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1、E-mail:5 5 曲面及其方程曲面及其方程在前面，我们已知，空间平面对应于一在前面，我们已知，空间平面对应于一 个三个三元一次方程元一次方程.反之，任意一个三元一次方程也对应于空间反之，任意一个三元一次方程也对应于空间中的一个平面中的一个平面.如果平面如果平面 的方程是的方程是(1)，其含义是平面，其含义是平面 上任意动点上任意动点(x,y,z)都是都是(1)的解的解.而而(1)的每一组的每一组解也对应于解也对应于 上某一点上某一点.(1)E-mail:定义定义1 设空间曲面设空间曲面S,及三元方程及三元方程 F(x,y,z)=0有如有如下关系：下关系：（1）曲面）曲面 S 上任一点上任一
2、点 M(x,y,z)，其坐标其坐标 x,y,z 都满足都满足F(x,y,z)=0；（2）不在曲面）不在曲面S 上任一点上任一点 M(x,y,z)的坐标不满的坐标不满 足方程足方程F(x,y,z)=0；则说明方程则说明方程F(x,y,z)=0为为曲面曲面S的方程的方程.而曲面而曲面 S 为为 F(x,y,z)=0的的图形图形.一一 曲面方程曲面方程1、曲面方程的概念、曲面方程的概念E-mail:F(x，y，z)0OxyzSM(x，y，z)研究曲面的两个基本问题：研究曲面的两个基本问题：（1）已知曲面，如何求曲面的方程？）已知曲面，如何求曲面的方程？（2）已知方程，如何描绘其曲面？）已知方程，如何
3、描绘其曲面？E-mail:Ozx yM0RM 例例1 求以在求以在M 0(x 0,y 0,z 0)球心球心,R为半径的球面的方程为半径的球面的方程 解解 设设M(x，y，z)是球面上的任一点，是球面上的任一点，那么那么|M 0M|R由于由于|M 0M|所以所以 R，或或 (x x 0)2(y y 0)2(z z 0)2 R 2这就是建立球心在点这就是建立球心在点M 0(x 0，y 0，z 0)半径为半径为R的球面的方程的球面的方程特殊地，球心在原点特殊地，球心在原点O(0，0，0)、半径为半径为R的球面的方程为的球面的方程为x 2 y 2 z 2 R 2E-mail:例例2 设有点设有点A(1
4、,2,3)和和B(2,1,4)，求线段，求线段AB的垂直平的垂直平 分面的方程分面的方程 解解 由题意知道，所求的平面就是与由题意知道，所求的平面就是与A和和B等距离的等距离的 点的几何轨迹点的几何轨迹设设M(x，y，z)为所求平面上的任一点，为所求平面上的任一点，由于由于|AM|BM|，所以所以等式两边平方，然后化简得等式两边平方，然后化简得2x 6y 2z 7 0这就是线段这就是线段AB的垂直平分面的的垂直平分面的方程方程Ozx yABME-mail:解解 通过配方，原方程可以改写成通过配方，原方程可以改写成 (x 1)2(y 2)2 z 2 5例例3 方程方程x 2 y 2 z 2 2x
5、 4y 0表示怎样的曲面？表示怎样的曲面？这是一个球面方程，球心在点这是一个球面方程，球心在点M 0(1，2，0)、比较：比较：球心在点球心在点M 0(x 0，y 0，z 0)、半径为、半径为R的球面的球面 的方程的方程 (x x 0)2(y y 0)2(z z 0)2 R 2，E-mail: 一般地，设有三元二次方程一般地，设有三元二次方程A x 2 A y 2 A z 2 D x E y F z G 0，这个方程的特点是缺这个方程的特点是缺x y，y z，z x 各项，而且平方各项，而且平方项系数相同，项系数相同，只要将方程经过配方就可以化成方程只要将方程经过配方就可以化成方程(x x 0
6、)2(y y 0)2(z z 0)2 R 2的形式，的形式，它的图形就是一个球面它的图形就是一个球面E-mail: 空间曲线可以视为两区面的交线，设两曲面的空间曲线可以视为两区面的交线，设两曲面的方程分别为：方程分别为：则空间曲线则空间曲线L的一般方程：的一般方程：（*）有如下关系：有如下关系：（1）曲线）曲线L上所有点的坐标都满足（上所有点的坐标都满足（*）（2）坐标满足（）坐标满足（*）的所有点都在曲线）的所有点都在曲线L上。上。则称方程（则称方程（*）为曲面）为曲面L的一般方程，而曲线的一般方程，而曲线L称为方程组（称为方程组（*）对应的曲线。）对应的曲线。例如：例如：表示空间中的一个圆
7、表示空间中的一个圆E-mail: 沿曲线沿曲线C C平行于平行于z z轴的一切直线所形成的曲面称轴的一切直线所形成的曲面称为为圆柱面圆柱面，其上所有点的坐标都满足此方程，其上所有点的坐标都满足此方程,故在空故在空间上：间上：1 1、柱面、柱面二、常见曲面方程二、常见曲面方程E-mail:类似圆柱面给出一般柱面的定义类似圆柱面给出一般柱面的定义:OxyzCl母线准线E-mail:例例4 设设，解：在柱面上任意取一点解：在柱面上任意取一点M(x,y,z),则则M必在某条母必在某条母 线上，它与线上，它与的交点为的交点为M1(x,y,0),从而有从而有另一方面：若另一方面：若M(x,y,z)满足满足
8、，则，则M必在经过必在经过M(x,y,0)的母线上，且的母线上，且z=0，故所求，故所求柱面方程为柱面方程为，故曲面上任一点都满足，故曲面上任一点都满足E-mail:【注】此表达式中，缺【注】此表达式中，缺z。同理：同理：以以，为准线，母线分别平行为准线，母线分别平行于于y，z轴的柱面方程分别为：轴的柱面方程分别为：其中：其中：代表母线平行于代表母线平行于x轴的圆柱面；轴的圆柱面；代表母线平行于代表母线平行于y轴的圆柱面；轴的圆柱面；E-mail:下面介绍一般锥面定义：下面介绍一般锥面定义：其中定点称为锥面的顶点，定曲线称为锥面的准其中定点称为锥面的顶点，定曲线称为锥面的准线，构成线，构成准线
9、准线的直线称为锥面的的直线称为锥面的母线母线.(见下图见下图)2.2.锥面锥面E-mail:特别，当准线为圆时就是我们常见的圆锥面特别，当准线为圆时就是我们常见的圆锥面.0 xyzlE-mail:E-mail:E-mail:3.3.旋转曲面旋转曲面E-mail:总结：总结：E-mail:例例6 把椭圆把椭圆绕绕x轴旋转，所形成的旋转轴旋转，所形成的旋转曲面的方程：曲面的方程：，绕绕z轴旋转，所形成的旋转轴旋转，所形成的旋转曲面的方程：曲面的方程：这两种曲面均称为这两种曲面均称为旋转椭球面旋转椭球面。E-mail:例例7 把曲线把曲线绕绕x轴旋转，所形成的旋转轴旋转，所形成的旋转曲面的方程：曲面
10、的方程：，绕绕z轴旋转，所形成的旋转轴旋转，所形成的旋转曲面的方程：曲面的方程：这两种曲面均称为这两种曲面均称为旋转双曲面旋转双曲面。E-mail:例例8 把抛物线把抛物线绕绕x轴旋转，所形成的旋转轴旋转，所形成的旋转曲面的方程：曲面的方程：，绕绕y轴旋转，所形成的旋转轴旋转，所形成的旋转曲面的方程：曲面的方程：这两种曲面均称为这两种曲面均称为旋转抛物面旋转抛物面。E-mail:下面讨论椭球面地性质下面讨论椭球面地性质4.4.椭球面椭球面E-mail:E-mail:zxy0E-mail:5 5、双曲面、双曲面E-mail: 显然由类似的讨论可知单叶双曲面对于三个显然由类似的讨论可知单叶双曲面对
11、于三个坐标轴、三个坐标平面和原点都是对称的坐标轴、三个坐标平面和原点都是对称的.E-mail:E-mail:(2)双叶双曲面双叶双曲面 显然双叶双曲面是关于三个坐标平面、三个显然双叶双曲面是关于三个坐标平面、三个坐标轴及原点对称坐标轴及原点对称.E-mail:E-mail:6.6.抛物面抛物面E-mail:E-mail:E-mail:E-mail:在在讲讲直直线线与与平平面面之之关关系系时时，曾曾介介绍绍过过如如何何求求空空间间直直线线在在某某平平面面上上的的投投影影.下下面面介介绍绍一一般般的空间曲线在坐标面上的投影的空间曲线在坐标面上的投影.设空间曲线设空间曲线F(x,y,z)=0,G(x
12、,y,z)=0,消去消去 z，得得 H(x,y)=0.C:三、空间曲线在坐标面上的投影三、空间曲线在坐标面上的投影H(x,y)=0 z=0即为曲线即为曲线 C 在在 xoy 面的投影曲线方程面的投影曲线方程.E-mail:【注】【注】同理：消去同理：消去x得到在得到在yoz上面的投影方程；上面的投影方程；消去消去y得到在得到在xoz上面的投影方程；上面的投影方程；E-mail:例例9 求求解解：在三个坐标轴上的投影曲线在三个坐标轴上的投影曲线E-mail:练习：练习：求球面求球面 x2+y2+z2=1.和和x2+(y 1)2+(z 1)2=1 的交线在的交线在 xoy 面上的投影方程面上的投影方程.解解：交线方程为：交线方程为 x2+y2+z2=1 x2+(y 1)2+(z 1)2=1.zxyE-mail:投影方程：投影方程：x2+2y2 2y=0，z=0.两式相减：两式相减：2y+2z=2.即即 z=1 y.代入第一个方程代入第一个方程.x2+y2+(1 y)2=1,x2+2y2 2y=0.