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1、第四章第四章 曲线与曲面曲线与曲面 第一节第一节 曲线概述曲线概述1 1）点点在空间作连续变换方向在空间作连续变换方向的的运动轨迹运动轨迹。一、一、曲线的形成和分类曲线的形成和分类 1.1.曲线的形成曲线的形成曲线的形成一般有下列三种方式：曲线的形成一般有下列三种方式：2 2）一条）一条线线（直线或曲线）运动过程中（直线或曲线）运动过程中的包络线的包络线。3 3）平面与曲面或两曲面相交的）平面与曲面或两曲面相交的交线交线。同一曲线可以由几种不同的方法形成。如二次同一曲线可以由几种不同的方法形成。如二次平面曲线（椭圆、双曲线、抛物线）既可看成是点平面曲线（椭圆、双曲线、抛物线）既可看成是点运动的
2、运动的轨迹轨迹，又可看成是平面和圆锥面的，又可看成是平面和圆锥面的交线交线。2.2.曲线的分类曲线的分类1.1.按按点的运动有无点的运动有无规律，曲线可分为规律，曲线可分为规则曲线规则曲线（如圆锥曲线、螺旋线等）和（如圆锥曲线、螺旋线等）和不规则曲线不规则曲线。2.2.按按曲线上点的分布曲线上点的分布可分为两类：可分为两类：1 1）平面曲线平面曲线曲线上所有点都在同一平面曲线上所有点都在同一平面 上，如二次曲线、渐伸线等；上，如二次曲线、渐伸线等；2 2）空间曲线空间曲线 曲线上任一连续四个点不在曲线上任一连续四个点不在 同一平面上，如螺旋线等。同一平面上，如螺旋线等。二、二、曲线的投影曲线的
3、投影 一般情况下，曲线至少需要一般情况下，曲线至少需要两个投影两个投影才能确才能确定出它在空间的形状和位置。定出它在空间的形状和位置。按照曲线按照曲线形成的方法形成的方法，依次求出依次求出曲线上一曲线上一系列点的各面投影，然后把各点的同面投影系列点的各面投影，然后把各点的同面投影顺顺次光滑连接次光滑连接即得该曲线的投影。即得该曲线的投影。为了提高作图准确性，应尽可能作出曲线上为了提高作图准确性，应尽可能作出曲线上特殊点特殊点（如极限位置点、分界点等）的投影，最（如极限位置点、分界点等）的投影，最好把这些特殊点以及重影点用字母标注出来好把这些特殊点以及重影点用字母标注出来。、D、G均为均为特殊点
4、特殊点B和和F为对为对H面面重影点重影点、E为为一般点一般点 三、曲线的投影特性三、曲线的投影特性 1）曲线的投影）曲线的投影一般仍为曲线一般仍为曲线，只有当平面，只有当平面曲线所在平面平行于投射线时，投影为直线。曲线所在平面平行于投射线时，投影为直线。2）属于曲线的点，其投影必在曲线的同面）属于曲线的点，其投影必在曲线的同面投影上投影上，即点与曲线的即点与曲线的从属关系从属关系为曲线投影的为曲线投影的不不变性。变性。4）代数曲线的投影，其）代数曲线的投影，其次数不变次数不变。如二。如二次曲线的投影仍为二次曲线。次曲线的投影仍为二次曲线。3）曲线切线的投影）曲线切线的投影仍为其投影的切线。仍为
5、其投影的切线。ABKMNamknbP 第二节第二节 平面曲线平面曲线1.当平面曲线所在的平面平行于某一投影面时，则曲线在该投影面上的投影反映曲线的实形。一、平面曲线的投影特性一、平面曲线的投影特性2.当平面曲线所在的平面垂直于某一投影面时，曲线在该投影面上的投影为一直线段。3）当平面曲线所在的平面倾斜于某一投影面时，曲线在该投影面上的投影为曲线的类似形。OoHPPACDBacdbHXYMxyom aPH二、圆的投影二、圆的投影 圆是平面曲线中最常见的曲线，它具有平面曲圆是平面曲线中最常见的曲线，它具有平面曲线的所有投影性质，且还具有如下线的所有投影性质，且还具有如下投影特性投影特性：1.1.倾
6、斜倾斜于投影面的圆，其投影为于投影面的圆，其投影为椭圆椭圆。2.2.倾斜于投影面的圆上任意一对倾斜于投影面的圆上任意一对相互垂直相互垂直的直径，其投影为椭圆上的直径，其投影为椭圆上的一对的一对共轭直径共轭直径。3.3.倾斜于投影面的圆上一对相互倾斜于投影面的圆上一对相互垂直的直径，其中有一条直径为垂直的直径，其中有一条直径为投投影面平行线影面平行线时时,则它们在该投影面则它们在该投影面上的投影为椭圆的一对上的投影为椭圆的一对长短轴长短轴。OABCDEFabdcefHPoABCDabcdO HPo二、圆的投影二、圆的投影 圆是最简单的平面曲线：圆是最简单的平面曲线：根据根据圆所在平面圆所在平面相
7、对于投影面的位置相对于投影面的位置不同，不同，其正投影有如下三种情况：其正投影有如下三种情况：2.1 圆所在平面为投影面平行面圆所在平面为投影面平行面 2.2 圆所在平面为投影面垂直面圆所在平面为投影面垂直面 2.3 圆所在平面为一般位置平面圆所在平面为一般位置平面 当圆所在平面为当圆所在平面为投影面投影面平行面时平行面时，圆，圆在所平行的投影面上在所平行的投影面上的投影反映该圆的的投影反映该圆的实实形形。在在另一投影面另一投影面上的上的投影为投影为直线直线，线段的，线段的长度等于圆的长度等于圆的直径直径。1.圆所在平面为投影面平行面圆所在平面为投影面平行面2.圆所在平面为投影面垂直面圆所在平
8、面为投影面垂直面 当圆所在的平面为当圆所在的平面为投影面垂直面投影面垂直面时，圆在所时，圆在所垂直的投影面上的投影为垂直的投影面上的投影为直线直线，线段的长度等于，线段的长度等于其其直径直径。在。在另一投影面上另一投影面上的投影则为的投影则为椭圆椭圆。1243ocdb41c131b121d111a1o1c(o)a(b)dVX1H1PVaXO3.圆所在平面为一般位置平面圆所在平面为一般位置平面 当圆所在平面为当圆所在平面为一般位置平面一般位置平面时，时，圆的两个投影均为圆的两个投影均为椭圆椭圆，但两个椭圆的，但两个椭圆的长、短轴是不同的，必须分别求解。长、短轴是不同的，必须分别求解。椭圆的椭圆的
9、长轴长轴应为平行于该投影面的应为平行于该投影面的直径直径的投影的投影。短轴短轴应为对该投影面成为应为对该投影面成为最大斜度最大斜度的直径的投影。的直径的投影。利用投影变换法求椭圆长、短轴利用投影变换法求椭圆长、短轴 3443o12o1256ef ghabcdg1(e1)h1(f1)51(61)VH1HV1d1a1(b1)c131(21)(o1)VHX4(1)561131o1 第三节第三节 螺螺 旋旋 线线1.螺旋线的形成一、一、圆柱螺旋线圆柱螺旋线 一点沿圆柱面直母一点沿圆柱面直母线作线作等速直线运动等速直线运动，同，同时该母线又绕圆柱面轴时该母线又绕圆柱面轴线作线作等速回转运动等速回转运动，
10、则，则该点在空间的运动轨迹该点在空间的运动轨迹即为即为圆柱螺旋线圆柱螺旋线。2.2.圆柱螺旋线的三要素：圆柱螺旋线的三要素：1)1)圆柱的直径圆柱的直径 2)2)导程导程S S：当动点所当动点所在直母线在直母线旋转一周旋转一周时，时，点沿点沿该母线移动的距该母线移动的距离离称为螺旋线的称为螺旋线的导程导程。3)旋向：分为旋向：分为右旋右旋、左旋左旋两种。两种。3)旋向：分为旋向：分为右旋右旋、左旋左旋两种两种 右螺旋线的动右螺旋线的动点运动遵循点运动遵循右手定右手定则则；左螺旋线的动左螺旋线的动点运动遵循点运动遵循左手定左手定则则。3.3.作图步骤作图步骤 4.4.螺旋线的性质螺旋线的性质 在
11、一个导程内，圆柱螺旋线的展开长度在一个导程内，圆柱螺旋线的展开长度 ，它是以导圆柱面的周长和导程为两直角，它是以导圆柱面的周长和导程为两直角边的直角三角形的斜边。边的直角三角形的斜边。它与导圆柱面底圆展开所得直线的夹角它与导圆柱面底圆展开所得直线的夹角 ，称为该，称为该圆柱螺旋线的升角圆柱螺旋线的升角。它的余角它的余角 ，称为该圆柱螺旋线的，称为该圆柱螺旋线的螺旋螺旋角角。4.4.螺旋线的性质螺旋线的性质 1 1）圆柱螺旋线是属于圆柱面上不在同一圆柱螺旋线是属于圆柱面上不在同一素线上的两点之间素线上的两点之间最短距离的连线最短距离的连线，故，故又称为圆柱面上的又称为圆柱面上的测量线测量线。2
12、2）对于同一条圆柱螺旋线来说，对于同一条圆柱螺旋线来说，、是是常数。常数。一点沿圆锥面直母一点沿圆锥面直母线作线作等速直线运动等速直线运动，同，同时该母线又绕圆锥面轴时该母线又绕圆锥面轴线作线作等速回转运动等速回转运动，则，则该点在空间的运动轨迹该点在空间的运动轨迹即为即为圆锥螺旋线圆锥螺旋线。二、二、圆锥螺旋线圆锥螺旋线 第四节第四节 曲面概述曲面概述一、曲面的形成与分类一、曲面的形成与分类 曲面曲面可以看作是一条线（直线或曲线）在空可以看作是一条线（直线或曲线）在空间作有规律或无规律的间作有规律或无规律的连续运动连续运动所形成的所形成的轨迹轨迹，或者说曲面是运动线所有位置的集合或者说曲面是
13、运动线所有位置的集合。如图所示曲面，如图所示曲面，是由是由AA沿着沿着曲线曲线ABC运动且在运动运动且在运动中始终平行于中始终平行于直线直线MN所形成的。所形成的。AA称为母线。称为母线。1.1.曲面的形成曲面的形成 母线形状可以是不变母线形状可以是不变的，也可以是不断变化的。的，也可以是不断变化的。母线在曲面上的任母线在曲面上的任一位置称为一位置称为素线素线，无限，无限接近的相邻两素线称为接近的相邻两素线称为连续两素线连续两素线。控制母线运动的点、控制母线运动的点、线和面称为线和面称为定点定点、导线导线和和导面导面，它们统称为，它们统称为导导元素元素。2.2.曲面的分类曲面的分类 根据不同的
14、分类标准，曲面可以有许多不根据不同的分类标准，曲面可以有许多不同的分类方法。如：同的分类方法。如：按按母线运动是否有规律母线运动是否有规律来分类，曲面可分来分类，曲面可分为为规则曲面规则曲面和和不规则曲面不规则曲面；按按母线的形状母线的形状分类，曲面可分为分类，曲面可分为直线面直线面和和曲线面曲线面；按按母线的运动方式母线的运动方式分类，曲面可分为分类，曲面可分为移动移动面面和和回转面回转面；按按母线在运动中是否变化母线在运动中是否变化分类，曲面可分分类，曲面可分为为定母线面定母线面和和变母线面变母线面；按按曲面是否能无皱折地摊平在一个平面上曲面是否能无皱折地摊平在一个平面上来来分类，则可分为
15、分类，则可分为可展曲面可展曲面和和不可展曲面不可展曲面。母线由导元素控制按照一定规律运动母线由导元素控制按照一定规律运动所形成的曲面称为所形成的曲面称为规则曲面。规则曲面。母线作不规则运动所形成的曲面称为母线作不规则运动所形成的曲面称为不规则曲面。不规则曲面。同一曲面可以由多种方法形成，一同一曲面可以由多种方法形成，一般应采用般应采用最简单的母线最简单的母线来描述曲面的形来描述曲面的形成。成。3.3.曲面的投影曲面的投影 在投影图上表示一个曲面时，应满足：在投影图上表示一个曲面时，应满足：1 1）根据投影图能作出曲面上任意点根据投影图能作出曲面上任意点和任意素线的投影。和任意素线的投影。2 2
16、）能够清楚的表达出曲面的形状。）能够清楚的表达出曲面的形状。3.3.曲面的投影曲面的投影 只要作出能够确定曲面的几何要素的只要作出能够确定曲面的几何要素的必要投影，就可确定一个曲面，因为必要投影，就可确定一个曲面，因为母线母线和和导元素导元素给定后，形成的曲面将唯一确定。给定后，形成的曲面将唯一确定。曲面的转向轮廓线曲面的转向轮廓线就是在正投影条就是在正投影条件下，包络已知曲面的投射柱面与曲面件下，包络已知曲面的投射柱面与曲面的切线。的切线。曲面的转向轮曲面的转向轮廓线廓线对不同投影面对不同投影面各不相同。各不相同。如图所示，投如图所示，投射柱面与曲面的切射柱面与曲面的切线线T称为曲面对称为曲
17、面对H面的面的转向轮廓线转向轮廓线，为其为其H投影。投影。在曲面上在曲面上取点取点、取线取线的原则与在平面的原则与在平面上取点、取线一样。上取点、取线一样。若一点若一点属于属于一曲面，则该点一曲面，则该点必属于必属于该该曲面的一条线上（直线或曲线）。曲面的一条线上（直线或曲线）。若取属于曲面上的一条线，一般先确定若取属于曲面上的一条线，一般先确定属于该曲面上的属于该曲面上的一系列点一系列点，然后，然后按顺序光按顺序光滑滑地将这些点地将这些点连接连接成线。成线。三、常见曲面三、常见曲面1.柱柱 面面 一直母线沿一直母线沿曲导线曲导线运动且始终运动且始终平行平行于于另一直导线而形成的曲面称为另一直
18、导线而形成的曲面称为柱面柱面。柱面的相邻两素线为平行直线，位柱面的相邻两素线为平行直线，位于同一平面内，所以是于同一平面内，所以是可展曲面可展曲面。作图时，一般应画出作图时，一般应画出导线导线和和曲面的轮廓线曲面的轮廓线，必要时还要画出必要时还要画出若干素线若干素线及其及其曲面的曲面的H面迹线面迹线。直圆柱面直圆柱面 几种柱面几种柱面 正圆柱面正圆柱面 斜圆柱面斜圆柱面 正椭圆柱面正椭圆柱面 斜椭圆柱面斜椭圆柱面 2.锥面锥面 一直母线沿曲导一直母线沿曲导线运动且线运动且始终通过一始终通过一定点定点（锥顶）而形成（锥顶）而形成的曲面称为的曲面称为锥面锥面。锥面的相邻两素锥面的相邻两素线为过锥顶
19、的相交直线为过锥顶的相交直线，位于同一平面内，线，位于同一平面内，所以是所以是可展曲面可展曲面。作图时，一般只画出作图时，一般只画出锥顶锥顶、导线导线和和曲面的轮廓曲面的轮廓线线，必要时还要画出，必要时还要画出若干素线若干素线及及曲面的曲面的H面迹线。面迹线。正圆锥面正圆锥面 s s s正圆锥面正圆锥面 斜圆锥面斜圆锥面 正椭圆锥面正椭圆锥面 斜椭圆锥面斜椭圆锥面 3.3.螺旋面螺旋面形成形成3.3.螺旋面螺旋面 一直母线以螺旋线为导一直母线以螺旋线为导线作一定规律的运动即可形线作一定规律的运动即可形成成螺旋面。螺旋面。1）正螺旋面正螺旋面 一直母线沿圆柱螺旋一直母线沿圆柱螺旋线和螺旋线轴线运
20、动，且线和螺旋线轴线运动，且始终与轴线垂直相交，即始终与轴线垂直相交，即形成形成正螺旋面正螺旋面。正螺旋面是锥状面正螺旋面是锥状面,为为不可展曲面不可展曲面。正螺旋柱状面应用的例子正螺旋柱状面应用的例子螺旋扶手螺旋楼梯2）斜螺旋面斜螺旋面 一直一直母线母线沿圆柱螺沿圆柱螺旋线和螺旋线轴线运动，旋线和螺旋线轴线运动，且始终与轴线斜交成一且始终与轴线斜交成一定角，即形成定角，即形成斜螺旋面斜螺旋面。斜螺旋面也是斜螺旋面也是锥状锥状面面，为，为不可展曲面不可展曲面。第五节第五节 常见回转面常见回转面 母线绕一固定轴作回转运动所形成的曲面称母线绕一固定轴作回转运动所形成的曲面称为为回转曲面回转曲面。固
21、定轴称为固定轴称为回转轴。回转轴。在旋转过程中，母线上任一点的轨迹都是圆，在旋转过程中，母线上任一点的轨迹都是圆，这些圆称为这些圆称为纬线圆纬线圆。其圆心在回转轴上，且该圆。其圆心在回转轴上，且该圆与回转轴垂直。与回转轴垂直。在这些纬线圆中，比相邻两侧纬线圆都小的在这些纬线圆中，比相邻两侧纬线圆都小的纬线圆称为纬线圆称为喉圆喉圆，比相邻两侧都大的纬线圆称为，比相邻两侧都大的纬线圆称为赤道圆赤道圆。画回转曲面的投画回转曲面的投影图时，通常使其影图时，通常使其轴轴线垂直于某一投影面线垂直于某一投影面，以便简化作图。以便简化作图。由于母线可以是直线，由于母线可以是直线，也可以是曲线，故回转曲面可以分
22、为：也可以是曲线，故回转曲面可以分为：直线回转面直线回转面 曲线回转面曲线回转面 组合回转面组合回转面 1.1.直线回转面直线回转面 1）圆柱面圆柱面 直圆柱面可以认直圆柱面可以认为是一直母线围绕与为是一直母线围绕与之平行的轴线作回转之平行的轴线作回转运动形成的，它是运动形成的，它是一一般柱面的特殊形式。般柱面的特殊形式。若一个矩形面围若一个矩形面围绕其中一条边回转则绕其中一条边回转则形成形成圆柱体圆柱体。A1AOO12 2）圆锥面圆锥面 正圆锥面可以认为正圆锥面可以认为是是一直母线一直母线围绕与之围绕与之相相交的轴线交的轴线作作回转运动回转运动形形成的，它是一般锥面的成的，它是一般锥面的特殊
23、形式。特殊形式。若一个直角三角形若一个直角三角形面围绕其中一条直角边面围绕其中一条直角边回转则形成回转则形成圆锥体圆锥体。O1O s s sSA3 3）单叶双曲回转面）单叶双曲回转面 一直母线围绕一直母线围绕与之交叉的轴线作与之交叉的轴线作回转运动即形成一回转运动即形成一单叶双曲回转面。单叶双曲回转面。单叶双曲回转单叶双曲回转面的相邻两素线为面的相邻两素线为相错直线，所以是相错直线，所以是不可展曲面不可展曲面。2.2.曲线回转面曲线回转面 曲线回转面曲线回转面属于属于曲线面曲线面，所有的曲线，所有的曲线面均为面均为不可展曲面不可展曲面。1 1）球面）球面 一圆母线绕其一条直径一圆母线绕其一条直
24、径作回转运动，即形成作回转运动，即形成球面球面。球面的球面的三个投影都是圆三个投影都是圆，但三个圆却，但三个圆却分别是分别是三个不同转向轮廓线的投影三个不同转向轮廓线的投影。圆球的视图圆球的视图注意：注意：转向轮廓线的投影转向轮廓线的投影与与曲面可见性的判断。曲面可见性的判断。（1）圆环的形成 圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。3 3）圆）圆环环（2）圆环的画法（3）圆环的投影特点（4）圆环投影可见性的判别由前向后看，此部分可见由上向下看，此部分可见3）椭圆回转面、抛物回转面、双叶双曲回转面椭圆回转面、抛物回转面、双叶双曲回转面 以组合线段以组合线段(包括曲线和直线包括曲线和直线)为母线，为母线，绕一轴线作回转运动，即形成绕一轴线作回转运动，即形成组合回转面。组合回转面。3.3.组合回转面组合回转面