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1、推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料正方形(30 分钟50 分)一、选择题(每小题 4 分,共 12 分)1.下列命题中,真命题是()A.对角线相等的四边形是矩形B.对角线互相垂直的四边形是菱形C.对角线互相平分的四边形是平行四边形D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形【解析】选 C.满足选项A或选项 B中的条件时,不能推出四边形是平行四边形,因此它们都是假命题.由选项 D中的条件只能推出四边形是菱形,因此也是假命题.只有选项C中的命题是真命题.2.(2017 河南中考)我们知道:四边形具有不稳定性.如图,在平面直角坐标系中,边长为2 的正方形ABCD的边 AB在 x 轴上,AB 的中点是
2、坐标原点O,固定点 A,B,把正方形沿箭头方向推,使点 D落在 y 轴正半轴上点D 处,则点 C的对应点C 的坐标为()A.(,1)B.(2,1)C.(1,)D.(2,)【解析】选 D.过点 C 作 CEx 轴,垂足为 E点,AB=2,O是 AB的中点,OA=OB=1,在 RtAOD中,AD=2,ADO=30,DAO=60,ADBC,DAO=CBE=60,BCE=30,推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料BC=2,BE=1,CE=,EO=2,C 的坐标为(2,).3.(2017 攀枝花中考)如图,在正方形ABCD 中,点 E,F 分别在边BC,CD上,AEF是等边三角形,连接 AC交EF于
3、点 G,过点 G作 GH丄 CE于点 H,若 SEGH=3,则 SADF=()A.6 B.4 C.3 D.2【解析】选 A.如图,由题意知,EAF=60 ,EF=AF=AE,ABE ADF,BE=DF,CE=CF,BAE=DAF,AC垂直平分EF,CG=EF,即 EGH是等腰直角三角形,GH BC,EH=EC,S EGH=SEGC=SECF,将 ADF旋转至 ABF,作 FK AE于点 K,易知 FAE=30,FK=FA=EF,S ADF=SAEF=AE FK=EF2,推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料又 SECF=EFGC=EF2,S ADF=2SEGH=6.二、填空题(每小题 4 分
4、,共 12 分)4.(2017 天津中考)如图,正方形 ABCD和正方形EFCG 的边长分别为3 和 1,点 F,G 分别在边 BC,CD上,P 为AE的中点,连接 PG,则 PG的长为 _.【解析】延长 GE交 AB于点 O,作 PH OE于点 H.则 PH AB.P是 AE的中点,PH是 AOE的中位线,PH=OA=(3-1)=1.在 RtAOE中,OA=OE=2,在 RtPHE中,HE=PH=1.HG=HE+EG=1+1=2.在 Rt PHG 中,PG=.答案:5.如图,在正方形ABCD 中,AC 为对角线,点 E在 AB边上,EFAC于点 F,连接 EC,AF=3,EFC的周长为12,
5、则 EC的长为 _.推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料【解题指南】首先由正方形的性质,得 BAC=45;再由等腰三角形的判定与性质,得 EF=AF=3;然后由 EFC的周长为12,得到 CF=9-EC;最后由勾股定理,得(9-EC)2+32=EC2,解之即可得到正确答案.【解析】四边形ABCD 是正方形,BAC=45.EFAC,AEF=45=BAC.EF=AF=3.EFC的周长为12,EF+CF+EC=12.CF=9-EC.在 RtCEF中,由勾股定理,得(9-EC)2+32=EC2,解得 EC=5.答案:5 6.(2017 南充中考)如图,正方形 ABCD 和正方形CEFG的边长分别为
6、a 和 b,正方形 CEFG绕点 C旋转.给出下列结论:BE=DG;BE DG;DE2+BG2=2a2+2b2.其中正确的结论是_(填写序号).【解析】(1)正方形的各边相等,各角都是90,CB=CD,CE=CG,BCD=ECG=90 .BCD+DCE=ECG+DCE,即BCE=DCG.BCE DCG(SAS).BE=DG.可见结论正确.(2)如图,设 BE交 DC于点 M,交 DG于点 O.由 BCE DCG 可知 CBE=CDG,又 BMC=DMO,DOB=推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料DCB=90,即BE DG.可见结论正确.(3)连接BD,EG.BE DG,DE2+BG2=(
7、OD2+OE2)+(OB2+OG2)=(OD2+OB2)+(OE2+OG2)=BD2+EG2.由勾股定理得BD2+EG2=2a2+2b2.DE2+BG2=2a2+2b2.可见结论正确.答案:三、解答题(共 26 分)7.(12分)(2017 青岛中考)已知:如图,在菱形ABCD中,点E,O,F分别为AB,AC,AD 的中点,连接CE,CF,OE,OF.(1)求证:BCE DCF.(2)当 AB与 BC满足什么关系时,四边形 AEOF是正方形?请说明理由.【解 题 指 南】(1)由 菱 形 的 性 质 得 出 B=D,AB=BC=DC=AD,由 已 知 和 三 角 形 中 位 线 定 理 证 出
8、AE=BE=DF=AF,OF=DC,OE=BC,OE BC,由 SAS证明 BCE DCF即可.(2)由(1)得:AE=OE=OF=AF,证出四边形AEOF是菱形,再证出 AEO=90 ,即可得四边形AEOF是正方形.【解析】(1)四边形ABCD 是菱形,B=D,AB=BC=DC=AD,点 E,O,F 分别为 AB,AC,AD的中点,AE=BE=DF=AF,OF=DC,OE=BC,OE BC,在 BCE和 DCF中,BCE DCF(SAS).(2)当 AB BC时,四边形 AEOF是正方形.理由如下:由(1)得:AE=OE=OF=AF,四边形AEOF 是菱形,AB BC,OE BC,推荐学习K
9、12 资料推荐学习K12 资料OE AB,AEO=90 ,四边形AEOF 是正方形.【变式训练】如图,在正方形ABCD的外侧,作等边三角形ADE,连接 BE,CE.(1)求证:BE=CE.(2)求 BEC的度数.【解析】(1)四边形ABCD 为正方形,AB=AD=CD,BAD=ADC=90,三角形ADE为正三角形,AE=AD=DE,EAD=EDA=60.BAE=CDE=150 ,在 BAE和 CDE中 BAE CDE,BE=CE.(2)AB=AD,AD=AE,AB=AE,ABE=AEB,又 BAE=150,ABE=AEB=15,同理:CED=15,推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料 BE
10、C=60 -15 2=30.【培优训练】8.(14分)如图,在 ABC中,AB=AC,ADBC,垂足为点D,AN 是 ABC的外角 CAM 的平分线,CEAN,垂足为点 E.(1)求证:四边形 ADCE 为矩形.(2)当 ABC满足什么条件时,四边形 ADCE 是一个正方形?并给出证明.【解析】(1)在 ABC中,AB=AC,ADBC,BAD=DAC.AN是 ABC的外角 CAM 的平分线,MAE=CAE.DAE=DAC+CAE=180=90.又 AD BC,CE AN,ADC=CEA=90.四边形ADCE 为矩形.(2)例如,当 BAC=90 时,四边形 ADCE 是正方形.证明:BAC=9
11、0,AB=AC,ADBC于点 D,ACD=DAC=45,DC=AD.由(1)四边形 ADCE为矩形,矩形 ADCE 是正方形.【变式训练】如图,在正方形ABCD 中,点 M是对角线BD上的一点,过点 M作 ME CD交 BC于点 E,作 MF BC交 CD于点 F.求证:AM=EF.推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料【证明】过点 M作 MP AB交 AB于点 P,作 MQ AD交 AD于点 Q,四边形ABCD 是正方形,四边形MFDQ 和四边形PBEM 是正方形,四边形 APMQ 是矩形,AP=QM=DF=MF,PM=PB=ME,在 APM 和 FME中,APM FME(SAS),AM=EF.