贝(【答案】C【解析】A.假设,那么,取 =11=-1不成立 a bB假设ab,那么/,取 =0,。二 一1不成立C.假设ab , cd ,那么,取 =1=一 1,。= 1,4 = -2不成立故答案选【变式1-3假设a,),c为实数,且。匕0 ,那么以下命题正确的选项是()11八 b a0A . ac1 be2B . D

4、 . aba ba b【答案】D【解析】对于A,当c=0时,tzc2 =bc2 =0 , A错误;对于 B,当 q = _2 , Z? = l 时,=-,=-1 ,此时一不,B 书笥吴;a 2 ba b对于c,.2g=匕4。,一:,c错误; a b aba b又寸于D, Qab0 , .a-b0 , ab-b2 =b(a-b)0 f ,a2abb2 zDIE5ft.【变式1-4】。/eR,满足曲vO , a + b0 ,那么()A . 0C . a2 h2 D . a ba ha b【答案】C【解析】因h ,那么a0 z b 0 0 , A不正确; a bb 八4 八 b a 八_ _一0,7

5、。,那么一+ ;0 ,即 a0 ,那么/()2 , c 正确;由qZ?0得。| , D不正确.应选:C题型二比拟大小【例 2】= /2,b = V7 a/3, c = a/6 a/2,那么的大小关系为().A . ahc B . acb C . b a c D . bca【答案】B445/7 + y/3 a/6 + V2【解析】r = S-G=近:G , C = V一血=而:&,-.-V7+V3 V6+V2 ,.人0 ,故oc综上可得:acb .应选:B.【变式2-1】x23 ,比拟6与77二5的大小.【答案】y/X Jx -1 Jx - 2 Jx - 3【解析】因为(6 +Jx-3)= 2x

6、-3 +2jx(x-3)= 24-3 + 2&2 -3冗,(Jx-1 +1x-2) 2x 3 + 2小(1-1)(X-2) 2x 3 + 2-3x + 2 .所以(yfx + Jx - 3 )“ ( dx -1 + Jx - 2 ).所以 yjX + y/X3 yj X + N X - 2 ,BP yx Jx 1 a2b + ab2【解析】/+/(片匕+画2)=(3 _我)+仅3 _ab2)=a2g-b) + b?(b-a) = (a-b)a2-b1- (a-b)2(a + b).又。,b均为正实数,当。=。时,a-b = O,a3 +b3 =a2b + ab2 ;当aw/?时,(。一匕)2

7、0,4 + 8。,那么+尸/人+ /综上所述,a3 +b3 a2b + ab1 -【变式2-3】比拟3%2_% + 1与2/+%_1两个代数式的大小:;【答案】3x2-x+12x2+x-1 ;解析】v(3x2-x + 1)-(2x2+x-1) 2-2x+2 = (-1)2+10 ,因止匕,3x2-x + 12x2+x-1 ;【变式2-4】设 =(/ +。+ 1) , “ =片 一。+ 1 ,贝()A . Pq B . Pq D . p 0【解析】)+Q + i1 3,I 2j 4?(1 丫 3Q Cl 6Z + 1 QH 0 ,I 2; 42那么: -, 十 : =(八4 + +4 + )=(

8、+1)2_/=,2)2+/+.I d I I X |Wp&q ,当且仅当。=o时,取等号,应选:dl l a b【变式2-5】a0 r bQ ,试比拟6 +VF与下 + 下的大小;7b y/a【答案】G + 瓜,条+ 4 (当且仅当时取等号) 7b 7aa b一【解析】 中 亚 + G _ a + b斯 _(& + 迎)( + ) = 4 + /?_7所以G+加,金+白(当且仅当T时取等号).题型三求代数式的取值范【例3】假设25,3 vbvlO,那么q 2的范围为【答案】(-18,1)【解析】依题意可知-20 2Z? 6 ,由于2vqv5 ,由不等式的1生质可知一18va 2Z?1.【变式3

9、-1(多项选择)6vav60 , 15 Vb18 ,那么以下正确的选项是()1313B . +Z?(21,78)C . 6z-Z?e(-9,42)7 3935【答案】AB15Vb18 ,15Vb18 ,t 18 b 15 t【解析】因为6a60 ,所以, 6 a 60一 一18 b 1518 b 156 + 15。+/?60+18 , 618ab6015 ,伫51.13 J z伫51.13 J z1 ci. a + b a 即一 4 , 21va+78 , 12va45 ,那么= : + 1e3 bh b故AB正确,CD错.【变式3-2】1 v2a + )v2,3v 4,贝!J 4。一人的取值

10、范围是【答案】(5,10)【解析】令4a-b = m(2a + b) + n(a-b) = (2m + n)a + (m-n)b ,f 2m + 几=4贝!J解得m-n = -l n-2所以4q-Z? = (2a + Z?) + 2(a-),因为3v一b4 ,所以62(一力8 ,因为一Iv2a+Z?v2 ,所以一1 + 6 2以 + Z? + 2(。一。) 2 + 8 z所以5v4aZ?vlO ,所以4。力的取值范围为(5,10),【变式3-3实数% ,),满足TWx yWl , _l44x_y5,那么9% y的取值范围是() A . -7,26 B . 1,20 C . 4,15 D . 1

11、,15【答案】B【解析】令加=%-丁,n = 4x-y ,n-mx ,3 niln 85,那么 z = 9x y = _ mn-4m33y 二3I u 8840又,.一1 5, n,3 33Q 、因此-=”2。,故此题选B.12【变式3-4lx+”l , U 3,那么8、- 的取值范围是()C . 2,2,A . 2,28【答案】C解析令3x_y = s(x+y) + /(x_y) = (s +,)x+(s_/)y又-l4x+yl ,.lx-y3 , 2K2(xy)K6.+得143xy47 .(1 丫那么81-23 2,27题型四不等式的证明(a + A V n2 + A2(6i,Z?eR).

12、例4证明不等式色心 2ab ,+b2)a2 b2 +2ab ,所以 2(/+/(a + b)2两边同除以4 ,即得(先女,当且仅当=时,取等号.I 2 )2【变式4-1,求证/+一匚.b-c a-b a-c【答案】证明见解析.【解析】证明:(b - c)(c - a)(a - b)(a - b)(c -a) + (c - a)(b - c) + (b- c)(a - b)(q - b)(c -a)-(b- c)2(b c)(c 一 a)(a b)由 ,可知 4一0 , C 6Z U t (b-c)(c-a)(a-b)0 , -(b-c)2 b-c a-b a-c【变式4-2假设be 420 ,

13、仇/0 ,求证: 竺(4 b d【解析】证明:【解析】证明:a + b c + d ad+ bd-be-bd ad-bebdbdbdbe-ad NO, bdQ tad-be 八0 zbda+b c+d/.b d【变式4-3(1 )acZ? d ;(2 )。Z?,qZ?0 ,求证:; a b(3 )已矢口 a b 00 c . c d【答案】(1 )证明见解析;(2 )证明见解析;(3 )证明见解析.【解析】(1)因为ab,c八一c-d.那么 a cZ7-d.(2)因为,所以0. ab又因为ab ,所以二。二 ab ab即7 /因此一 b a a b(3)因为0c!(). c a又因为。人0 ,那么。,一,二,即一:. c a c a

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