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1、练习三十六练习三十六 可降阶的高阶方程可降阶的高阶方程 二、二、一、一、三、三、四、四、原题原题 二、二、2.解解 分离变量得分离变量得 两边积分得两边积分得 故所求通解为故所求通解为 的特解的特解.三、三、求求 解解代入方程得代入方程得 两边积分得两边积分得 因此满足所给条件的特解为因此满足所给条件的特解为 则则 令令 满足满足 的通解的通解.三、三、求求 解解代入方程得代入方程得 两边积分得两边积分得 从而将方程降为一阶方程从而将方程降为一阶方程 则则 令令 分离变量得分离变量得 求得其通解为求得其通解为 分离变量得分离变量得 的通解的通解.四、四、求求 解解代入方程得代入方程得 求得求得
2、 即即 故所求通解为故所求通解为 令令 则则 分离变量得分离变量得 自测题七自测题七 一、一、1.A 2.A 3.C 4.B 5.B 二、二、1.一阶一阶 七、七、高等数学（一）模拟试卷解答高等数学（一）模拟试卷解答 七、七、期终复习期终复习 常见题型常见题型 1.选择题选择题 2.填空题填空题 3.计算题计算题 4.应用题应用题 5.证明题证明题 连续性、间断点类型的判断、可导性、连续性、间断点类型的判断、可导性、中值定理、不定积分的概念、原函数、中值定理、不定积分的概念、原函数、积分上限的函数求导、定积分的性质、积分上限的函数求导、定积分的性质、弧微分、曲率、弧微分、曲率、一阶微分方程的概
3、念一阶微分方程的概念 求极限、导数、不定积分、定积分求极限、导数、不定积分、定积分 函数图形的描绘、求极值、求面积、函数图形的描绘、求极值、求面积、求体积、求弧长、求曲线方程求体积、求弧长、求曲线方程 证明方程根的存在性、证明不等式、证明方程根的存在性、证明不等式、证明积分恒等式证明积分恒等式注意注意 1.求极限、导数、积分时，求解一阶微分求极限、导数、积分时，求解一阶微分 方程时首先判断类型方程时首先判断类型 2.求不定积分时，要加求不定积分时，要加C 3.定积分是常数，不能加定积分是常数，不能加C 4.求面积、体积时，先画出图形求面积、体积时，先画出图形 5.考试时，带好尺规考试时，带好尺
4、规 一、填空题（每小题一、填空题（每小题4 4分，共分，共1616分）分）二、选择题（每小题二、选择题（每小题4 4分，共分，共1616分）分）三三.求下列各积分（每小题求下列各积分（每小题5分，共分，共35分）分）四、四、求下列各极限（每小题求下列各极限（每小题5 5分，共分，共1010分）分）六、六、求心形线求心形线 的全长的全长(7(7分分).).五、五、求曲线求曲线所围图形的面积所围图形的面积(7(7分分)4xyo1七.七.求摆线求摆线 一拱与一拱与x轴所围图形轴所围图形绕绕x轴旋转一周所成立体体积（轴旋转一周所成立体体积（7 7分）分）.f(x)的定义域为的定义域为 使二阶导数为零的
5、点为使二阶导数为零的点为 定义域内无使一阶及二阶导数不存在的点定义域内无使一阶及二阶导数不存在的点.列表讨论列表讨论 f(x)的单调性、凹凸性：的单调性、凹凸性：补充点：补充点：九、证明：函数九、证明：函数 在在 上的最大值不超过上的最大值不超过 ，其中，其中n为正整数（为正整数（8 8分）分）.证明证明一、选择题（每小题一、选择题（每小题3 3分，共分，共1515分）分）2、是是 的（的（）间间断点断点.A)振荡振荡 B)跳跃跳跃 C)可去可去 D)无穷无穷 A)B)C)D)1、设设 且且 ，则则（）A)B)C)D)符号不能确定符号不能确定 A)B)C)D）4、方程、方程 是（是（）A)有三
6、个不同的实根有三个不同的实根 D)没有实根没有实根 B)有且仅有一个实根有且仅有一个实根 C)有且仅有两个不同的实根有且仅有两个不同的实根 二、填空题（每小题二、填空题（每小题3 3分，共分，共1515分）分）三、三、求下列各极限（每小题求下列各极限（每小题5 5分，共分，共1010分）分）2.解解 四、四、求下列各导数（每小题求下列各导数（每小题5 5分，共分，共1010分）分）1、求由方程求由方程 确定的函数确定的函数的微分的微分.解解 对上式两端求导得对上式两端求导得 整理得整理得 导数导数.解解 2、设设 二阶可导，求二阶可导，求的二阶的二阶五、五、求下列各积分（每小题求下列各积分（每
7、小题6 6分，共分，共3030分）分）六、六、设设 证证明明 （10分）分）（10分）分）八、八、附加题：附加题：设设 在在 0，1上具有二上具有二阶导阶导数，数，且满足条件且满足条件:（1）解）解 （2）证明）证明 祝同学们祝同学们 期末考试取得好成绩！期末考试取得好成绩！新年快乐！新年快乐！高等数学（一）模拟试卷解答高等数学（一）模拟试卷解答 七、七、一、填空一、填空题题（分）分）1、当、当 时时，在在 连续连续。12、,且且 则则 3 3、设设 ，则则与向量与向量 同向的同向的单单位向量位向量为为 4、5、曲、曲线线 与与 所所围图围图形的面形的面积为积为 二、选择题（二、选择题（分）分
8、）1、两平面、两平面 ，的夹角为的夹角为 A .；B）；C）；D）A）2、是是 的一个原函数，的一个原函数，C为任意常数，则为任意常数，则 的不定积分可表示为的不定积分可表示为 B B）C）D)A）(C0)3、，在在 A）不连续也不可导）不连续也不可导 B）连续不可导）连续不可导 C）可导不连续）可导不连续 D）连续且可导）连续且可导 处处 B4、时，时，是关于是关于 A）同阶而不等价的无穷小）同阶而不等价的无穷小 B）低阶无穷小）低阶无穷小 C）等价无穷小）等价无穷小 D）高阶无穷小）高阶无穷小的的 B 5、设、设 ，则同时与，则同时与 垂直的单位向量垂直的单位向量 =B。B）C）D）A）三
9、、求下列极限（三、求下列极限（分）分）原式原式 原式原式 1、2、=解解 另解另解 四、求下列导数或微分（四、求下列导数或微分（分）分）1、，求，求 解解 故故 2、，求，求 解解 3、求由、求由所确定函数所确定函数 的微分的微分 解解 4、求求所给方程两端对所给方程两端对x求导得求导得 解解 五、计算下列积分五、计算下列积分 分）分）1、=另解原式另解原式=2、解解 原式原式 =3、=4、=六、六、(8分）求曲线分）求曲线 与与 所围成图形绕所围成图形绕 x旋转一周所形成旋转体的体积。旋转一周所形成旋转体的体积。如图如图 =解解 七、（七、（8分）求过分）求过M（2，-3，4）且与）且与Z轴
10、垂直相交轴垂直相交 的直线方程的直线方程.轴交点为轴交点为由对称式方程，有由对称式方程，有 或或 直线与直线与Z 解解 证明证明 八（八（8分）证明当分）证明当 时，时，设设 =因此，因此，严格单调递增，严格单调递增，即有即有 故有故有 九、（九、（6分）设分）设在在上连续，且上连续，且 证明证明 证明证明作辅助函数作辅助函数4、已知已知5、已知已知三三、计算下列极限（每小题计算下列极限（每小题5分，共分，共10 分）分）1、8、，则弧微分，则弧微分11、抛物、抛物线线 在点（在点（2，0）处处的曲率的曲率为为：13、函数、函数带拉格朗日余项的带拉格朗日余项的n 阶麦克劳林公式是阶麦克劳林公式是：六六.（7分）分）七七.若函数若函数 在在 上连续，在上连续，在 内有二阶导数内有二阶导数，（7分）分）五五、求下列求下列导导数：数：（本题共（本题共12分）分）解解 解解 原式原式 解解 对左式两端积分得对左式两端积分得