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1、1第 18 练圆锥曲线的定义、方程及性质 明晰考情 1.命题角度：圆锥曲线是高考的热点，每年必考，小题中考查圆锥曲线的定义、方程、离心率等.2.题目难度：中档难度或偏难考点一圆锥曲线的定义与标准方程方法技巧(1)椭圆和双曲线上的点到两焦点的距离可以相互转化，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离(2)求圆锥曲线方程的常用方法：定义法、待定系数法1已知A(0,7)，B(0，7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是()Ay2x2481 Bx2y2481 Cy2x2481(y 1)Dx2y2481(x1)答案C 解析由两点间距离公式，可得|AC|13，
2、|BC|15，|AB|14，因为A，B都在椭圆上，所以|AF|AC|BF|BC|，|AF|BF|BC|AC|20，b0)的左焦点为F，离心率为2.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则该双曲线的方程为()A.x24y241B.x28y281C.x24y281D.x28y241 答案B 解析由e2知ab，且c2a.双曲线渐近线方程为yx.又kPF400c4c1，c4，则a2b2c228.故双曲线方程为x28y281.23已知椭圆x24y221 的两个焦点是F1，F2，点P在该椭圆上，若|PF1|PF2|2，则PF1F2的面积是 _答案2 解析由椭圆的方程可知a2，c2，且|
3、PF1|PF2|2a4，又|PF1|PF2|2，所以|PF1|3，|PF2|1.又|F1F2|2c22，所以有|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，即PF1F2为直角三角形，且PF2F1为直角，所以12PF FS12|F1F2|PF2|122212.4已知抛物线y116x2，A，B是该抛物线上两点，且|AB|24，则线段AB的中点P离x轴最近时点P的纵坐标为 _答案8 解析由题意得抛物线的标准方程为x216y，焦点F(0,4)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由|AB|AF|BF|(y14)(y24)y1y2 8，y1y216，则线段AB的中点P的纵坐标yy1y228，线段AB的中点P
4、离x轴最近时点P的纵坐标为8.考点二圆锥曲线的几何性质要点重组在椭圆中：a2b2c2，离心率为eca1ba2；在双曲线中：c2a2b2，离心率为eca1ba2.5(2018全国)双曲线x2a2y2b21(a0，b 0)的离心率为3，则其渐近线方程为()Ay2xBy3xCy22xDy32x答案A 解析双曲线x2a2y2b21 的渐近线方程为bxay0.又离心率caa2b2a3，3a2b23a2，b2a(a0，b0)渐近线方程为2axay0，即y2x.故选 A.6(2018全国)设F1，F2是双曲线C：x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点，O是坐标原点过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P
5、.若|PF1|6|OP|，则C的离心率为()A.5B2C.3D.2 答案C 解析如图，过点F1向OP的反向延长线作垂线，垂足为P，连接PF2，由题意可知，四边形PF1PF2为平行四边形，且PPF2是直角三角形因为|F2P|b，|F2O|c，所以|OP|a.又|PF1|6a|F2P|，|PP|2a，所以|F2P|2ab，所以ca2b23a，所以eca3.7在平面直角坐标系xOy中，双曲线x2a2y2b21(a0，b 0)的右支与焦点为F的抛物线x22py(p0)交于A，B两点，若|AF|BF|4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为_答案y22x解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由x2a2y
6、2b21，x22py，得a2y22pb2ya2b20，y1y22pb2a2.又|AF|BF|4|OF|，y1p2y2p24p2，即y1y2p，2pb2a2p，即b2a212，ba22，双曲线的渐近线方程为y22x.48已知双曲线C：x2a2y2b21(a0，b0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点若MAN60，则C的离心率为 _答案233解析如图，由题意知点A(a，0)，双曲线的一条渐近线l的方程为ybax，即bxay 0，点A到l的距离daba2b2.又MAN60，|MA|NA|b，MAN为等边三角形，d32|MA|32b，即aba2b232b
7、，a23b2，ecaa2b2a2233.考点三圆锥曲线的综合问题方法技巧(1)圆锥曲线范围、最值问题的常用方法定义性质转化法；目标函数法；条件不等式法(2)圆锥曲线中的定值、定点问题可以利用特例法寻求突破，然后对一般情况进行证明9如图，点F1，F2是椭圆C1的左、右焦点，椭圆C1与双曲线C2的渐近线交于点P，PF1PF2，椭圆C1与双曲线C2的离心率分别为e1，e2，则()Ae221e411e21Be222e411e21Ce221e412e21 1De22e412e211答案D 5解析设椭圆C1的方程为x2a2y2b21，点P的坐标为(x0，y0)，由图知x00，y00，因为点P在椭圆C1上，
8、所以|PF1|PF2|2a.又因为PF1PF2，所以|PF1|2|PF2|2 4c2，在 RtPF1F2中，易得|PF1|PF2|2cy0，联立，得y0b2c，代入椭圆方程，得x0acc2b2.因为点P在双曲线的渐近线上，所以双曲线的渐近线的斜率ky0 x0b2ac2b2a2c2a2c2a21e212e211，又在双曲线中易得其渐近线的斜率ke221，所以1e212e211e221，化简得e22e412e211，故选 D.10设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y22px(p0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为()A.33B.23C.22D 1
9、 答案C 解析如图，由题意可知Fp2，0，设P点坐标为y202p，y0，显然，当y00 时，kOM0 时，kOM0.要求kOM的最大值，不妨设y00，6则OMOFFMOF13FPOF13(OPOF)13OP23OFy206pp3，y03，kOMy03y206pp32y0p2py022222，当且仅当y202p2时等号成立故选C.11过抛物线yax2(a0)的焦点F作一条直线交抛物线于A，B两点，若线段AF，BF的长分别为m，n，则mnmn_.答案14a解析显然直线AB的斜率存在，故设直线方程为ykx14a，与yax2联立，消去y得ax2kx14a0，设A(x1，ax21)，B(x2，ax22)
10、，则x1x2ka，x1x214a2，x21x22k2a212a2，max2114a，nax2214a，mn14ak21a，mnk21a，mnmn14a.12已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的短轴长为2，上顶点为A，左顶点为B，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，且F1AB的面积为232，点P为椭圆上的任意一点，则1|PF1|1|PF2|的取值范围为 _答案1，4 解析由已知得2b2，故b1，F1AB的面积为232，12(ac)b232，ac23，又a2c2(ac)(ac)b21，a2，c3，71|PF1|1|PF2|PF1|PF2|PF1|PF2|2a|PF1|4|PF1|4|PF1|24|
11、PF1|，又 23|PF1|23，1|PF1|24|PF1|4，11|PF1|1|PF2|4，即1|PF1|1|PF2|的取值范围为1，4.1若点O和点F(2,0)分别为双曲线x2a2y21(a0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则OPFP的取值范围为()A3 23，)B 3 23，)C.74，D.74，答案B 解析由题意，得22a21，即a3，设P(x，y)，x3，FP(x2，y)，则OPFP(x2)xy2x22xx23143x34274，因为x3，所以OPFP的取值范围为 3 23，)2若椭圆的对称轴是坐标轴，且短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到同侧顶点的距离为
12、3，则椭圆的方程为_答案x212y291 或x29y2121 解析由题意，得a2c，ac3，所以a23，c3.所以b2a2c29.所以当椭圆焦点在x轴上时，椭圆的方程为x212y291；8当椭圆焦点在y轴上时，椭圆的方程为x29y2121.故椭圆的方程为x212y29 1 或x29y2121.3已知A(1,2)，B(1,2)，动点P满足APBP.若双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的渐近线与动点P的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是_答案(1,2)解析设P(x，y)，由题设条件，得动点P的轨迹为(x1)(x1)(y2)(y2)0，即x2(y2)21，它是以(0,2)为圆心，1 为半
13、径的圆又双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的渐近线方程为ybax，即bxay0，由题意，可得2aa2b21，即2ac1，所以eca1，故 1e0，b0)的一条渐近线方程为y52x，且与椭圆x212y231有公共焦点，则C的方程为()9A.x28y2101 B.x24y251 C.x25y241 D.x24y231 答案B 解析由y52x，可得ba52.由椭圆x212y231 的焦点为(3,0)，(3,0)，可得a2b29.由可得a24，b25.所以C的方程为x24y251.故选 B.3过抛物线y22px(p0)的焦点作直线交抛物线于P，Q两点，若线段PQ中点的横坐标为3，|PQ|10，则抛
14、物线的方程是()Ay24xBy22xCy28xDy26x答案C 解析设抛物线y22px(p0)的焦点为F，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由抛物线的定义可知，|PQ|PF|QF|x1p2x2p2(x1x2)p，线段PQ中点的横坐标为3，又|PQ|10，10 6p，可得p4，抛物线的方程为y28x.4已知椭圆C1：x2m2y21(m1)与双曲线C2：x2n2y21(n0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则()Amn且e1e21 Bmn且e1e21 Cmn且e1e21 Dmn且e1e21 答案A 解析由题意可得m21n2 1，10即m2n22，m0，n 0，故mn.又e21e2
15、2m21m2n21n2n21n22n21n2n42n21n42n211n4 2n21，e1e21.5已知双曲线：x2a2y2b21(a0，b0)的一条渐近线为l，圆C：(xa)2y28 与l交于A，B两点，若ABC是等腰直角三角形，且OB5OA(其中O为坐标原点)，则双曲线 的离心率为()A.2133B.2135C.135D.133答案D 解析双曲线的渐近线方程为ybax，圆(xa)2y2 8 的圆心为(a,0)，半径r22，由于ACB2，由勾股定理得|AB|222 2224，故|OA|14|AB|1.在OAC，OBC中，由余弦定理得cosBOCa2 182a52a2810a，解得a213.由
16、圆心到直线ybax的距离为 2，得abc2，结合c2a2b2，解得c133，故离心率为ca13313133.6(2018天津)已知双曲线x2a2y2b21(a 0，b0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1d26，则双曲线的方程为()A.x24y2121 B.x212y241 C.x23y291 D.x29y231 答案C 解析如图，不妨设A在B的上方，11则A c，b2a，B c，b2a.其中的一条渐近线为bxay0，则d1d2bcb2bcb2a2b22bcc2b 6，b3.又由eca2，知a2b24a2，
17、a3.双曲线的方程为x23y291.故选 C.7已知O为坐标原点，F是椭圆C：x2a2y2b2 1(ab0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点P为C上一点，且PFx轴过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为()A.13B.12C.23D.34答案A 解析设M(c，m)(m0)，则E0，amac，OE的中点为D，则D0，am2ac，又B，D，M三点共线，所以am2acamac，a 3c，所以e13.8设F1，F2分别为双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|PF2|3b，|PF1|PF2|94ab，则
18、该双曲线的离心率为()A.43B.53C.94D3 答案B 解析不妨设P为双曲线右支上一点，|PF1|r1，|PF2|r2.根据双曲线的定义，得r1r22a，又r1r23b，故r13b2a2，r23b2a2.又r1r294ab，所以3b 2a23b2a294ab，解得ba43(负值舍去)，故ecaa2b2a2ba21432 153，故选 B.9设F1，F2分别是椭圆x225y2161 的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|PF1|的最大值为 _答案15 12解析因为在椭圆x225y2161 中，a5，b4，所以c3，得焦点为F1(3,0)，F2(3,0)根据椭圆的定
19、义，得|PM|PF1|PM|(2a|PF2|)10(|PM|PF2|)因为|PM|PF2|MF2|，当且仅当P在MF2的延长线上时等号成立，此时|PM|PF1|的最大值为10515.10已知F是抛物线C：y28x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|_.答案6 解析如图，不妨设点M位于第一象限内，抛物线C的准线交x轴于点A，过点M作准线的垂线，垂足为点B，交y轴于点P，PMOF.由题意知，F(2,0)，|FO|AO|2.点M为FN的中点，PMOF，|MP|12|FO|1.又|BP|AO|2，|MB|MP|BP|3.由抛物线的定义知|MF|MB|3，故|FN
20、|2|MF|6.11 已知抛物线y22px(p0)上的一点M(1，t)(t0)到焦点的距离为5，双曲线x2a2y291(a0)的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值为 _答案3 解析由题意知1p25，p8.M(1,4)，由于双曲线的左顶点A(a，0)，且直线AM平行于双曲线的一条渐近线，41a3a，则a3.1312已知椭圆C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上异于长轴端点的任意一点，若M是线段PF1上一点，且满足MF12PM，MF2OP 0，则椭圆C的离心率的取值范围为 _答案12，1解析设P(x，y)(y0)，取MF1的中点N，由MF12PM知，NF112PN，解得点Nx2c3，y3，又MF2OP0，所以MF2OP，连接ON，由三角形的中位线可知ONOP，即(x，y)x2c3，y30，整理得(xc)2y2c2(y0)，所以点P的轨迹为以(c，0)为圆心，c为半径的圆(去除两点(0,0)，(2c，0)，要使得圆与椭圆有公共点，则acc，所以eca12，又 0e1，所以椭圆的离心率为12，1.