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1、1第 22 练导数的概念及简单应用 明晰考情 1.命题角度：考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、极值和最值.2.题目难度：中低档难度考点一导数的几何意义要点重组(1)f(x0)表示函数f(x)在xx0处的瞬时变化率(2)f(x0)的几何意义是曲线yf(x)在点P(x0，y0)处切线的斜率1已知函数f(x1)2x1x1，则曲线yf(x)在点(1，f(1)处切线的斜率为()A1B 1C2D 2 答案A 解析由f(x1)2x 1x1，知f(x)2x 1x21x.f(x)1x2，且f(1)1.由导数的几何意义，得所求切线的斜率k1.2设函数f(x)x3ax2，若曲线yf(x)在点P(x0，f
2、(x0)处的切线方程为xy0，则点P的坐标为()A(0,0)B(1，1)C(1,1)D(1，1)或(1,1)答案D 解析由题意可知f(x)3x22ax，则有f(x0)3x202ax0 1，又切点为(x0，x0)，可得x30ax20 x0，两式联立解得a2，x0 1或a 2，x01，则点P的坐标为(1,1)或(1，1)故选 D.23(2018全国)设函数f(x)x3(a 1)x2ax，若f(x)为奇函数，则曲线yf(x)在点(0,0)处的切线方程为()Ay 2xByxCy2xDyx答案D 解析方法一f(x)x3(a1)x2ax，f(x)3x2 2(a1)xa.又f(x)为奇函数，f(x)f(x)
3、恒成立，即x3(a1)x2axx3(a1)x2ax恒成立，a1，f(x)3x21，f(0)1，曲线yf(x)在点(0,0)处的切线方程为yx.故选 D.方法二f(x)x3(a1)x2ax为奇函数，f(x)3x2 2(a1)xa为偶函数，a1，即f(x)3x2 1，f(0)1，曲线yf(x)在点(0,0)处的切线方程为yx.故选 D.4若直线ykxb是曲线ylnx2 的切线，也是曲线yln(x1)的切线，则b_.答案1ln2 解析ylnx2 的切线为y1x1x lnx11(设切点横坐标为x1)yln(x1)的切线为y1x21x ln(x21)x2x2 1(设切点横坐标为x2)，1x11x2 1，
4、lnx1 1lnx21 x2x21，解得x112，x212，blnx1 11ln2.考点二导数与函数的单调性方法技巧(1)若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f(x)0 或f(x)0.(2)若已知函数的单调性，则转化为不等式f(x)0或f(x)0在单调区间上恒成立问3题来求解5已知函数f(x)lnxx1x，若af 13，bf()，cf(5)，则()AcbaBcabCbcaDacb答案A 解析f(x)1x11x2x2x1x20 恒成立，f(x)在(0，)上为减函数af 13ln 13133 ln3 313f(3)3f()f(5)，abc.故选 A.6定义在R 上的可
5、导函数f(x)，已知y2f(x)的图象如图所示，则yf(x)的单调递增区间是()A0,1 B 1,2 C(，1 D(，2 答案D 解析根据函数y2f(x)的图象可知，当x2 时，2f(x)1?f(x)0，且使f(x)0 的点为有限个，所以函数yf(x)在(，2 上单调递增，故选D.7 若函数f(x)2x33mx2 6x在区间(2，)上为增函数，则实数m的取值范围为()A(，2)B(，2 C.，52D.，52答案D 解析f(x)6x26mx6，当x(2，)时，f(x)0恒成立，即x2mx10 恒成立，mx1x恒成立4令g(x)x1x，g(x)11x2，当x2 时，g(x)0，即g(x)在(2，)
6、上单调递增，m21252，故选 D.8定义在R 上的函数f(x)满足f(x)f(x)恒成立，若x12exf(x1)B1exf(x2)0，所以g(x)单调递增，当x1x2时，g(x1)2exf(x1)考点三导数与函数的极值、最值方法技巧(1)函数零点问题，常利用数形结合与函数极值求解(2)含参恒成立或存在性问题，可转化为函数最值问题；若能分离参数，可先分离特别提醒(1)f(x0)0 是函数yf(x)在xx0处取得极值的必要不充分条件(2)函数f(x)在a，b 上有唯一一个极值点，这个极值点就是最值点9若x 2 是函数f(x)(x2ax1)ex 1的极值点，则f(x)的极小值为()A 1B 2e3
7、C5e3D1 答案A 解析函数f(x)(x2ax1)ex1，则f(x)(2xa)ex1(x2ax1)ex1ex 1x2(a2)xa1 由x 2是函数f(x)的极值点，得f(2)e3(4 2a4a1)(a1)e30，5所以a 1.所以f(x)(x2x1)ex1，f(x)ex1(x2x 2)由 ex10 恒成立，得当x 2 或x1 时，f(x)0，且当x 2 时，f(x)0；当 2x1 时，f(x)0；当x1 时，f(x)0.所以x 1是函数f(x)的极小值点所以函数f(x)的极小值为f(1)1.故选 A.10已知函数f(x)axlnx，当x(0，e(e 为自然对数的底数)时，函数f(x)的最小值
8、为 3，则a的值为()AeBe2C2eD2e2答案B 解析函数f(x)的定义域为(0，)，函数f(x)的导数f(x)ax1x.当a0时，f(x)0，f(x)在(0，e 上单调递减，f(x)minf(e)0，与题意不符当a 0时，f(x)0 的根为1a.当 01ae 时，f(x)在 0，1a上单调递减，在1a，e 上单调递增，f(x)minf 1a1ln1a3，解得ae2.当1ae时，f(x)0，f(x)在(0，e 上单调递减，f(x)minf(e)0，与题意不符综上所述，ae2.故选 B.11设函数f(x)在 R上存在导数f(x)，对任意xR，都有f(x)f(x)x2，在(0，)上f(x)x，
9、若f(2m)f(m)m22m20，则实数m的取值范围为 _答案1，)解析令g(x)f(x)x22，则g(x)g(x)0，g(x)是 R上的奇函数又当x(0，)时，g(x)f(x)x0，所以g(x)在(0，)上单调递减，6所以g(x)是 R上的单调减函数原不等式等价于g(2m)g(m)0，g(2 m)g(m)g(m)，所以 2mm，m1.12(2018江苏)若函数f(x)2x3ax21(aR)在(0，)内有且只有一个零点，则f(x)在 1,1 上的最大值与最小值的和为_答案3 解析f(x)6x22ax2x(3xa)(x0)当a0时，f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增，又f(0)1，f(x)
10、在(0，)上无零点，不合题意当a 0时，由f(x)0，解得xa3，由f(x)0，解得 0 xa3，f(x)在 0，a3上单调递减，在a3，上单调递增又f(x)只有一个零点，fa3a32710，a 3.此时f(x)2x33x2 1，f(x)6x(x1)，当x 1,1 时，f(x)在 1,0 上单调递增，在(0,1上单调递减又f(1)0，f(1)4，f(0)1，f(x)maxf(x)minf(0)f(1)14 3.1已知f(x)lnx，g(x)12x2mx72(m0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f(1)，则m等于()A 1B 3C 4D 2 答案D
11、解析f(x)1x，直线l的斜率为kf(1)1.又f(1)0，切线l的方程为yx1.g(x)xm，设直线l与g(x)的图象的切点坐标为(x0，y0)，7则有x0m1，y0 x01，y012x20mx072(m0)，于是解得m 2.故选 D.2若函数f(x)x13sin2xasinx在(，)上单调递增，则a的取值范围是()A 1,1 B.1，13C.13，13D.1，13答案C 解析方法一(特殊值法)不妨取a 1，则f(x)x13sin 2xsin x，f(x)123cos 2xcos x，但f(0)1231230，不具备在(，)上单调递增，排除A，B，D.故选 C.方法二(综合法)函数f(x)x
12、13sin 2xasin x在(，)上单调递增，f(x)123cos 2xacos x 123(2cos2x1)acos x43cos2xacos x530，即acos x43cos2x53在(，)上恒成立当 cos x0 时，恒有 053，得aR；当 0cos x1 时，得a43cos x53cos x，令tcos x，g(t)43t53t在(0,1 上为增函数，得ag(1)13；当1cos x0 时，函数f(x)单调递增，此时由不等式f(x)(x2)ex0，解得x2.3 已知函数f(x)13x312mx24x3在区间 1,2上是增函数，则实数m的取值范围为()A4m5B2m4C m2D m
13、4答案D 解析函数f(x)13x312mx2 4x3，10可得f(x)x2mx4，函数f(x)13x312mx24x3 在区间 1,2上是增函数，可得x2mx40 在区间 1,2上恒成立，可得mx4x，x4x2x4x4，当且仅当x 2 时取等号，可得m4.4若函数f(x)(x1)ex，则下列命题正确的是()A对任意m1e2，都存在x R，使得f(x)1e2，都存在x R，使得f(x)mC对任意m1e2，方程f(x)m总有两个实根答案B 解析f(x)(x2)ex，当x2 时，f(x)0，f(x)为增函数；当x2 时，f(x)0，方程 6x22x10 中的 200 恒成立，即f(x)在定义域上单调
14、递增，无极值点7已知函数f(x)x22xa(ex 1ex1)有唯一零点，则a等于()A12B.13C.12D1 答案C 解析方法一f(x)x22xa(ex1ex 1)(x1)2aex 1e(x1)1，令tx1，则g(t)f(t1)t2a(etet)1.g(t)(t)2a(etet)1g(t)，函数g(t)为偶函数f(x)有唯一零点，g(t)也有唯一零点又g(t)为偶函数，由偶函数的性质知g(0)0，2a10，解得a12.故选 C.方法二f(x)0?a(ex 1ex1)x22x.ex1ex12 ex 1ex12，当且仅当x1 时取“”x22x(x1)211，当且仅当x1 时取“”若a0，则a(e
15、x1ex 1)2a，要使f(x)有唯一零点，则必有2a1，即a12.若a0，则f(x)的零点不唯一12故选 C.8 定义：如果函数f(x)在 m，n 上存在x1，x2(mx1x2n)满足f(x1)f nf mnm，f(x2)f nf mnm，则称函数f(x)是m，n 上的“双中值函数”已知函数f(x)x3x2a是0，a 上的“双中值函数”，则实数a的取值范围是()A.13，12B.32，3C.12，1D.13，1答案C 解析因为f(x)x3x2a，所以由题意可知，f(x)3x22x在区间 0，a 上存在x1，x2(0 x1x2a)，满足f(x1)f(x2)f af0a0a2a，所以方程3x22
16、xa2a在区间(0，a)上有两个不相等的实根令g(x)3x22xa2a(0 xa)，则412 a2a0，g0 a2a0，g a2a2a 0，解得12a1，所以实数a的取值范围是12，1.9已知函数f(x)axlnx，aR，若f(e)3，则a的值为 _答案32解析因为f(x)a(1 lnx)，aR，f(e)3，所以a(1 lne)3，所以a32.10已知函数f(x)x32ax21 在x1 处的切线的斜率为1，则实数a_，此时函数yf(x)在0,1上的最小值为_答案122327解析由题意得f(x)3x24ax，则有f(1)3124a1 1，解得a12，所以f(x)x3x21，13则f(x)3x22
17、x，当x0,1 时，由f(x)3x22x0，得23x1；由f(x)3x22x0，得 0 x23，所以函数f(x)在23，1 上单调递增，在0，23上单调递减，所以函数f(x)在x23处取得极小值，即为最小值，所以最小值为f 2323323212327.11(2018全国)已知函数f(x)2sinxsin2x，则f(x)的最小值是 _答案332解析f(x)2cosx2cos2x2cosx2(2cos2x1)2(2cos2xcosx1)2(2cosx 1)(cosx1)cosx10，当 cosx12时，f(x)0，f(x)单调递减；当 cosx12时，f(x)0，f(x)单调递增，当 cosx12
18、时，f(x)有最小值又f(x)2sinxsin2x2sinx(1 cosx)，当 sinx32时，f(x)有最小值，即f(x)min2 32 112332.12已知函数f(x)kx13exx，若f(x)0 的解集中只有一个正整数，则实数k的取值范围为 _答案1e216，1e13解析由f(x)0，即kx13exx0，即kx13xex只有一个正整数解，14设g(x)xex，所以g(x)1xex，当x0，当x1时，g(x)0，所以g(x)在(，1)上单调递增，在(1，)上单调递减，所以g(x)maxg(1)1e，由图可知，kx13xex的唯一一个正整数解只能是1，所以有2k132e2，k131e，解得1e216k1e13，所以实数k的取值范围为1e216，1e13.