有限元单元劲度矩阵幻灯片.ppt

《有限元单元劲度矩阵幻灯片.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《有限元单元劲度矩阵幻灯片.ppt（61页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。

1、有限元课件单元劲度矩阵1第1页，共61页，编辑于2022年，星期六 形函数是有限单元法中的一个重要函数，它具有以形函数是有限单元法中的一个重要函数，它具有以下性质：下性质：性质性质1 形函数形函数Ni在节点在节点i上的值等于上的值等于1，在其它节点，在其它节点 上的值等于上的值等于0。对于本单元，有。对于本单元，有 4）形函数的性质）形函数的性质2第2页，共61页，编辑于2022年，星期六（i、j、m）性质性质2 在单元中任一点，所有形函数之和等于在单元中任一点，所有形函数之和等于1。对。对 于本单元，有于本单元，有xyN（i，j，m）Ni=1ijm3第3页，共61页，编辑于2022年，星期六

2、xyN（I，j，m）Ni=1ijmNj=1ijmNm=1ijmNi=1ijmNj=1Nm=1也可利用行列式代数余子式与某行或列元素乘也可利用行列式代数余子式与某行或列元素乘积的性质（等于行列式值或积的性质（等于行列式值或0）证明。）证明。4第4页，共61页，编辑于2022年，星期六性质性质3 在三角形单元的边界在三角形单元的边界ij上任一点（上任一点（x，y），有），有 xxixjxyNi(xi，yi)j(xj，yj)m(xm，ym)Ni(x、y)1证证5第5页，共61页，编辑于2022年，星期六性质性质4 形函数在单元上的面积分和在边界上形函数在单元上的面积分和在边界上的线积分公式为的线积分

3、公式为(6-14）式中式中 为为 边的长度。边的长度。在三角形的形心，在三角形的形心，1/3 （面积坐标概念）（面积坐标概念）在三角形的在三角形的ij和和im边的中点，边的中点，1/26第6页，共61页，编辑于2022年，星期六计算单元位移函数举例计算单元位移函数举例 例题：图示等腰三角形单元，求其形态矩阵和位移函数例题：图示等腰三角形单元，求其形态矩阵和位移函数7第7页，共61页，编辑于2022年，星期六计算单元位移函数举例计算单元位移函数举例 由三角形的面积由三角形的面积8第8页，共61页，编辑于2022年，星期六计算单元位移函数举例计算单元位移函数举例 (6-11）举例验证形函数性质；加

4、权平均；内插举例验证形函数性质；加权平均；内插9第9页，共61页，编辑于2022年，星期六3、位移模式与解答的收敛性、位移模式与解答的收敛性10第10页，共61页，编辑于2022年，星期六 （1）位移函数的个数位移函数的个数等于等于单元中任意一点的位移分量个数。本单元中有单元中任意一点的位移分量个数。本单元中有u和和v，与此相应，有，与此相应，有2个位移函数；个位移函数；（3）位移函数中待定常数个数位移函数中待定常数个数 待定常数个数应等于待定常数个数应等于单元节点自由度总数单元节点自由度总数，以便用，以便用单元节点位移确定位移函数中的待定常数。本单元有单元节点位移确定位移函数中的待定常数。本

5、单元有6个个节点自由度，两个位移函数中共包含节点自由度，两个位移函数中共包含6个待定常数。个待定常数。（2）位移函数是坐标的函数位移函数是坐标的函数 本单元的坐标系为：本单元的坐标系为：x、y；11第11页，共61页，编辑于2022年，星期六 （4）位移函数中必须包含单元的刚体位移。位移函数中必须包含单元的刚体位移。（5）位移函数中必须包含单元的常应变。位移函数中必须包含单元的常应变。（6）位移函数在单元内要连续。相邻单元间要尽位移函数在单元内要连续。相邻单元间要尽 量协调。量协调。条件（条件（4）、（）、（5）构成单元的）构成单元的完备性完备性准则。准则。条件（条件（6）是单元的位移）是单元

6、的位移协调性协调性条件。条件。理论和实践都已证明，完备性准则是有限元解收敛于真理论和实践都已证明，完备性准则是有限元解收敛于真实解的必要条件。单元的位移协调条件构成有限元解收敛于实解的必要条件。单元的位移协调条件构成有限元解收敛于真实解的充分条件。真实解的充分条件。容易证明，三角形三节点常应变单元满足以上必要与充容易证明，三角形三节点常应变单元满足以上必要与充分条件。分条件。12第12页，共61页，编辑于2022年，星期六 位移函数的形式位移函数的形式 一般选为完全多项式。为实现（一般选为完全多项式。为实现（4）（6）的要求，根）的要求，根据据Pascal三角形由低阶到高阶按顺序、对称地选取；

7、多项式三角形由低阶到高阶按顺序、对称地选取；多项式的项数一般应等于单元节点自由度数。的项数一般应等于单元节点自由度数。13第13页，共61页，编辑于2022年，星期六例：平面应力矩形板被划分为若干三角形单元。例：平面应力矩形板被划分为若干三角形单元。位移函数中包含了单元的常应变。位移函数中包含了单元的常应变。(a2,a6,a3+a5)位移函数中包含了单元的刚体位移。位移函数中包含了单元的刚体位移。(a1,a4)254136对任一单元，如对任一单元，如单元，取位移函数：单元，取位移函数：14第14页，共61页，编辑于2022年，星期六、单元的位移函数都是单元的位移函数都是可以看出：可以看出：位移

8、函数在单元内是连续的；位移函数在单元内是连续的；以以、的边界的边界26为例为例2562635623xyuu6u2uu6u2两条直线上有两个点重合，此两条直线必全重合。两条直线上有两个点重合，此两条直线必全重合。位移函数在单元之间的边界上也连续吗？是。位移函数在单元之间的边界上也连续吗？是。15第15页，共61页，编辑于2022年，星期六第三次课第三次课第第6章章 用有限单元法解平面问题用有限单元法解平面问题64、5 单元劲度矩阵与相关问题单元劲度矩阵与相关问题（单元分析）（单元分析）16第16页，共61页，编辑于2022年，星期六 回顾：回顾：单元分析单元分析 取结点位移作基本未知量。由结点位

9、移求结点力：取结点位移作基本未知量。由结点位移求结点力：其中，转换矩阵称为单元刚度矩阵。单元分析的主要目的就是要求出其中，转换矩阵称为单元刚度矩阵。单元分析的主要目的就是要求出单元刚度矩阵。单元刚度矩阵。单元分析的步骤可表示如下：单元分析的步骤可表示如下：17第17页，共61页，编辑于2022年，星期六64、5 单元单元劲度矩阵与相关问题劲度矩阵与相关问题1、由单元结点位移表出单元应变、由单元结点位移表出单元应变 几何方程几何方程2、由单元结点位移表出单元应力、由单元结点位移表出单元应力 物理方程物理方程3、由单元结点位移表出单元结点力、由单元结点位移表出单元结点力 虚功方程虚功方程4、单元劲

10、度（刚度）矩阵及其性质、单元劲度（刚度）矩阵及其性质18第18页，共61页，编辑于2022年，星期六 根据根据几何方程几何方程和位移函数可以求得单元应变。和位移函数可以求得单元应变。1、由单元结点位移表出单元应变、由单元结点位移表出单元应变 几何方程几何方程19第19页，共61页，编辑于2022年，星期六1、由单元结点位移表出单元应变、由单元结点位移表出单元应变 几何方程几何方程 根据几何方程和根据几何方程和位移函数位移函数可以求得单元应变。可以求得单元应变。20第20页，共61页，编辑于2022年，星期六(6-16a）1、由单元结点位移表出单元应变、由单元结点位移表出单元应变 几何方程几何方

11、程 根据几何方程和位移函数可以求得根据几何方程和位移函数可以求得单元应变单元应变。21第21页，共61页，编辑于2022年，星期六上式简写一般式：上式简写一般式：(6-16b）式中，式中，B单元应变矩阵。单元应变矩阵。对本问题，维数为对本问题，维数为36。它的分块形式为：。它的分块形式为：子矩阵子矩阵(6-17）根据几何方程和位移函数可以求得根据几何方程和位移函数可以求得单元应变单元应变22第22页，共61页，编辑于2022年，星期六 由由于于 与与x、y无无关关，都都是是常常量量，因因此此B矩矩阵阵也也是是常常量量。单单元元中中任任一一点点的的应应变变分分量量是是B矩矩阵阵与与单单元元结结点

12、点位位移移的的乘乘积积，因因而而也也都都是是常常量量。因因此此，这这种种单元被称为常应变单元（单元被称为常应变单元（精度较低精度较低!）。）。根据几何方程和位移函数可以求得根据几何方程和位移函数可以求得单元应变单元应变由位移模式可知：当单元尺度足够小时，三角形常应变单元由位移模式可知：当单元尺度足够小时，三角形常应变单元位移的误差量级是位移的误差量级是单元尺度单元尺度 或或 的的二阶小量二阶小量，应变，应变的误差量级则是相应的的误差量级则是相应的一阶小量一阶小量。23第23页，共61页，编辑于2022年，星期六平面应力问题的弹性矩阵平面应力问题的弹性矩阵2、由单元结点位移表出单元应力、由单元结

13、点位移表出单元应力 物理方程物理方程只只要要将将上上式式中中的的E换换成成 ，换换成成 即即得得平平面面应力问题的弹性矩阵应力问题的弹性矩阵。24第24页，共61页，编辑于2022年，星期六 将应变表达式：将应变表达式：(6-18a）也可写为也可写为：(6-18b）2、由单元结点位移表出单元应力、由单元结点位移表出单元应力 物理方程物理方程代入代入物理方程式：物理方程式：得得单元应力单元应力：25第25页，共61页，编辑于2022年，星期六平面应力问题的物理方程平面应力问题的物理方程物理方程简化为：物理方程简化为：转化成应力分量用应变分量表示的形式：转化成应力分量用应变分量表示的形式：26第2

14、6页，共61页，编辑于2022年，星期六其中：其中：S称为称为单元应力矩阵单元应力矩阵，并有，并有(6-19a）这里，这里，D是是33矩阵，矩阵，B是是36矩阵，因此矩阵，因此S也是也是36矩阵。它可写为分块形式矩阵。它可写为分块形式 2、由单元结点位移表出单元应力、由单元结点位移表出单元应力 物理方程物理方程 由由于于B和和 D矩矩阵阵都都是是常常量量矩矩阵阵，因因此此S矩矩阵阵也也是是常常量量矩矩阵阵。因因而而单单元元中中任任一一点点的的应应力力分分量量也也都都是是常常量量。这表明这表明应力的误差量级与应变相同，也是应力的误差量级与应变相同，也是一阶小量一阶小量。27第27页，共61页，编

15、辑于2022年，星期六(6-20）式式(6-20）是是平平面面应应力力的的结结果果。对对于于平平面面应应变变问问题题，只要将上式中的只要将上式中的E换成换成 ，换成换成 即得。即得。由上式可得子矩阵由上式可得子矩阵Si(6-19b）其中：其中：28第28页，共61页，编辑于2022年，星期六(6-21）同同一一单单元元内内三三角角形形三三节节点点单单元元内内的的应应变变和和应应力力分分量量是是常常量。量。但但是是，相相邻邻单单元元的的bi、ci(i，j，m)一一般般不不完完全全相相同同，因因而而具具有有不不同同的的应应变变和和应应力力，这这就就造造成成在在相相邻邻单单元元的的公公共共边边上上存

16、存在在着着应应变变和和应应力力突突变变现现象象。但但是是随随着着网网格格的的细细分分，这这种种突突变将会迅速减小，收敛于平衡被满足。变将会迅速减小，收敛于平衡被满足。29第29页，共61页，编辑于2022年，星期六3、由单元结点位移表出单元结点力、由单元结点位移表出单元结点力 虚功方程虚功方程30第30页，共61页，编辑于2022年，星期六1)虚功方程（等价于平衡方程和应力边界条件）虚功方程（等价于平衡方程和应力边界条件）ijmxyt31第31页，共61页，编辑于2022年，星期六2)结点力与结点位移（实与虚）结点力与结点位移（实与虚）32第32页，共61页，编辑于2022年，星期六 考虑上图

17、三角形单元的实际受力，结点力和内部应力为：考虑上图三角形单元的实际受力，结点力和内部应力为：任意虚设位移，结点位移与内部应变为任意虚设位移，结点位移与内部应变为2)结点力与结点位移（实与虚）结点力与结点位移（实与虚）33第33页，共61页，编辑于2022年，星期六结点力虚功结点力虚功 令实际受力状态在虚设位移上作虚功，外力虚功为令实际受力状态在虚设位移上作虚功，外力虚功为34第34页，共61页，编辑于2022年，星期六单元应力虚功单元应力虚功 微小矩形微小矩形 的内力虚功为的内力虚功为 整个弹性体的内力虚功为整个弹性体的内力虚功为35第35页，共61页，编辑于2022年，星期六虚功方程的应用虚

18、功方程的应用 根据虚功原理，得根据虚功原理，得 这就是弹性平面问题的虚功方程，实质是外力与应力之间的平衡方程。这就是弹性平面问题的虚功方程，实质是外力与应力之间的平衡方程。虚应变可以由结点虚位移求出：虚应变可以由结点虚位移求出：代入虚功方程代入虚功方程36第36页，共61页，编辑于2022年，星期六 接上式，将应力用结点位移表示出接上式，将应力用结点位移表示出 有有 令令 则则 建立了单元的结点力与结点位移之间的关系，建立了单元的结点力与结点位移之间的关系，称为单称为单元劲度或刚度矩阵元劲度或刚度矩阵。它是。它是6*66*6矩阵，其元素表示该单元的各结点沿坐矩阵，其元素表示该单元的各结点沿坐标

19、方向发生单位位移时引起的结点力，它决定于该单元的形状、大标方向发生单位位移时引起的结点力，它决定于该单元的形状、大小、方位和弹性常数，而与单元的位置无关，即不随单元或坐标轴小、方位和弹性常数，而与单元的位置无关，即不随单元或坐标轴的平行移动而改变。的平行移动而改变。虚功方程的展开虚功方程的展开37第37页，共61页，编辑于2022年，星期六 由于由于DD中元素是常量，而在线性位移模式下，中元素是常量，而在线性位移模式下，BB中的元素也是中的元素也是常量，且常量，且 因此因此 可以进一步得出平面应力问题和平面应变问题中的单元刚度可以进一步得出平面应力问题和平面应变问题中的单元刚度矩阵。矩阵。4、

20、单元劲度（刚度）矩阵及其性质、单元劲度（刚度）矩阵及其性质38第38页，共61页，编辑于2022年，星期六 注意到注意到即可计算出平面应力三角形单元的刚度矩阵。写成分块形即可计算出平面应力三角形单元的刚度矩阵。写成分块形式，有式，有(6-24）39第39页，共61页，编辑于2022年，星期六式式(6-24)中子矩阵中子矩阵krs为为22矩阵，且有矩阵，且有(6-25）对于平面应变问题对于平面应变问题，须将上式中的，须将上式中的E换为换为 ，换为换为 ，于是有，于是有其中，其中，bi(j,m)、ci(j,m)是形函数式中的系数。是形函数式中的系数。40第40页，共61页，编辑于2022年，星期六

21、(6-26）对于平面应变问题：对于平面应变问题：41第41页，共61页，编辑于2022年，星期六 平面问题的单元刚度矩阵平面问题的单元刚度矩阵k不随单元（或坐标轴）不随单元（或坐标轴）的平行移动而改变。的平行移动而改变。由公式由公式(6-25）、）、(6-26）知，）知，krs矩阵和其中的矩阵和其中的br、cr、bs、cs（r、s=i、j、m）有关。）有关。三角形单元刚度矩阵的特点三角形单元刚度矩阵的特点42第42页，共61页，编辑于2022年，星期六ijmxyo(1-17）ijmyjym43第43页，共61页，编辑于2022年，星期六 平面问题的单元刚度矩阵平面问题的单元刚度矩阵k不随单元的

22、放大或缩小而不随单元的放大或缩小而改变。改变。(板书补充解释板书补充解释)三角形单元刚度矩阵的特点三角形单元刚度矩阵的特点44第44页，共61页，编辑于2022年，星期六 （1）单元刚度矩阵中每个元素有明确的物理意义）单元刚度矩阵中每个元素有明确的物理意义例如，例如，kij表示单元第表示单元第j个自由度产生单位位移个自由度产生单位位移(j=1)，其他自由度其他自由度固定（固定（=0）时，在第）时，在第i个自由度产生的节点力个自由度产生的节点力Fi。主对角线上元素主对角线上元素kii(i=1,nj)恒为正值。恒为正值。单元刚度矩阵性质（单元刚度矩阵性质（）45第45页，共61页，编辑于2022年

23、，星期六（2）k的每一行或每一列元素之和为零的每一行或每一列元素之和为零F1=0F2=0F3=0Fi=0Fj=0Fnj=0rst11以上式中第以上式中第i行为例（行为例（板书补充说明板书补充说明）当所有节点沿当所有节点沿x向或向或y向向都产生单位位移时，都产生单位位移时，单元作平动运动，无应变，也单元作平动运动，无应变，也无应力。无应力。则有：则有：即：即：k的每一行元素之和为零。根据对称性，每一列元的每一行元素之和为零。根据对称性，每一列元素之和也为零。素之和也为零。rstxy图图1-646第46页，共61页，编辑于2022年，星期六 单元刚度矩阵所有奇数行的对应元素之和单元刚度矩阵所有奇数

24、行的对应元素之和为零，所有偶数行的对应元素之和也为零。为零，所有偶数行的对应元素之和也为零。由此可见，单元刚度矩阵各列元素的总和由此可见，单元刚度矩阵各列元素的总和为零。由对称性可知，各列元素的总和也为零。由对称性可知，各列元素的总和也如此。如此。47第47页，共61页，编辑于2022年，星期六（3）k是对称矩阵是对称矩阵 由由k各元素各元素的表达式，可知的表达式，可知k具有对称性。具有对称性。njnj对于主对角线元素对称。对称表达式：对于主对角线元素对称。对称表达式：kij =kji48第48页，共61页，编辑于2022年，星期六单元刚度矩阵性质（单元刚度矩阵性质（对称性证明对称性证明）49

25、第49页，共61页，编辑于2022年，星期六单元刚度矩阵性质（单元刚度矩阵性质（对称性证明对称性证明）50第50页，共61页，编辑于2022年，星期六单元刚度矩阵性质（单元刚度矩阵性质（对称性证明对称性证明）虚功概念，互等功定理虚功概念，互等功定理51第51页，共61页，编辑于2022年，星期六 注意到注意到(6-24）对称性得证对称性得证52第52页，共61页，编辑于2022年，星期六（4）单元刚度矩阵是奇异矩阵）单元刚度矩阵是奇异矩阵 即即k的行列式为零（由行列式性质）的行列式为零（由行列式性质）。单元刚度矩阵是在单元处于平衡状态的前提下得出单元刚度矩阵是在单元处于平衡状态的前提下得出的。

26、单元作为分离体看待，作用在它上面的外力（单元的。单元作为分离体看待，作用在它上面的外力（单元力）必定是平衡力系。然而，研究单元平衡时没有引入力）必定是平衡力系。然而，研究单元平衡时没有引入约束。约束。承受平衡力系作用的无约束单元，其变形是确定的，承受平衡力系作用的无约束单元，其变形是确定的，但位移不是确定的。但位移不是确定的。所以出现性质（所以出现性质（3）中的）中的“平动问题平动问题”，即单元可以发生任意的刚体运动。从数学上讲，方程，即单元可以发生任意的刚体运动。从数学上讲，方程(1-28）的解不是唯一的或不能确定的。由此，单元刚度矩阵一）的解不是唯一的或不能确定的。由此，单元刚度矩阵一定是

27、奇异的。定是奇异的。53第53页，共61页，编辑于2022年，星期六 单元面积单元面积:例：计算平面应力直角三角形单元刚度矩阵例：计算平面应力直角三角形单元刚度矩阵求下图所示单元的刚度矩阵，设求下图所示单元的刚度矩阵，设Xi(j,m)Yi(j,m)bi(j,m)ci(j,m)ia0a0j0a0am00-a-a54第54页，共61页，编辑于2022年，星期六 求下图所示单元的刚度矩阵，设求下图所示单元的刚度矩阵，设例：计算平面应力直角三角形单元刚度矩阵例：计算平面应力直角三角形单元刚度矩阵1、求、求B2、求、求D3、求、求S55第55页，共61页，编辑于2022年，星期六 求下图所示单元的刚度矩

28、阵，设求下图所示单元的刚度矩阵，设例：计算平面应力直角三角形单元刚度矩阵例：计算平面应力直角三角形单元刚度矩阵求求56第56页，共61页，编辑于2022年，星期六 与坐标轴同向为正，反向为负与坐标轴同向为正，反向为负关于量纲：秒、米、牛为基本量纲，其它为导出量纲关于量纲：秒、米、牛为基本量纲，其它为导出量纲关于结点力与位移的正负号关于结点力与位移的正负号57第57页，共61页，编辑于2022年，星期六例：计算平面应力直角三角形单元刚度矩阵例：计算平面应力直角三角形单元刚度矩阵 图示出一平面应力直角三角形单元，直角边长分别为图示出一平面应力直角三角形单元，直角边长分别为a、b，厚度为，厚度为h，

29、弹性模量为，弹性模量为E，泊松比为，泊松比为，计算单元刚度矩阵。，计算单元刚度矩阵。ijmabxy58第58页，共61页，编辑于2022年，星期六 第一步：计算第一步：计算bi、ci和单元和单元 面积面积A。ijmabxyXi(j,m)Yi(j,m)bi(j,m)ci(j,m)ia0b0j0b0am00-b-a表表2-1 单元节点坐标和单元节点坐标和bi、ci值（值（i、j、m）参数参数节点节点单元面积单元面积:A=ab/2 计算步骤计算步骤59第59页，共61页，编辑于2022年，星期六 第二步：求子矩阵第二步：求子矩阵 其他从略。其他从略。第三步：形成第三步：形成k将将kii等组集成等组集成k。60第60页，共61页，编辑于2022年，星期六61第61页，共61页，编辑于2022年，星期六