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1、有限元与数值方法讲稿有限元与数值方法讲稿第1页，共47页，编辑于2022年，星期六教学内容教学内容计算固体力学的基本理论计算固体力学的基本理论n固体力学固体力学(以弹性力学为主描述以弹性力学为主描述)的基本理论的基本理论n能量、变分原理和变分法能量、变分原理和变分法n特殊问题的数值计算方法特殊问题的数值计算方法n介绍各类方法的构造过程介绍各类方法的构造过程计算固体力学的主要方法计算固体力学的主要方法n有限差分法（有限差分法（Finite Different MethodFinite Different Method）n加权残数法（加权残数法（Weighted Residual MethodWe
2、ighted Residual Method）n有限元法（有限元法（Finite Element MethodFinite Element Method）n无网格法（无网格法（Meshless MethodMeshless Method）n边界元方法（边界元方法（Boundary element MethodBoundary element Method）有限元法的应用和前后处理有限元法的应用和前后处理2第2页，共47页，编辑于2022年，星期六参考教材参考教材oR.D.Cook,有限元分析的概念与应用（有限元分析的概念与应用（Concepts and Application of Finit
3、e Element Analysis）关正）关正西等译，西安交大出版社西等译，西安交大出版社o王勖成等王勖成等,有限单元法基本原理和数值方法，清华有限单元法基本原理和数值方法，清华大学出版社大学出版社o杨庆生杨庆生,现代计算固体力学，科学出版社现代计算固体力学，科学出版社o刘正兴等刘正兴等,计算固体力学，上海交大出版社计算固体力学，上海交大出版社3第3页，共47页，编辑于2022年，星期六第一章第一章 前言前言一一 计算固体力学的任务：计算固体力学的任务：1.1.力学的任务力学的任务物体机械运动的规律物体机械运动的规律研究物体受到的力和物体发生的运动的关系研究物体受到的力和物体发生的运动的关系
4、物体（流体，固体，气体）物体（流体，固体，气体）力（热，电，磁等环境）力（热，电，磁等环境）运动运动 流体力学流体力学：研究对象是流体：研究对象是流体 （水，空气等）；（水，空气等）；固体力学固体力学 2.2.固体力学的任务固体力学的任务n研究固体（结构）在外部作用（外力，温度等变化）下的变形和应力及其演化研究固体（结构）在外部作用（外力，温度等变化）下的变形和应力及其演化规律，根据这些规律研究固体和结构的破坏（刚度、强度、疲劳、断裂以及稳规律，根据这些规律研究固体和结构的破坏（刚度、强度、疲劳、断裂以及稳定性等）定性等）n根据研究对象的不同：弹性力学，塑性力学，断裂力学，冲击力学根据研究对象
5、的不同：弹性力学，塑性力学，断裂力学，冲击力学;材料力学，理论力学等材料力学，理论力学等n根据采用的方法：实验，理论和计算根据采用的方法：实验，理论和计算4第4页，共47页，编辑于2022年，星期六固体力学的任务（续）固体力学的任务（续）o重点：建立固体在外部作用下的变形和应力以及演化规律的数学模型（控制方程）o例如：n应力外力之间的关系：平衡方程（运动方程）n应力应变之间的关系：本构方程研究变形的机理，变形的诱因（外部作用）、应力和应变的定量关系：弹性问题：Hooke定律热弹性问题：热膨胀规律塑性问题：屈服条件；强化准则；流动准则n断裂问题：起裂条件；扩展规律5第5页，共47页，编辑于202
6、2年，星期六o变形的描述以及几何关系主要研究变形的描述方式（应变，位移，转角等）建立变形与位移之间的定量关系应变与位移之间的定量关系例如：小变形条件下：有限变形条件下：o边界条件：位移边界：应力边界：6第6页，共47页，编辑于2022年，星期六求解方法以及对应的控制方程求解方法以及对应的控制方程o（1）力法 未知量：以应力作为基本未知量 控制方程：平衡方程；相容方程（变形协调方程）o（2）位移法：未知量：以位移作为基本未知量 控制方程：位移表示的平衡方程；边界条件7第7页，共47页，编辑于2022年，星期六对应原理，变分原理对应原理，变分原理o研究：微分方程的积分形式，泛函变分与基本方程的对应
7、 建立各种问题所对应的变分原理o任务：国体力学是建立固体变形规律所必须满足的规律以及数学模型，为各种求解策略提供理论基础。8第8页，共47页，编辑于2022年，星期六计算固体力学的任务和研究内容计算固体力学的任务和研究内容o任务：以固体力学的基本理论为基础，研究利用计算机科学利用计算机科学与技术求解与技术求解固体力学中各类问题的数值分析理论、方法、建模、软件实现；o研究内容：（1）研究固体力学中各类问题的数值计算方法，基本原理；（2）采用数值模拟技术，分析固体的变形演化规律、破坏规律、应力分布规律，揭示新的力学现象，包括材料性能揭示；工程中的力学问题等。（3）工程问题的模型化、可视化、虚拟现实
8、9第9页，共47页，编辑于2022年，星期六结构分析问题结构分析问题p各种工程结构常见的结构元件：各种工程结构常见的结构元件：（1）杆、梁、柱杆、梁、柱（长（长宽和高）宽和高）（2）板板(中厚板中厚板)、壳、壳（厚（厚长长和和宽）宽）（3）三维体三维体（4）薄壁结构薄壁结构（飞机机翼与机身等）飞机机翼与机身等）（5）以上结构类型的）以上结构类型的复合体复合体p 结构分析问题包括：结构分析问题包括：（1）强度问题）强度问题(应力应力)（2）刚度问题）刚度问题(变形变形)（3）稳定性问题）稳定性问题（4）振动问题）振动问题10第10页，共47页，编辑于2022年，星期六o有限元法（位移协调元有限元
9、法（位移协调元,杂交元，应力元，拟协调元）杂交元，应力元，拟协调元）o边界元法边界元法o无网格法无网格法(mesh-free method):(mesh-free method):nNon-structural finite difference(Orkisz,2001)Non-structural finite difference(Orkisz,2001)；nElement-free Galerkin(Belytschko,1994)Element-free Galerkin(Belytschko,1994)nSmooth particle hydrodynamic(Gingold,199
10、7)Smooth particle hydrodynamic(Gingold,1997)nPartition of Unity(Melenk,1996)Partition of Unity(Melenk,1996)nFinite Point method(Onate,1996)Finite Point method(Onate,1996)nMeshless finite element(Onate,2003)Meshless finite element(Onate,2003)nFinite sphere(Bathe,2001)Finite sphere(Bathe,2001)nNatural
11、 element(Belytschko,1998)Natural element(Belytschko,1998)n扩展的有限元法（扩展的有限元法（x-FEM)x-FEM)o等几何法（等几何法（isogeometric method)isogeometric method)o变分法变分法o加权残数法加权残数法计算固体力学的主要方法计算固体力学的主要方法11第11页，共47页，编辑于2022年，星期六近似求解偏微分方程的数值方法：近似求解偏微分方程的数值方法：Lord Rayleigh and Ritz,Galerkin 采用试函数采用试函数(trial functions)对偏对偏微分方程的解
12、进行近似微分方程的解进行近似CourantCourant引引 入入子子 域域 内内 分分 片片 连连 续续 试试 函函 数数（piecewise-continuous functions）的概念，标志着有限元方法的起始的概念，标志着有限元方法的起始有限元法的发展历史有限元法的发展历史1960s.Clough在平面应力分析中引入 finite element 的名称1960s-1970s.板弯曲、壳弯曲、压力容器、三维弹性问题、流动、热传导等采用有限元方法求解；美国空间计划支持Nastran的开发1970s.开发了ANSYS,ALGOR,COSMOS/M,SAP,NONSAP and ABAQU
13、S etc.目前.FEM系统可在微机上解决大规模结构分析问题12第12页，共47页，编辑于2022年，星期六计算力学发展展望计算力学发展展望o计计算算力力学学研研究究采采用用计计算算机机和和相相应应计计算算方方法法求求解解力力学学问问题题、认认识识力力学学现现象象的的方方法法、理理论论、软软件件实实现现和和工工程程应应用用。计计算算力力学学是是力力学学学学科科和和计计算算机机科科学学技技术术交交叉叉而而形形成的力学分支，是计算科学和工程的核心学科。成的力学分支，是计算科学和工程的核心学科。o计计算算力力学学起起始始于于有有限限元元法法.有有限限元元法法的的诞诞生生可可追追溯溯到到5050年年代
14、代中中期期Martin,Martin,Clough,Turner(1956),Argyris(1955)Clough,Turner(1956),Argyris(1955)等等的的工工作作；前前者者为为了了采采用用计计算算机机求求解解波波音音公公司司的的三三角角形形机机翼翼动动力力问问题题,在在ZienkiewiczZienkiewicz等等人人的的努努力力下下，这这一一方方法法被被迅迅速速推推广广至至连连续续体体、岩岩土土工工程程、动动力力学学问问题题、稳稳定定性性问问题题的的求求解解，其其基基础础数数学学理理论论和和求解问题的算法也不断得到完善。求解问题的算法也不断得到完善。o有有限限元元法
15、法取取得得的的巨巨大大成成功功是是惊惊人人的的,它它以以经经典典牛牛顿顿力力学学为为基基础础，为为人人们们提提供供前前所所未未有有的的能能力力，预预测测和和理理解解复复杂杂系系统统，模模拟拟复复杂杂的的物物理理现现象象，利利用用这这些些模模拟拟设设计计复复杂杂的的工工程程系系统统。它它已已使使力力学学这这个个古古老老学学科科成成为为对对制制造造、通通讯讯、运运输输、医医疗疗、国国防防和和很很多多对对人人类类文文明明非非常常核核心心的的领领域域产产生生决决定定性性影影响响的的学学科科；对对科科学学和和技技术术已经产生了深远的影响。已经产生了深远的影响。13第13页，共47页，编辑于2022年，星
16、期六计算力学发展展望计算力学发展展望o计计算算力力学学的的延延伸伸造造就就了了CAECAE软软件件和和产产业业，而而CAECAE产产业业产产生生了了巨巨大大的的社社会会和和经经济济效效益益，其其直直接接经经济济效效益益每每年年达达数十亿美元，而间接经济效益上百亿美元。数十亿美元，而间接经济效益上百亿美元。o计计算算力力学学已已经经引引发发一一个个令令人人振振奋奋的的新新观观点点：理理论论、实实验验和和计计算算成成为为现现代代科科学学的的三三大大支支撑撑；产产生生了了一一个个新的领域新的领域“计算科学计算科学”。o在在20052005年年美美国国总总统统信信息息技技术术顾顾问问委委员员会会给给总
17、总统统的的报报告告“计计算算科科学学：确确保保美美国国竞竞争争力力”中中指指出出，“计计算算科科学学采采用用先先进进的的计计算算能能力力理理解解和和求求解解复复杂杂问问题题,已已经经成成为为对对美美国国科科技技领领导导地地位位、经经济济竞竞争争力力和和国国家家安安全全的的关关键键，计计算算科科学学是是2121世世纪纪最最重重要要的的技术领域之一技术领域之一”。14第14页，共47页，编辑于2022年，星期六p随着计算机软硬件和软件开发新工具、外围设备和相关工具的改进和随着计算机软硬件和软件开发新工具、外围设备和相关工具的改进和发展，新世纪的计算力学有了前所未有的发展机遇发展，新世纪的计算力学有
18、了前所未有的发展机遇p随着人们关心以量子、分子和生物力学为基础的物理（微电子、微机电系随着人们关心以量子、分子和生物力学为基础的物理（微电子、微机电系统）和生物系统的模型，关心巨尺度的自然现象（海啸、雪崩统）和生物系统的模型，关心巨尺度的自然现象（海啸、雪崩)，计算力学，计算力学有无限的未来发展和应用的前景有无限的未来发展和应用的前景p计算力学研究具有跨学科的性质，使其能反映概念、方法和原则计算力学研究具有跨学科的性质，使其能反映概念、方法和原则的组合，常常横跨力学、数学、计算机科学和其他科学领域。其成的组合，常常横跨力学、数学、计算机科学和其他科学领域。其成功推动了功推动了“基于模拟的工程科
19、学基于模拟的工程科学”的产生的产生计算力学发展展望计算力学发展展望15第15页，共47页，编辑于2022年，星期六计算力学发展展望计算力学发展展望o“基于模拟的工程科学基于模拟的工程科学”已经并将持续对工程、已经并将持续对工程、科学研究和解决重大社会问题各个领域产生巨科学研究和解决重大社会问题各个领域产生巨大的影响；将带来新世纪工程科学的革命性变大的影响；将带来新世纪工程科学的革命性变革革oRevolutionizing Engineering Science Revolutionizing Engineering Science through Simulationthrough Simul
20、ationo“基于模拟的工程科学基于模拟的工程科学”(Simulation-based Engineering Science)”(Simulation-based Engineering Science)为工为工程系统的模拟提供科学和数学基础的学科，它关注复杂、相互关联的工程系程系统的模拟提供科学和数学基础的学科，它关注复杂、相互关联的工程系统的计算机模型和模拟，关注满足规定精度和可靠度标准的数据的获取，它统的计算机模型和模拟，关注满足规定精度和可靠度标准的数据的获取，它已科学理解的进步为基础，并通过计算机模拟，将其与解决工程问题的新方已科学理解的进步为基础，并通过计算机模拟，将其与解决工程
21、问题的新方法结合法结合16第16页，共47页，编辑于2022年，星期六教学内容教学内容计算固体力学的基本理论计算固体力学的基本理论n固体力学固体力学(以弹性力学为主描述以弹性力学为主描述)的基本理论的基本理论n能量、变分原理和变分法能量、变分原理和变分法n特殊问题的数值计算方法特殊问题的数值计算方法n介绍各类方法的构造过程介绍各类方法的构造过程计算固体力学的主要方法计算固体力学的主要方法n有限差分法（有限差分法（Finite Different MethodFinite Different Method）n加权残数法（加权残数法（Weighted Residual MethodWeighted
22、 Residual Method）n有限元法（有限元法（Finite Element MethodFinite Element Method）n无网格法（无网格法（Meshless MethodMeshless Method）n边界元方法（边界元方法（Boundary element MethodBoundary element Method）有限元法的应用和前后处理有限元法的应用和前后处理17第17页，共47页，编辑于2022年，星期六18第18页，共47页，编辑于2022年，星期六常用的数学知识和记号常用的数学知识和记号：n张量和张量运算张量和张量运算o张量：满足一定的坐标变化规律的数表。
23、例如：张量：满足一定的坐标变化规律的数表。例如：向量：向量：在不同的坐标系下，分量在不同的坐标系下，分量 和和 满足矢量的变换关系满足矢量的变换关系 称为一阶张量。称为一阶张量。二阶张量二阶张量第二章第二章 弹性力学基本理论弹性力学基本理论19第19页，共47页，编辑于2022年，星期六n加减运算：加减运算：n点积运算（内积）：点积运算（内积）：求和约定：求和约定：n微分运算：微分运算：例如：应变例如：应变张量的运算张量的运算20第20页，共47页，编辑于2022年，星期六弹性力学的基本理论弹性力学的基本理论n弹性力学的基本假定弹性力学的基本假定:连续性连续性,均匀性均匀性,各向同性各向同性,
24、完全弹性完全弹性,小变形五个假设小变形五个假设n建立根据作用于弹性体上的外力建立根据作用于弹性体上的外力,决定弹性体内的变形和决定弹性体内的变形和应力及其演化规律的数学模型（控制方程）。应力及其演化规律的数学模型（控制方程）。n弹性体的变形和内力描写弹性体的变形和内力描写应变，应力的定义应变，应力的定义用应变张量描写每一点的变形用应变张量描写每一点的变形用应力张量描写每一点的内力用应力张量描写每一点的内力21第21页，共47页，编辑于2022年，星期六弹性力学的基本方程弹性力学的基本方程1.1.应力应力-外力之间的关系：平衡方程（运动方程）外力之间的关系：平衡方程（运动方程）2.2.位移和应变
25、的关系：几何关系位移和应变的关系：几何关系3.3.应力应力-应变之间的关系：物理本构应变之间的关系：物理本构 研究变形机理，变形的诱因（外部作用）研究变形机理，变形的诱因（外部作用）例如：例如：弹性力学问题：弹性力学问题：Hooke定律。定律。1.热弹性问题：热弹性问题：热膨胀规律热膨胀规律,弹性常数岁温度的变化规律。弹性常数岁温度的变化规律。2.塑性力学：塑性力学：屈服条件，强化准则，流动准则。屈服条件，强化准则，流动准则。3.断裂力学：断裂力学：裂纹起裂条件和裂纹扩展规律等。裂纹起裂条件和裂纹扩展规律等。22第22页，共47页，编辑于2022年，星期六应力和平衡方程应力和平衡方程n应力：单
26、位面积上的内力应力：单位面积上的内力应力与作用面的方向相关。各方向上的应力称为一点的应应力与作用面的方向相关。各方向上的应力称为一点的应力状态。为了完整地描述一点的应力状态，可取与坐标轴力状态。为了完整地描述一点的应力状态，可取与坐标轴垂直的三个面上的应力表示。垂直的三个面上的应力表示。n 为应力张量为应力张量n对称性：对称性：n应力向量（矩阵形式的表示方法）应力向量（矩阵形式的表示方法）yxz23第23页，共47页，编辑于2022年，星期六n平衡方程：平衡方程：n可写成可写成 或或 矩阵形式矩阵形式24第24页，共47页，编辑于2022年，星期六o应力边界条件应力边界条件矩阵形式矩阵形式张量
27、形式张量形式 其中其中 方向余弦方向余弦25第25页，共47页，编辑于2022年，星期六几何关系（位移和应变的关系）几何关系（位移和应变的关系）根据弹性体每一点的位移根据弹性体每一点的位移,给出每一点的变形（应变、转角）给出每一点的变形（应变、转角）,建立变形与位移之间建立变形与位移之间的定量关系的定量关系 QPdsQPds变形前变形前,；变形后；变形后,任意点的运动（任意点的运动（u,v,w)26第26页，共47页，编辑于2022年，星期六Green应变应变GreenGreen应变应变应变应变 E E 定义为：定义为：定义为：定义为：设设设设 分别为变形前后的材料矢量分别为变形前后的材料矢量
28、分别为变形前后的材料矢量分别为变形前后的材料矢量GreenGreen应变的推导：应变的推导：应变的推导：应变的推导：与与与与GreenGreen应变定义对比，得到应变定义对比，得到应变定义对比，得到应变定义对比，得到27第27页，共47页，编辑于2022年，星期六位移、应变与几何方程位移、应变与几何方程n位移n应变n小变形28第28页，共47页，编辑于2022年，星期六位移、应变与几何方程位移、应变与几何方程n张量形式张量形式n矩阵形式矩阵形式29第29页，共47页，编辑于2022年，星期六n大变形：大变形：30第30页，共47页，编辑于2022年，星期六o线性弹性应力应变关系（线弹性）胡克定
29、律：单向拉伸，如弹簧等 广义胡克定律：复杂应力状态o非线性弹性应力应变关系o塑性本构关系：含“内变量”并与热相关o粘弹性本构关系：应力与应变率相关材料的本构关系材料的本构关系31第31页，共47页，编辑于2022年，星期六低碳钢单轴拉伸试验曲线低碳钢单轴拉伸试验曲线试件颈缩32第32页，共47页，编辑于2022年，星期六一般线弹性材料的本构关系一般线弹性材料的本构关系应力和应变满足应力和应变满足应力和应变满足应力和应变满足由功的互等关系，共有由功的互等关系，共有由功的互等关系，共有由功的互等关系，共有2121个独立的弹性常数个独立的弹性常数个独立的弹性常数个独立的弹性常数注意：主应力和主应变方
30、向不重合注意：主应力和主应变方向不重合注意：主应力和主应变方向不重合注意：主应力和主应变方向不重合33第33页，共47页，编辑于2022年，星期六各向同性线弹性材料的本构关系各向同性线弹性材料的本构关系各向同性线弹性和小变形假设下，应力和应变满足广义虎克定律各向同性线弹性和小变形假设下，应力和应变满足广义虎克定律各向同性线弹性和小变形假设下，应力和应变满足广义虎克定律各向同性线弹性和小变形假设下，应力和应变满足广义虎克定律对各向同性材料有对各向同性材料有对各向同性材料有对各向同性材料有(有有有有2 2个独立的弹性常数个独立的弹性常数个独立的弹性常数个独立的弹性常数 )主应力和主应变方向重合主应
31、力和主应变方向重合主应力和主应变方向重合主应力和主应变方向重合34第34页，共47页，编辑于2022年，星期六各向同性线弹性材料的本构关系各向同性线弹性材料的本构关系对于平面应力状态，上式成为对于平面应力状态，上式成为对于平面应力状态，上式成为对于平面应力状态，上式成为或或对于平面应变状态，则为对于平面应变状态，则为对于平面应变状态，则为对于平面应变状态，则为或或35第35页，共47页，编辑于2022年，星期六 线弹性本构关系的张量表示线弹性本构关系的张量表示一般的各向异性材料的线弹性应力应变关系：一般的各向异性材料的线弹性应力应变关系：或或对于一般的各向异性材料，弹性常数中只有对于一般的各向
32、异性材料，弹性常数中只有2121个独立个独立三维各向同性材料本构方程：三维各向同性材料本构方程：36第36页，共47页，编辑于2022年，星期六正交各向异性线弹性材料的本构关系正交各向异性线弹性材料的本构关系应力和应变满足应力和应变满足应力和应变满足应力和应变满足（选取弹性对称轴为（选取弹性对称轴为（选取弹性对称轴为（选取弹性对称轴为x,y,zx,y,z轴）轴）轴）轴）由功的互等关系，共有由功的互等关系，共有由功的互等关系，共有由功的互等关系，共有9 9个独立的弹性常数个独立的弹性常数个独立的弹性常数个独立的弹性常数若坐标旋转，则上述正交性质将被掩盖若坐标旋转，则上述正交性质将被掩盖若坐标旋转
33、，则上述正交性质将被掩盖若坐标旋转，则上述正交性质将被掩盖37第37页，共47页，编辑于2022年，星期六热应变热应变对于各向同性材料，热应变与温度变化成正比：对于各向同性材料，热应变与温度变化成正比：考虑热应变，应力应变关系成为：考虑热应变，应力应变关系成为：38第38页，共47页，编辑于2022年，星期六4.4.边界条件边界条件 在位移边界条件上：在位移边界条件上：在应力边界上：在应力边界上：39第39页，共47页，编辑于2022年，星期六弹性力学问题的构成弹性力学问题的构成o弹性力学问题的建立与求解弹性力学问题的建立与求解n变量：变量：3 3个位移分量，个位移分量，6 6个应力分量，个应
34、力分量，6 6个应变分量个应变分量n基本方程：平衡方程，几何方程，物理方程基本方程：平衡方程，几何方程，物理方程n边界条件：位移边界条件边界条件：位移边界条件 ，应力边界条件，应力边界条件40第40页，共47页，编辑于2022年，星期六n求解方法及相对应的控制方程：求解方法及相对应的控制方程：力法：以应力为基本位移量力法：以应力为基本位移量平衡方程：变形协调方程平衡方程：变形协调方程位移法：以位移为基本未知数位移法：以位移为基本未知数平衡方程：位移表示的平衡方程平衡方程：位移表示的平衡方程n对应原理：变分原理对应原理：变分原理 微分方程的积分形式，泛函变分与基本方程的对应。建立微分方程的积分形
35、式，泛函变分与基本方程的对应。建立各种问题所对应的变分原理。各种问题所对应的变分原理。总之：固体力学是建立固体变形规律所必需满足的规律以及数总之：固体力学是建立固体变形规律所必需满足的规律以及数学模型。为各种求解策略提供理论基础学模型。为各种求解策略提供理论基础41第41页，共47页，编辑于2022年，星期六弹性力学的主要解法弹性力学的主要解法解析法；凑合法与半凑合法；解析法；凑合法与半凑合法；简化假定简化假定平截面假定杆，梁；平截面假定杆，梁；直法线假定板壳；直法线假定板壳；平面应力问题平面应力问题;平面应变问题平面应变问题;对称问题（轴对称问题，球对称问题）对称问题（轴对称问题，球对称问题
36、）应力函数法；应力函数法；复变函数法；复变函数法；积分方程法；积分方程法；有限差分法；变分法；有限差分法；变分法；光测光测;电测电测;数值方法数值方法只能求解简单的问题：简单的结构形状、只能求解简单的问题：简单的结构形状、荷载分布和边界条件荷载分布和边界条件42第42页，共47页，编辑于2022年，星期六求解策略求解策略o物理模型的简化n杆（梁）n平面问题o平面应力问题，薄板o平面应力问题：（很厚）柱体n板（壳）o发展数值求解策略n直接求解方法：差分方法n积分形式的控制方程问题：有限元，加权余量等43第43页，共47页，编辑于2022年，星期六杆件杆件(包括杆和梁包括杆和梁)o杆杆:只在轴向受
37、力只在轴向受力o梁梁:考虑弯曲变形考虑弯曲变形几何特点几何特点:结构两个方向的尺度相近结构两个方向的尺度相近,但远小于第三方向尺度但远小于第三方向尺度;基本假定基本假定:垂直于杆件轴线的平断面变形后保持平断面垂直于杆件轴线的平断面变形后保持平断面;三维问题简化为一维三维问题简化为一维;无分布力时，杆的变形用线性函数描述即可无分布力时，杆的变形用线性函数描述即可无分布力时，杆的变形用线性函数描述即可无分布力时，杆的变形用线性函数描述即可44第44页，共47页，编辑于2022年，星期六平面应力问题平面应力问题几何特点几何特点:结构两个方向的尺度相近结构两个方向的尺度相近,但远大于第三方向尺度但远大
38、于第三方向尺度;受力特点受力特点:只受到在平面内的力只受到在平面内的力;平面外的应力分量为平面外的应力分量为0;三维问题简化为二维三维问题简化为二维xyz45第45页，共47页，编辑于2022年，星期六平面应变问题平面应变问题几何特点:结构两个方向的尺度相近,但第三方向尺度无穷大;受力特点:受到的力在第三方向是均匀的;平面外的应变分量为0;三维问题简化为二维xyz46第46页，共47页，编辑于2022年，星期六xyzq(x,y)几何特点:结构两个方向的尺度相近,但远大于第三方向尺度;受力特点:只受到在平面外的力;直法线假定;三维问题简化为二维平板弯曲问题平板弯曲问题47第47页，共47页，编辑于2022年，星期六