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1、推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料菱形(第 1 课时)(30 分钟50 分)一、选择题(每小题 4 分,共 12 分)1.(2017 河北中考)求证:菱形的两条对角线互相垂直.已知:如图,四边形 ABCD 是菱形,对角线 AC,BD交于点 O.求证:ACBD.以下是排乱的证明过程:又 BO=DO,AO BD,即 ACBD.四边形ABCD 是菱形,AB=AD.证明步骤正确的顺序是()A.B.C.D.【解析】选 B.四边形ABCD 是菱形,AB=AD.又 BO=DO,AO BD,即 AC BD.2.(2017 苏州中考)如图,在菱形 ABCD中,A=60,AD=8,F 是 AB的中点.过点
2、F 作 FEAD,垂足为 E.将AEF沿点 A到点 B的方向平移,得到 AEF.设 P,P 分别是 EF,EF 的中点,当点 A 与点 B重合时,四边形PPCD的面积为()A.28B.24C.32D.32-8【解析】选 A.作 DH AB,PK AB,ELAB,在菱形 ABCD 中,A=60,AD=8,F 是 AB的中点,AF=4,EF=2,EL=,推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料P是 EF的中点,PK=,DH=4,?PPCD高为 4-=,S=8=28.3.如图,已知菱形 OABC 的顶点 O(0,0),B(2,2),若菱形绕点O逆时针旋转,每秒旋转 45,则第 60 秒时,菱形的对角
3、线交点D的坐标为()A.(1,-1)B.(-1,-1)C.(,0)D.(0,-)【解析】选 B.菱形 OABC 的顶点 O(0,0),B(2,2),得 D点坐标为(1,1).每秒旋转45,则第 60 秒时,得 4560=2700,2700 360=7.5 周,OD旋转了 7 周半,菱形的对角线交点D的坐标为(-1,-1).【变式训练】如图,在菱形 ABCD 中,点 A在 x 轴上,点 B的坐标为(8,2),点 D的坐标为(0,2),则点 C的坐标为_.【解析】连接 AC,BD交于点 E,如图所示:四边形ABCD 是菱形,AC BD,AE=CE=AC,BE=DE=BD,点 B的坐标为(8,2),
4、点 D的坐标为(0,2),推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料OD=2,BD=8,AE=OD=2,DE=4,AC=4.点 C的坐标为:(4,4).答案:(4,4)二、填空题(每小题 4 分,共 12 分)4.如图,在菱形 ABCD中,对角线 AC与 BD相交于点O,AC=8,BD=6,OEBC,垂足为点E,则OE=_.【解析】菱形的对角线互相垂直平分,OB=3,OC=4,BOC=90.BC=5.S OBC=OB OC,又 SOBC=BC OE,OB OC=BC OE,即 34=5OE.OE=.答案:5.(2017 哈尔滨中考)四边形 ABCD是菱形,BAD=60,AB=6,对角线 AC与
5、BD相交于点O,点 E 在 AC上,若 OE=,则 CE的长为 _.【解析】如图,四边形ABCD 是菱形,AB=AD=6,AC BD,OB=OD,OA=OC,BAD=60 ,ABD是等边三角形,推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料BD=AB=6,OB=BD=3,OC=OA=3,AC=2OA=6,点 E在 AC上,OE=,CE=OC+或 CE=OC-,CE=4或 CE=2.答案:4或 26.(2017 怀化中考)如图,在菱形 ABCD 中,ABC=120,AB=10cm,点 P是这个菱形内部或边上的一点.若以 P,B,C 为顶点的三角形是等腰三角形,则 P,A(P,A 两点不重合)两点间的最
6、短距离为_cm.导学号 42684245【解析】连接 BD,在菱形 ABCD 中,ABC=120,AB=BC=AD=CD=10cm,A=C=60,ABD,BCD都是等边三角形,若以边BC为底,则 BC垂直平分线上(在菱形的边及其内部)的点满足题意,此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短”,即当点 P与点 D重合时,PA 最小,最小值 PA=10;若以边PB为底,PCB为顶角时,以点 C为圆心,BC 长为半径作圆,与 AC相交于一点,则弧 BD(除点 B外)上的所有点都满足PBC是等腰三角形,当点 P在 AC上时,AP 最小,最小值为10-10;若以边PC为底,PBC为顶
7、角,以点 B为圆心,BC 为半径作圆,则弧 AC上的点 A与点 D均满足 PBC为等腰三角形,当点 P与点 A重合时,PA 最小,显然不满足题意,故此种情况不存在;综上所述,PD 的最小值为10-10(cm).推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料答案:10-10 三、解答题(共 26 分)7.(8分)如图,四边形 ABCD 是菱形,对角线 AC,BD相交于点O,DH AB于点 H,连接 OH,求证:DHO=DCO.【证明】四边形ABCD 是菱形,OD=OB,COD=90,DH AB,OH=OB,OHB=OBH,又 AB CD,OBH=ODC,在 RtCOD 中,ODC+DCO=90,在 R
8、tDHB中,DHO+OHB=90,DHO=DCO.【变式训练】如图所示,在菱形 ABCD中,ABC=60,DEAC交 BC的延长线于点E.求证:DE=BE.【证明】四边形ABCD 是菱形,AD BC,AB=BC=CD=DA.又 ABC=60,BC=AC=AD.DE AC,ACED 为平行四边形.CE=AD=BC,DE=AC.DE=CE=BC,推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料DE=BE.8.(8分)如图,在菱形 ABCD 中,对角线 AC,BD相交于点O,过点 D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E.导学号 42684246(1)证明:四边形 ACDE 是平行四边形.(2)若 AC=8
9、,BD=6,求 ADE的周长.【解题指南】(1)根据菱形的性质及DE BD可以证明四边形ACDE的对边平行,从而证明四边形ACDE是平行四边形.(2)根据菱形的性质可以求出菱形边长AD=CD=5,再根据平行四边形ACDE的性质求出DE和 AE的长,从而求出 ADE的周长.【解析】(1)四边形ABCD 是菱形,AB CD,AC BD,AE CD,AOB=90 ,DE BD,即 EDB=90,AOB=EDB,DE AC,四边形ACDE 是平行四边形.(2)四边形ABCD是菱形,AC=8,BD=6,AO=4,DO=3,AD=CD=5,四边形ACDE 是平行四边形,AE=CD=5,DE=AC=8,AD
10、E的周长为AD+AE+DE=5+5+8=18.【培优训练】9.(10 分)一种千斤顶利用了四边形的不稳定性.如图,其基本形状是一个菱形,中间通过推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料螺杆连接,转动手柄可改变ADC的大小(菱形的边长不变),从而改变千斤顶的高度(即 A,C 之间的距离).若 AB=40cm,当 ADC从 60变为120时,千斤顶升高了多少?(1.414,1.732,结果保留整数)导学号 42684247【解析】连接 AC,与 BD相交于点O,四边形ABCD 是菱形,AC BD,ADB=CDB,AC=2AO.当 ADC=60 时,ADC是等边三角形.AC=AD=AB=40cm.当 ADC=120 时,ADO=60 ,OAD=30,又 AD=40cm,OD=20cm.AO=20(cm),AC=40cm.因此增加的高度为40-40=40(-1)29(cm).