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1、1.3充要条件真题探究考纲解读知识盘点典例精析例题备选命题预测基础拾遗技巧归纳考纲解读考纲解读命题预测命题预测知识盘点知识盘点典例精析典例精析技巧归纳技巧归纳真题探究真题探究基础拾遗基础拾遗例题备选例题备选考点考纲解读1“若p,则q”形式的命题了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系.2充要条件理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.从近年来的高考试题看,对四种命题及充要条件的考查多以选择题和填空题的形式出现,与函数、直线与平面、圆锥曲线等知识联系很紧密,要求考生理解命题的四种形式、充分条件、必要条件、充要条件的意义,能够判断给定的两个命题的逻辑关系.
2、一、四种命题及其关系考纲解读考纲解读命题预测命题预测知识盘点知识盘点典例精析典例精析技巧归纳技巧归纳真题探究真题探究基础拾遗基础拾遗例题备选例题备选1.四种命题原命题:若p则q;逆命题:若q则p;否命题:若 p则 q;逆否命题:若 q则 p.2.四种命题的相互关系考纲解读考纲解读命题预测命题预测知识盘点知识盘点典例精析典例精析技巧归纳技巧归纳真题探究真题探究基础拾遗基础拾遗例题备选例题备选一个命题和它的逆否命题是等价的.3.当判断一个命题的真假有困难时,可转化为其等价命题(如逆否命题)来判断真假,在四个命题中,真命题的个数只能为0,2,4.4.当一个命题有大前提,而要求写出其他三个命题时,应保
3、留大前提,大前提不能变动.5.“否命题”与“命题的否定”的区别:否命题是对原命题“若p则q”的条件和结论都否定,即“若 p则q”;考纲解读考纲解读命题预测命题预测知识盘点知识盘点典例精析典例精析技巧归纳技巧归纳真题探究真题探究基础拾遗基础拾遗例题备选例题备选论.二、充要条件1.若pq,则称p是q的充分条件,或称q是p的必要条件.2.若qp,则称p是q的必要条件,或称q是p的充分条件.3.若pq,则称p是q的充要条件.而原命题“若p则q”的否定是:“若p则 q”,即只否定原命题的结考纲解读考纲解读命题预测命题预测知识盘点知识盘点典例精析典例精析技巧归纳技巧归纳真题探究真题探究基础拾遗基础拾遗例题
4、备选例题备选1.“x2”是“”的()(A)充分不必要条件.(B)必要不充分条件.(C)充要条件.(D)既不充分也不必要条件.【答案】A【解析】-00 x2或x2,但2.考纲解读考纲解读命题预测命题预测知识盘点知识盘点典例精析典例精析技巧归纳技巧归纳真题探究真题探究基础拾遗基础拾遗例题备选例题备选2.“m”是“一元二次方程x2+x+m=0有实数解”的()(A)充分不必要条件.(B)充要条件.(C)必要不充分条件.(D)既不充分也必要条件.【答案】A【解析】一元二次方程x2+x+m=0有实数解的充要条件是=1-4m0,即m,“m0”的()(A)充分不必要条件.(B)必要不充分条件.(C)充要条件.
5、(D)既不充分又不必要条件.【解析】由xy0 x,y同正或同负,|x+y|=|x|+|y|,|x+y|=|x|+|y|,所以xy0|x+y|=|x|+|y|,但反之不能推出,如当x=0,y=2时,有|x+y|=|x|+|y|成立,却没有xy0成立,所以选B.【答案】B考纲解读考纲解读命题预测命题预测知识盘点知识盘点典例精析典例精析技巧归纳技巧归纳真题探究真题探究基础拾遗基础拾遗例题备选例题备选4.下列命题:若ac2bc2,则ab;若sin=sin,则=;“a=0”是“直线x-2ay=1和直线2x-2ay=1平行”的充要条件;若f(x)=log2x,则f(|x|)是偶函数.其中所有正确命题的序号
6、是.【解析】对于,当ac2bc2时,c20,ab,故为真命题;对于,若sin=sin,则=2k+(kZ),即与不一定相等,所以是假命题;对于,当a=0时,直线x=1和直线2x=1平行,反之,若两直线平行,则有考纲解读考纲解读命题预测命题预测知识盘点知识盘点典例精析典例精析技巧归纳技巧归纳真题探究真题探究基础拾遗基础拾遗例题备选例题备选或a=0,即a=0,因此a=0是直线x-2ay=1和直线2x-2ay=1平行的充要条件,所以是真命题;对于,f(|x|)=log2|x|,x(-,0)(0,+),且f(-x)=f(x),所以函数f(|x|)是偶函数,所以是真命题.【答案】考纲解读考纲解读命题预测命
7、题预测知识盘点知识盘点典例精析典例精析技巧归纳技巧归纳真题探究真题探究基础拾遗基础拾遗例题备选例题备选题型1四种命题的关系及真假判断例1以下关于命题的说法正确的有()“若log2a0,则函数f(x)=logax(a0,a1)在其定义域内是减函数”是真命题;命题“若a=0,则ab=0”的否命题是“若a0,则ab0”;命题“若x,y都是偶数,则x+y也是偶数”的逆命题为真命题;命题“若aM,则bM”与命题“若bM,则aM”等价.(A).(B).(C).(D).考纲解读考纲解读命题预测命题预测知识盘点知识盘点典例精析典例精析技巧归纳技巧归纳真题探究真题探究基础拾遗基础拾遗例题备选例题备选【分析】根据
8、四种命题的定义来确定一个原命题的逆命题、否命题、逆否命题.当命题较简单时,可直接判断其真假,若命题本身复杂或不易直接判断时,可利用其逆否命题来判断真假.【解析】对于,若log2a0=log21,则a1,所以函数f(x)=logax在其定义域内是增函数,因此是假命题,故不正确;对于,依据一个命题的否命题的定义可知,该说法正确;对于,原命题的逆命题是“若x+y是偶数,则x、y都是偶数”,是假命题,如1+3=4是偶数,但3和1均为奇数,故不正确;对于,不难看出,命题“若aM,则bM”与命题“若bM,则aM”互为逆否命题,因此二者等价,所以正确.综上可知正确的说法有,故选B.【答案】B考纲解读考纲解读
9、命题预测命题预测知识盘点知识盘点典例精析典例精析技巧归纳技巧归纳真题探究真题探究基础拾遗基础拾遗例题备选例题备选【点评】(1)熟悉四种命题的概念是正确书写或判断四种命题真假的关键;(2)根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假;(3)认真仔细读题,必要时举特例.考纲解读考纲解读命题预测命题预测知识盘点知识盘点典例精析典例精析技巧归纳技巧归纳真题探究真题探究基础拾遗基础拾遗例题备选例题备选变式训练1命题“若f(x)是奇函数,则f(-x)是奇函数”的否命题是()(A)若f(x)是偶函数,则f(-x)是偶函数.(B)
10、若f(x)不是奇函数,则f(-x)不是奇函数.(C)若f(-x)是奇函数,则f(x)是奇函数.(D)若f(-x)不是奇函数,则f(x)不是奇函数.【解析】否命题是既否定条件,又否定结论,因此原命题的否命题应为“若f(x)不是奇函数,则f(-x)不是奇函数”,故B正确.【答案】B考纲解读考纲解读命题预测命题预测知识盘点知识盘点典例精析典例精析技巧归纳技巧归纳真题探究真题探究基础拾遗基础拾遗例题备选例题备选题型2充分条件与必要条件的判断例2a,b为非零向量,“ab”是“函数f(x)=(xa+b)(xb-a)为一次函数”的()(A)充分不必要条件.(B)必要不充分条件.(C)充要条件.(D)既不充分
11、也不必要条件.【分析】先分清命题中的条件和结论,然后判断由条件能否推出结论,由结论能否推出条件,最后根据充分和必要条件的定义加以判断.考纲解读考纲解读命题预测命题预测知识盘点知识盘点典例精析典例精析技巧归纳技巧归纳真题探究真题探究基础拾遗基础拾遗例题备选例题备选【解析】由ab,得ab=0,f(x)=(xa+b)(xb-a)=x2ab+(b2-a2)x-ab.若ab,f(x)=(b2-a2)x,不一定是一次函数;若f(x)为一次函数,则所以“ab”是“函数f(x)=(xa+b)(xb-a)为一次函数”的必要不充分条件,故选B.【答案】B【点评】判断p是q的什么条件,基本方法是利用定义,从集合的角
12、度理解,小范围可以推出大范围,而大范围不能推出小范围.考纲解读考纲解读命题预测命题预测知识盘点知识盘点典例精析典例精析技巧归纳技巧归纳真题探究真题探究基础拾遗基础拾遗例题备选例题备选变式训练2给出下列命题:“数列an为等比数列”是“数列anan+1为等比数列”的充分不必要条件;“a=2”是“函数f(x)=|x-a|在区间2,+)上为增函数”的充要条件;“m=3”是“直线(m+3)x+my-2=0与直线mx-6y+5=0互相垂直”的充要条件;设a,b,c分别是ABC三个内角A,B,C所对的边,若a=1,b=,则“A=30”是“B=60”的必要不充分条件.考纲解读考纲解读命题预测命题预测知识盘点知
13、识盘点典例精析典例精析技巧归纳技巧归纳真题探究真题探究基础拾遗基础拾遗例题备选例题备选其中真命题的序号是(写出所有真命题的序号).【解析】对于,当数列an为等比数列时,易知数列anan+1是等比数列,但当数列anan+1为等比数列时,数列an未必是等比数列,如数列1,3,2,6,4,12,8显然不是等比数列,而相应的数列3,6,12,24,48,96是等比数列,因此正确;对于,当a2时,函数f(x)=|x-a|在区间2,+)上是增函数,因此不正确;对于,当m=3时,相应两条直线垂直,反之,这两条直线垂直时,m=3或m=0.因此不正确;对于,由题意得=,若B=60,则sinA=,注意到ba,故A
14、=30,反之,当A=30时,有sinB=,由于ba,所以B=60或B=120,因此正确.综上所述,真命题的序号是.【答案】考纲解读考纲解读命题预测命题预测知识盘点知识盘点典例精析典例精析技巧归纳技巧归纳真题探究真题探究基础拾遗基础拾遗例题备选例题备选题型3充分条件、必要条件的应用例3已知命题p:x2-5x-60,命题q:x2-2x+1-4a20(a0),若 p是 q的必要不充分条件,求实数a的取值范围.【分析】本题有两个思路:(1)先求出 p和 q,然后根据 q p求得a的取值范围;(2)p是 q的必要不充分条件,等价为:p是q的充分不必要条件,即pq.【解析】x2-5x-60,(x-6)(x
15、+1)0,p:-1x6,p:A=x|x6.x2-2x+1-4a20,考纲解读考纲解读命题预测命题预测知识盘点知识盘点典例精析典例精析技巧归纳技巧归纳真题探究真题探究基础拾遗基础拾遗例题备选例题备选x-(1+2a)x-(1-2a)0,又a0,q:1-2ax1+2a,q:B=x|x1+2a,p是 q的必要不充分条件,B是A的真子集,a.但当a=时,同样满足B是A的真子集,故a的取值范围为,+).【点评】利用充分条件、必要条件可以求参数的值或取值范围,其考纲解读考纲解读命题预测命题预测知识盘点知识盘点典例精析典例精析技巧归纳技巧归纳真题探究真题探究基础拾遗基础拾遗例题备选例题备选依据是充分、必要条件
16、的定义,其思维方式是:(1)若p是q的充分不必要条件,则pq但q推不出p;(2)若p是q的必要不充分条件,则qp,但p推不出q;(3)若p是q的充要条件,则pq.考纲解读考纲解读命题预测命题预测知识盘点知识盘点典例精析典例精析技巧归纳技巧归纳真题探究真题探究基础拾遗基础拾遗例题备选例题备选变式训练3已知p:|1-|2,q:x2-2x+1-m20(m0),若 p是 q的必要而不充分条件,求实数m的取值范围.【解析】由题意知,命题:若 p是 q的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为:p是q的充分不必要条件.p:|1-|2-2-12-13-2x10,q:x2-2x+1-m20 x-(1-m)x-(
17、1+m)0,(*)p是q的充分不必要条件,不等式|1-|2的解集是不等式x2-2x+1-m20(m0)解集的真子集.又m0,不等式(*)的解集为x|1-mx1+m.或m9,实数m的取值范围是9,+).考纲解读考纲解读命题预测命题预测知识盘点知识盘点典例精析典例精析技巧归纳技巧归纳真题探究真题探究基础拾遗基础拾遗例题备选例题备选1.判断逻辑关系的关键是分清条件和结论.2.判断“p是q的什么条件”的本质是判断命题“若p,则q”及“若q,则p”的真假.3.逻辑关系的判定有四种方法:定义法:若pq,则p是q的充分条件,q是p的必要条件;若pq,则p是q的充要条件.利用原命题和逆否命题的等价性来确定.p
18、q等价于 q p.利用集合的包含关系:记条件p、q对应的集合分别为A、B,若AB,则p是q的充分条件,q是p的必要条件;考纲解读考纲解读命题预测命题预测知识盘点知识盘点典例精析典例精析技巧归纳技巧归纳真题探究真题探究基础拾遗基础拾遗例题备选例题备选若AB,则p是q的充分不必要条件,q是p的必要不充分条件;若A=B,则A是B的充要条件;若AB且BA,则p是q的既不充分也不必要条件.利用“”的传递性.4.探索充要条件:在探索一个结论成立的充要条件时,一般先探索必要条件,再确定充分条件;也可以利用一些基本的等价关系来探索.考纲解读考纲解读命题预测命题预测知识盘点知识盘点典例精析典例精析技巧归纳技巧归
19、纳真题探究真题探究基础拾遗基础拾遗例题备选例题备选1.(2011年湖北卷)若实数a,b满足a0,b0,且ab=0,则称a与b互补.记(a,b)=-a-b,那么“(a,b)=0”是“a与b互补”的()(A)必要不充分条件.(B)充分不必要条件.(C)充要条件.(D)既不充分也不必要条件.考纲解读考纲解读命题预测命题预测知识盘点知识盘点典例精析典例精析技巧归纳技巧归纳真题探究真题探究基础拾遗基础拾遗例题备选例题备选【答案】C是“a与b互补”的充要条件.【解析】若(a,b)=0,则=a+b,两边平方整理得ab=0,且a0,b0,所以a,b互补;若a,b互补,则a0,b0,所以a+b0,此时有(a,b
20、)=-(a+b)=-(a+b)=(a+b)-(a+b)=0,所以“(a,b)=0”考纲解读考纲解读命题预测命题预测知识盘点知识盘点典例精析典例精析技巧归纳技巧归纳真题探究真题探究基础拾遗基础拾遗例题备选例题备选2.(2011年全国卷)下面四个条件中,使ab成立的充分不必要的条件是()(A)ab+1.(B)ab-1.(C)a2b2.(D)a3b3.【解析】若ab+1,则ab,但ab时不能保证ab+1,因而ab+1是使ab成立的充分不必要的条件.故选A.【答案】A考纲解读考纲解读命题预测命题预测知识盘点知识盘点典例精析典例精析技巧归纳技巧归纳真题探究真题探究基础拾遗基础拾遗例题备选例题备选例1设a
21、n是等比数列,则“a1a2a3”是“数列an是递增数列”的()(A)充分不必要条件.(B)必要不充分条件.(C)充要条件.(D)既不充分也不必要条件.考纲解读考纲解读命题预测命题预测知识盘点知识盘点典例精析典例精析技巧归纳技巧归纳真题探究真题探究基础拾遗基础拾遗例题备选例题备选是“数列an为递增数列”的充要条件,故选C.【答案】C【解析】若已知a1a2a3,设数列an的公比为q,则有a1a1q1,且a10,此时,数列an为递增数列;反之,若数列an为递增数列,则公比q1且a10,所以a1a1qa1q2,即a1a2a3,因此,“a1a2a3”考纲解读考纲解读命题预测命题预测知识盘点知识盘点典例精
22、析典例精析技巧归纳技巧归纳真题探究真题探究基础拾遗基础拾遗例题备选例题备选例2有下列四个命题:“若xy=1,则lgx+lgy=0”;“若sin+cos=,则=”的否命题;“若b0,则方程x2-2bx+b2+b=0有实根”的逆命题;“若AB=B,则AB”的逆命题.其中是真命题的有.【解析】对于,若x=y=-1,显然lgx+lgy不存在,所以错误;对于,可转化为判断其逆命题的真假,即“若=,则sin+cos=”的真考纲解读考纲解读命题预测命题预测知识盘点知识盘点典例精析典例精析技巧归纳技巧归纳真题探究真题探究基础拾遗基础拾遗例题备选例题备选假,显然是真命题;方程x2-2bx+b2+b=0有实数根时,=4b2-4(b2+b)=-4b0,b0,是真命题;若AB,则AB=B,所以是真命题.故是真命题.【答案】考纲解读考纲解读命题预测命题预测知识盘点知识盘点典例精析典例精析技巧归纳技巧归纳真题探究真题探究基础拾遗基础拾遗例题备选例题备选