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1、试题、试卷、习题、复习、教案精选资料1课时规范练 43 空间几何中的向量方法一、基础巩固组1.若平面,的法向量分别为n1=(2,-3,5),n2=(-3,1,-4),则()A.B.C.,相交但不垂直D.以上均不正确2.已知平面 的一个法向量为n=(1,-,0),则y轴与平面 所成的角的大小为()A.B.C.D.3.两平行平面,分别经过坐标原点O和点A(2,1,1),且两平面的一个法向量n=(-1,0,1),则两平面间的距离是()A.B.C.D.34.已知向量m,n 分别是直线l和平面 的方向向量和法向量,若 cos=-,则l与 所成的角为()A.30B.60C.120D.1505.如图,过正方
2、形ABCD的顶点A,作PA平面ABCD.若PA=BA,则平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小是()A.30B.45C.60D.906.(2017 广东珠海质检)设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长是 2,则点D1到平面A1BD的距离是()A.B.C.D.7.如图,在正四棱锥S-ABCD中,O为顶点在底面上的射影,P为侧棱SD的中点,且SO=OD,则直线BC与平面PAC所成的角为.?导学号 21500564?8.如图,在三棱锥P-ABC中,AB=AC,D为BC的中点,PO平面ABC,垂足O落在线段AD上.已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2.(1)证明:APBC;(2)若点M是线段
3、AP上一点,且AM=3.试证明平面AMC平面BMC.9.试题、试卷、习题、复习、教案精选资料2在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AB=BC=3,AC=2,D是AC的中点.(1)求证:B1C平面A1BD;(2)求点B1到平面A1BD的距离.?导学号 21500565?二、综合提升组10.在三棱锥P-ABC中,PA平面ABC,BAC=90,D,E,F分别是棱AB,BC,CP的中点,AB=AC=1,PA=2,则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为()A.B.C.D.11.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,ACB=90,AC=1,CB=,侧棱AA1=1,侧面AA1B1B的两条对角线交于点D,
4、则平面B1BD与平面CBD所成的二面角的余弦值为()A.-B.-C.D.12.(2017 广东广州模拟)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=AA1=1.则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为.13.(2017 山东青岛模拟,理 17)如图,在多面体ABC-A1B1C1中,四边形A1ABB1是正方形,AB=AC,BC=AB,B1C1BC,二面角A1-AB-C是直二面角.求证:(1)A1B1平面AA1C;(2)AB1平面A1C1C.试题、试卷、习题、复习、教案精选资料314.如图所示,四棱锥S-ABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的倍,P为侧棱SD上的点.(1)求
5、证:ACSD.(2)若SD平面PAC,侧棱SC上是否存在一点E,使得BE平面PAC?若存在,求SE EC的值;若不存在,试说明理由.三、创新应用组15.(2017 宁夏中卫二模,理 18)如图,已知菱形ABCD与直角梯形ABEF所在的平面互相垂直,其中BEAF,ABAF,AB=BE=AF=2,CBA=.(1)求证:AFBC;(2)线段AB上是否存在一点G,使得直线FG与平面DEF所成的角的正弦值为,若存在,求AG的长;若不存在,说明理由.?导学号 21500566?16.(2017 山西吕梁二模,理 18)在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,底面ABCD是直角梯形,其中ADBC,ABAD
6、,AB=AD=BC,BE=BC.(1)求证:DE平面PAC;试题、试卷、习题、复习、教案精选资料4(2)若直线PE与平面PAC所成角的正弦值为,求二面角A-PC-D的平面角的余弦值.?导学号 21500567?课时规范练43 空间几何中的向量方法1.C因为 cos=0 且 cos1,所以,相交但不垂直.2.B可知y轴的方向向量为m=(0,1,0),设y轴与平面 所成的角为,则 sin=|cos|.cos=-,sin=,=3.B两平面的一个单位法向量n0=,故两平面间的距离d=|n0|=4.A因为 cos=-,所以l与 所成角 满足 sin=|cos|=,又,所以=30.5.B(方法一)建立如图
7、1 所示的空间直角坐标系,不难求出平面APB与平面PCD的法向量分别为n1=(0,1,0),n2=(0,1,1),故平面ABP与平面CDP所成二面角的余弦值为,故所求的二面角的大小是45.(方法二)将其补成正方体.如图 2,不难发现平面ABP和平面CDP所成的二面角就是平面ABQP和平面CDPQ所成的二面角,其大小为45.6.D建立如图所示的空间直角坐标系,则D1(0,0,2),A1(2,0,2),D(0,0,0),B(2,2,0),=(2,0,0),=(2,0,2),=(2,2,0).设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),则令x=1,则 n=(1,-1,-1),点D1到平面A1BD的距
8、离是d=试题、试卷、习题、复习、教案精选资料57.30如图所示,以O为原点建立空间直角坐标系.设OD=SO=OA=OB=OC=a,则A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0),P则=(2a,0,0),=(a,a,0).设平面PAC的法向量为n,可求得 n=(0,1,1),则 cos=60,直线BC与平面PAC所成角为 90-60=30.8.证明 (1)如图所示,以O为坐标原点,以射线OP为z轴的正半轴建立空间直角坐标系.则O(0,0,0),A(0,-3,0),B(4,2,0),C(-4,2,0),P(0,0,4).于是=(0,3,4),=(-8,0,0),=(0,3,4)(-8,0
9、,0)=0,即APBC.(2)由(1)知|AP|=5,又|AM|=3,且点M在线段AP上,又=(-4,-5,0),则=(0,3,4)=0,即APBM,又根据(1)的结论知APBC,AP平面BMC,于是AM平面BMC.又AM?平面AMC,故平面AMC平面BCM.试题、试卷、习题、复习、教案精选资料69.(1)证明连接AB1交A1B于点E,连接DE.可知E为AB1的中点,D是AC的中点,DEB1C.又DE?平面A1BD,B1C?平面A1BD,B1C平面A1BD.(2)解 建立如图所示的空间直角坐标系,则B1(0,2,3),B(0,2,0),A1(-1,0,3),=(0,2,3),=(0,2,0),
10、=(-1,0,3).设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),n=(3,0,1).故所求距离为d=10.C以A为原点,AB,AC,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,由AB=AC=1,PA=2,得A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0,2),D,E,F,=(0,0,-2),设平面DEF的法向量为n=(x,y,z),则由得取z=1,则 n=(2,0,1),设PA与平面DEF所成的角为,则 sin=,PA与平面DEF所成角的正弦值为11.A试题、试卷、习题、复习、教案精选资料7建立如图所示的空间直角坐标系,则C(0,0,0),B(,0,0),
11、A(0,1,0),B1(,0,1),D=(,0,0),=(-,1,0),=(0,0,1).设平面CBD和平面B1BD的法向量分别为n1,n2,可得 n1=(0,1,-1),n2=(1,0),所以 cos=,又平面B1BD与平面CBD所成的二面角的平面角与互补,故平面B1BD与平面CBD所成的二面角的余弦值为-12建立如图所示的空间直角坐标系,由于AB=2,BC=AA1=1,所以A1(1,0,1),B(1,2,0),C1(0,2,1),D1(0,0,1).所以=(-1,2,0),=(-1,0,1),=(0,2,0),设平面A1BC1的法向量为n=(x,y,z),则有令x=2,则y=1,z=2,则
12、 n=(2,1,2).又设D1C1与平面A1BC1所成的角为,则 sin=|cos|=13.证明二面角A1-AB-C是直二面角,四边形A1ABB1为正方形,AA1平面BAC.又AB=AC,BC=AB,CAB=90,即CAAB,AB,AC,AA1两两互相垂直.建立如图所示的空间直角坐标系,不妨设AB=2,则A(0,0,0),B1(0,2,2),A1(0,0,2),C(2,0,0),C1(1,1,2).(1)=(0,2,0),=(0,0,-2),=(2,0,0),试题、试卷、习题、复习、教案精选资料8设平面AA1C的一个法向量n=(x,y,z),则取y=1,则 n=(0,1,0)=2n,即n.A1
13、B1平面AA1C.(2)易知=(0,2,2),=(1,1,0),=(2,0,-2),设平面A1C1C的法向量m=(x1,y1,z1),则令x1=1,则y1=-1,z1=1,即 m=(1,-1,1).m=01+2(-1)+21=0,m.又AB1?平面A1C1C,AB1平面A1C1C.14.(1)证明连接BD,设AC交BD于点O,连接SO,则ACBD,由题意知SO平面ABCD.以O为坐标原点,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系如图.设底面边长为a,则高SO=a,于是S,D,C,则=0.故OCSD.从而ACSD.(2)解 棱SC上存在一点E使BE平面PAC.理由如下:由已知条件
14、知是平面PAC的一个法向量,且0,-a,设=t,则+t,由=0,解得t=当SE EC=21 时,又BE?平面PAC,故BE平面PAC.15.(1)证明菱形ABCD与直角梯形ABEF所在的平面互相垂直,ABAF,AF平面ABCD,BC?平面ABCD,AFBC.(2)解 取AB的中点O,连接CO,则COAB,平面ABCD平面ABEF,试题、试卷、习题、复习、教案精选资料9CO平面ABEF.建立如图所示的空间直角坐标系,则D(-2,0,),F(-1,4,0),E(1,2,0),=(1,4,-),=(-2,2,0),设平面DEF的法向量为n=(x,y,z),则即取 n=,设G(,0,0),-1,1,则
15、=(-1,4,0).直线FG与平面DEF所成的角的正弦值为,=-1-1,1,AG=0,直线FG与平面DEF所成的角的正弦值为16.(1)证明以A为原点,AB为x轴,AD为y轴,AP为z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.不妨设AB=AD=BC=2,则D(0,2,0),E(2,1,0),A(0,0,0),C(2,4,0),=(2,-1,0),=(2,4,0),=4-4+0=0,DEAC.PA平面ABCD,DE?平面ABCD,DEPA.PAAC=A,DE平面PAC.(2)解 设P(0,0,t)(t0),=(0,0,t),=(2,4,0),=(2,1,-t),设平面PAC的法向量n=(x,y,z),则取x=2,得 n=(2,-1,0),直线PE与平面PAC所成角的正弦值为,解得t=1 或t=-1(舍),试题、试卷、习题、复习、教案精选资料10P(0,0,1),=(2,4,-1),=(0,2,-1),设平面PCD的法向量m=(a,b,c),则取b=1,得 m=(-1,1,2),设二面角A-PC-D的平面角为,则 cos=二面角A-PC-D的平面角的余弦值为