《有限元单元位移模式与形函数幻灯片.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《有限元单元位移模式与形函数幻灯片.ppt（65页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、有限元课件单元位移模式与形函数1第1页，共65页，编辑于2022年，星期六第第1章章 绪绪 论论1.1 有限元方法概念及相关问题有限元方法概念及相关问题1.2 弹性平面应力或应变问题弹性平面应力或应变问题2第2页，共65页，编辑于2022年，星期六1.1 有限元方法概念及相关问题有限元方法概念及相关问题1.有限元方法概念有限元方法概念2.有限元方法的分析步骤有限元方法的分析步骤3.有限元方法的优点与应用有限元方法的优点与应用4.有限元基础课程的主要教学内容有限元基础课程的主要教学内容3第3页，共65页，编辑于2022年，星期六1.有限元方法概念有限元方法概念 结构力学中的位移法，是杆系结构有限
2、单元法的基础结构力学中的位移法，是杆系结构有限单元法的基础 计算结构力学中的计算结构力学中的矩阵位移法矩阵位移法，就是杆系结构有限单元法，就是杆系结构有限单元法 弹性力学有限单元法离散连续介质（或广义离散结构）弹性力学有限单元法离散连续介质（或广义离散结构）的矩阵位移法的矩阵位移法 有限元法，简单地说，就是用结构力学方法求解弹性力学有限元法，简单地说，就是用结构力学方法求解弹性力学 问题。即首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结问题。即首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结 构力学方法进行求解的一种数值方法。构力学方法进行求解的一种数值方法。仅限于讨论弹性力学平面问题的（位移）有限单元
3、法仅限于讨论弹性力学平面问题的（位移）有限单元法 位移法位移法，力法，混合法，力法，混合法 4第4页，共65页，编辑于2022年，星期六2.有限元法分析流程或步骤有限元法分析流程或步骤解综合方程解综合方程K=P求结构节点位移求结构节点位移计算结构内力和应力计算结构内力和应力系统分析系统分析(把单元刚度矩阵集合成结构刚度矩阵把单元刚度矩阵集合成结构刚度矩阵K形成等价节点荷载形成等价节点荷载P)离散（剖分）结构离散（剖分）结构为若干单元为若干单元单元分析单元分析(建立单元刚度矩阵建立单元刚度矩阵ke形成单元等价节点力形成单元等价节点力)5第5页，共65页，编辑于2022年，星期六 把连续体变换成为
4、离散化结构举例。弹性悬臂板的剖把连续体变换成为离散化结构举例。弹性悬臂板的剖分与集合。分与集合。划分的单元大小和数目根据计算精度和计算机能力来确划分的单元大小和数目根据计算精度和计算机能力来确定。定。12345678910P5764 56345678 单元、节点需编号单元、节点需编号6第6页，共65页，编辑于2022年，星期六3.有限元法主要优点与应用有限元法主要优点与应用（1）物理概念清晰，容易掌握。（离散、插值、能量原理、数）物理概念清晰，容易掌握。（离散、插值、能量原理、数学分析）学分析）（2）适用性强，应用范围广，几乎适用于所有连续体和场问题的分析。）适用性强，应用范围广，几乎适用于所
5、有连续体和场问题的分析。（结构、热、流体、电磁场和声学等问题；动与静；（结构、热、流体、电磁场和声学等问题；动与静；线性与非线性线性与非线性）（3）计算规格化（采用矩阵表示），便于计算机编程。）计算规格化（采用矩阵表示），便于计算机编程。（4）无需）无需建立和求解偏微分方程建立和求解偏微分方程。有限单元法与有限单元法与有限差分法的对比？有限差分法的对比？7第7页，共65页，编辑于2022年，星期六4.有限元基础课程的主要教学内容有限元基础课程的主要教学内容A A、有限元分析方法、有限元分析方法B B、有限元程序设计、有限元程序设计C C、有限元程序应用、有限元程序应用8第8页，共65页，编辑于
6、2022年，星期六1.2 弹性平面问题弹性平面问题1.弹性力学基本假定弹性力学基本假定2.两种弹性力学平面问题两种弹性力学平面问题3.弹性平面问题基本量及方程的矩阵表示弹性平面问题基本量及方程的矩阵表示4.边界（或支撑）条件边界（或支撑）条件5.弹性平面问题的经典解法弹性平面问题的经典解法9第9页，共65页，编辑于2022年，星期六1.弹性力学基本假定弹性力学基本假定 连续性连续性 完全弹性完全弹性 均匀性均匀性 各向同性各向同性以上四条合称为理想弹性体假定以上四条合称为理想弹性体假定 小变形假定（小变形假定（线性叠加原理适用线性叠加原理适用）10第10页，共65页，编辑于2022年，星期六2
7、.两类弹性力学平面问题两类弹性力学平面问题 平面应力问题平面应力问题 平面应变问题平面应变问题11第11页，共65页，编辑于2022年，星期六 平面应力问题有限元分析的目的平面应力问题有限元分析的目的A、获得单元位移场、获得单元位移场B、获得单元应变场、获得单元应变场C、获得单元应力场、获得单元应力场12第12页，共65页，编辑于2022年，星期六两种平面问题都是空间问题的近似两种平面问题都是空间问题的近似弹性力学可分为空间问题和平面问题，严格地说，任何弹性力学可分为空间问题和平面问题，严格地说，任何一个一个弹性体都是空间物体弹性体都是空间物体，一般的外力都是空间力系，因，一般的外力都是空间力
8、系，因而任何实际问题都是空间问题，都必须考虑所有的位移分而任何实际问题都是空间问题，都必须考虑所有的位移分量、应变分量和应力分量。量、应变分量和应力分量。但是，如果所考虑的弹性体但是，如果所考虑的弹性体具有特殊的形状具有特殊的形状，并且承受的是并且承受的是特殊外力特殊外力，就有可能把空间问题，就有可能把空间问题简化为近似的平面问题，只考虑部分的位移简化为近似的平面问题，只考虑部分的位移分量、应变分量和应力分量即可。分量、应变分量和应力分量即可。13第13页，共65页，编辑于2022年，星期六平面平面应力应力问题问题 厚厚度度为为t的的很很薄薄的的均均匀匀木木板板。只只在在边边缘缘上上受受到到平
9、平行行于于板板面面且且不不沿沿厚厚度度变变化化的的面面力力，同同时时，体力也平行于板面且不沿厚度变化。体力也平行于板面且不沿厚度变化。以以薄薄板板的的中中面面为为xy面面，以以垂垂直直于于中中面面的的任任一一直直线线为为Z轴轴。由由于于薄薄板板两两表表面面上上没没有有垂垂直直和平行于板面的外力，所以板面上各点均有：和平行于板面的外力，所以板面上各点均有：另外由于另外由于平板很薄平板很薄，外力又不沿厚度变化，可认为在整个薄板内各点均有：，外力又不沿厚度变化，可认为在整个薄板内各点均有：于于 是是，在在 六六 个个 应应 力力 分分 量量 中中，只只 需需 要要 研研 究究 剩剩 下下 的的 平平
10、 行行 于于XOY平平 面面 的的 三三 个个 应应 力力 分分 量量，即即 ，所以称为，所以称为平面应力问题平面应力问题。14第14页，共65页，编辑于2022年，星期六平面应力问题平面应力问题三维应力问题三维应力问题可以简化为：可以简化为：15第15页，共65页，编辑于2022年，星期六平面应力问题的应变平面应力问题的应变对应的剪应变：对应的剪应变：由物理方程中的第三式可见：由物理方程中的第三式可见：不不独独立立，在在分分析析问问题题时时不不必必考考虑虑。于于是是应应变矩阵简化为：变矩阵简化为：16第16页，共65页，编辑于2022年，星期六平面应力问题的物理方程平面应力问题的物理方程物理
11、方程简化为：物理方程简化为：转化成应力分量用应变分量表示的形式：转化成应力分量用应变分量表示的形式：17第17页，共65页，编辑于2022年，星期六平面应力问题矩阵物理方程平面应力问题矩阵物理方程矩阵方程表示：矩阵方程表示：它仍然可以简写为：它仍然可以简写为：弹性矩阵弹性矩阵D 为：为：18第18页，共65页，编辑于2022年，星期六平面应力问题的几何方程平面应力问题的几何方程只有只有 三个应变分量需要考虑，所以三维几何方程三个应变分量需要考虑，所以三维几何方程简化为：简化为：19第19页，共65页，编辑于2022年，星期六平面应力问题平面应力问题弹性体的虚功方程弹性体的虚功方程简化为简化为2
12、0第20页，共65页，编辑于2022年，星期六平面应变问题平面应变问题 一一纵纵向向(即即Z向向)很很长长，且且沿沿横横截截面面不不变变的的物物体体，受受有有平平行行于于横横截截面面而而且且不不沿沿长长度度变化的面力和体力，如图变化的面力和体力，如图1-11所示。所示。由由于于物物体体的的纵纵向向很很长长(在在力力学学上上可可近近似似地地作作为为无无限限长长考考虑虑)，截截面面尺尺寸寸与与外外力力又又不不沿沿长长度度变变化化；当当以以任任一一横横截截面面为为xy面面，任任一一纵纵线线为为Z轴轴时时，则则所所有有一一切切应应力力分分量量、应应变变分分量量和和位位移移分分量量都都不不沿沿Z方方向向
13、变变化化，它它们们都都只只是是x和和y的的函函数数。此此外外，在在这这一一情情况况下下，由由于于对对称称(任任一一横横截截面面都都可可以以看看作作对对称称面面)，所所有有各各点点都都只只会会有有x和和y方方向向的的位位移移而而不不会会有有Z方方向向的的位位移移，即即 w=0 因因此此，这这种种问问题题称称为为平平面面位位移移问问题题，但但习惯上常称为习惯上常称为平面应变问题平面应变问题。21第21页，共65页，编辑于2022年，星期六平面应变问题的几何方程平面应变问题的几何方程既然既然w=0，且，且u及及v又只是又只是x和和y的函数，由空间问题几何方程的函数，由空间问题几何方程可得可得 。于是
14、矩阵几何方程简化为方程。于是矩阵几何方程简化为方程22第22页，共65页，编辑于2022年，星期六平面应变问题的物理方程平面应变问题的物理方程因为因为由空间物理方程可得由空间物理方程可得又由物理方程又由物理方程1中的第三式可得：中的第三式可得：在平面应变问题中，虽然在平面应变问题中，虽然 ，但但 一般并不等于零，不过它可以由一般并不等于零，不过它可以由 及及 求得，在分析问题时不必考求得，在分析问题时不必考虑，于是也就只有三个应力分量虑，于是也就只有三个应力分量 需要考虑。需要考虑。23第23页，共65页，编辑于2022年，星期六平面应变问题的物理方程平面应变问题的物理方程物理方程可以简化为：
15、物理方程可以简化为：24第24页，共65页，编辑于2022年，星期六平面应变问题物理方程的矩阵表示平面应变问题物理方程的矩阵表示将将(1-25)式用矩阵方程表示：式用矩阵方程表示：它仍然可以简写为：它仍然可以简写为：弹性矩阵弹性矩阵D则为：则为：25第25页，共65页，编辑于2022年，星期六平面应变问题的平面应变问题的适用条件适用条件 需需要要说说明明一一下下，工工程程中中有有许许多多问问题题很很接接近近于于平平面面应应变变问问题题，如如受受内内压压力力的的圆圆管管、滚滚柱柱轴轴承承中中的的滚滚柱柱等等等等，但但它它们们的的沿沿Z向向长长度度都都不不是是无无限限长长的的。故故在在靠靠近近两两
16、端端的的部部分分，其其应应力力应应变变状状态态比比较较复复杂杂，并并不不符符合合平平面面应应变变问问题题的的条条件件；因因此此将将这这类类问问题题当当作作平平面面应应变变问问题题来来考考虑虑时时，对对于于离离开开两两端端有有一一定定距距离离的的地地方方，得得出出的的结结果果还还是是相相当当满满意意的的；但但对对靠靠近近两两端端的的部部位位，却却有有较较大大的的出出入入，往往往往需需要要加加以以处处理理。26第26页，共65页，编辑于2022年，星期六平面应力与应变问题的弹性矩阵平面应力与应变问题的弹性矩阵平面应力情况下的弹性矩阵平面应力情况下的弹性矩阵平面应变情况下的弹性矩阵平面应变情况下的弹
17、性矩阵二者关系：二者关系：27第27页，共65页，编辑于2022年，星期六 平面应力问题平面应力问题特定弹性体特定弹性体在在特定荷载特定荷载作用下，如果其应力状态满足作用下，如果其应力状态满足条件：条件：称该弹性体处于平面应力状态，称相应的问题为平称该弹性体处于平面应力状态，称相应的问题为平面应力问题。此时，面应力问题。此时，28第28页，共65页，编辑于2022年，星期六 平面应变问题平面应变问题特定弹性体特定弹性体在在特定荷载特定荷载作用下，如果其应变状态满作用下，如果其应变状态满足条件：足条件：称该弹性体处于平面应变状态，称相应的问题为平称该弹性体处于平面应变状态，称相应的问题为平面应变
18、问题。此时，面应变问题。此时，29第29页，共65页，编辑于2022年，星期六3.弹性弹性平面平面问题基本量及方程的矩阵表示问题基本量及方程的矩阵表示30第30页，共65页，编辑于2022年，星期六第二次课第二次课第第6章章 用有限单元法解平面问题用有限单元法解平面问题63 位移模式与形函数位移模式与形函数（三结点三角形单元的单元分析）（三结点三角形单元的单元分析）31第31页，共65页，编辑于2022年，星期六回顾：回顾：有限元法分析流程或步骤有限元法分析流程或步骤解综合方程解综合方程K=P求结构节点位移求结构节点位移计算结构内力和应力计算结构内力和应力系统分析系统分析(把单元刚度矩阵集合成
19、结构刚度矩阵把单元刚度矩阵集合成结构刚度矩阵K形成等价节点荷载形成等价节点荷载P)离散（剖分）结构离散（剖分）结构为若干单元为若干单元单元分析单元分析(建立单元刚度矩阵建立单元刚度矩阵ke形成单元等价节点力形成单元等价节点力)32第32页，共65页，编辑于2022年，星期六 单元分析的目的单元分析的目的 建立结点位移与结点力之间的转换关系建立结点位移与结点力之间的转换关系结点位移结点位移 结点力结点力 33第33页，共65页，编辑于2022年，星期六 单元分析单元分析 取结点位移作基本未知量。由结点位移求结点力：取结点位移作基本未知量。由结点位移求结点力：其中，转换矩阵称为单元刚度矩阵。单元分
20、析的主要目的就其中，转换矩阵称为单元刚度矩阵。单元分析的主要目的就是要求出单元刚度矩阵。是要求出单元刚度矩阵。单元分析的步骤可表示如下：单元分析的步骤可表示如下：34第34页，共65页，编辑于2022年，星期六单元分析单元分析63 单元位移模式与形函数单元位移模式与形函数1、单元位移模式概念与相关问题、单元位移模式概念与相关问题2、形函数概念与性质、形函数概念与性质3、位移模式与解答的收敛性、位移模式与解答的收敛性35第35页，共65页，编辑于2022年，星期六1、单元位移模式概念与相关问题、单元位移模式概念与相关问题1）位移模式概念）位移模式概念2）全局位移函数与局部（单元）位移函数全局位移
21、函数与局部（单元）位移函数3）位移模式与单元结点位移之间的关系）位移模式与单元结点位移之间的关系36第36页，共65页，编辑于2022年，星期六1、单元位移模式概念与相关问题、单元位移模式概念与相关问题1）位移模式概念）位移模式概念 “位移模式位移模式”也称也称“位移函数位移函数”，是，是单元内部位移变单元内部位移变化的数学表达式，是坐标的函数化的数学表达式，是坐标的函数。37第37页，共65页，编辑于2022年，星期六1、单元位移模式概念与相关问题、单元位移模式概念与相关问题2）全局位移函数与局部（单元）位移函数全局位移函数与局部（单元）位移函数一般而论，位移函数选取会影响甚至严重影响计算结
22、一般而论，位移函数选取会影响甚至严重影响计算结果的精度。在弹性力学中，恰当选取果的精度。在弹性力学中，恰当选取全局全局位移函数不是一位移函数不是一件容易的事情。件容易的事情。有限元方法的基本思想是采用有限多个有限元方法的基本思想是采用有限多个局局部位移函数逼近全局位移函数部位移函数逼近全局位移函数。当单元划分得足够小时，。当单元划分得足够小时，把把单元位移函数单元位移函数设定为简单的多项式就可以获得相当好的精设定为简单的多项式就可以获得相当好的精度。度。这是有限单元法特有的重要优势之一。这是有限单元法特有的重要优势之一。38第38页，共65页，编辑于2022年，星期六 不同类型单元会有不同的位
23、移函数。这里，以三结点不同类型单元会有不同的位移函数。这里，以三结点三角形单元为例，说明设定位移函数的有关问题。三角形单元为例，说明设定位移函数的有关问题。一一个个三三节节点点三三角角形形单单元元，其其节节点点i、j、m按按逆逆时时针针方方向向排排列列。每每个个节节点点位位移移在在单单元元平平面面内内有有两两个个分分量：量：（6-1）一个三角形单元有一个三角形单元有3个节点（以个节点（以 i、j、m为为 序），共序），共有有6个节点位移分量。其个节点位移分量。其单元位移或单元节点位移列阵单元位移或单元节点位移列阵为：为：ijmuiujumvivjvmxy3）位移模式与单元结点位移之间的关系）位
24、移模式与单元结点位移之间的关系39第39页，共65页，编辑于2022年，星期六 本问题选位移函数（单元中任意一点的位移与节点位本问题选位移函数（单元中任意一点的位移与节点位移的关系）为简单多项式：移的关系）为简单多项式：(6-3）式中：式中：a1、a2、a6待定常数，由单元位移的待定常数，由单元位移的6个分量确定。个分量确定。a1、a4代表刚体位移，代表刚体位移，a2、a3、a5、a6 代表单元中的常应变，而且，位移函数是连续函数。代表单元中的常应变，而且，位移函数是连续函数。(6-2）ijmuiujumvivjvmxyuv40第40页，共65页，编辑于2022年，星期六待定系数的确定待定系数
25、的确定(6-4）现在，通过单元节点位移确定位移函数中的待定常现在，通过单元节点位移确定位移函数中的待定常数数a1、a2、a6。设节点。设节点i、j、m的坐标分别为（的坐标分别为（xi、yi）、）、（xj、yj）、（）、（xm、ym），节点位移分别为（），节点位移分别为（ui、vi）、）、（uj、vj）、（um、vm）。将它们代入式（）。将它们代入式（6-3），得式（），得式（6-4）(6-3）41第41页，共65页，编辑于2022年，星期六从式从式(6-4）左边）左边3个方程中解出待定系数个方程中解出待定系数a1、a2、a3为为(6-5）42第42页，共65页，编辑于2022年，星期六式中式中
26、A为三角形单元的面积，有为三角形单元的面积，有(6-6）特别指出：特别指出：为使求得面积的值为正值，本单元节点号的次序为使求得面积的值为正值，本单元节点号的次序必须是必须是逆时针逆时针转向，如图所示。至于将哪个节点作为起始转向，如图所示。至于将哪个节点作为起始节点节点i，则没有关系。，则没有关系。将式将式(6-5）代入式）代入式(6-3）的第一式，整理后得）的第一式，整理后得同理同理ijmxy（2）（1）（7）43第43页，共65页，编辑于2022年，星期六(6-7）式中式中(6-8）ijm式中（式中（i、j、m）意指：按）意指：按i、j、m依次轮换下标，可依次轮换下标，可得到得到aj、bj、
27、cjam、bm、cm。后面出现类似情况时，。后面出现类似情况时，照此推理。式照此推理。式(6-8）表明：）表明：aj、bj、cjam、bm、cm是是单元三个节点坐标的函数。单元三个节点坐标的函数。44第44页，共65页，编辑于2022年，星期六2、形函数概念与性质、形函数概念与性质1）形函数的概念）形函数的概念2）形函数的确定）形函数的确定3）位移函数与形函数的关系）位移函数与形函数的关系4）形函数的性质）形函数的性质45第45页，共65页，编辑于2022年，星期六1）形函数的概念）形函数的概念 形函数是假定单元结点位移分量为（形函数是假定单元结点位移分量为（0，1）状态）状态时所对应的单元位
28、移函数。时所对应的单元位移函数。形函数是用单元节点位移分量来描述位移函数形函数是用单元节点位移分量来描述位移函数的插值函数。的插值函数。46第46页，共65页，编辑于2022年，星期六令令(6-9）位移模式位移模式(6-7）可以简写为）可以简写为(6-10）式式(6-10）中的）中的Ni、Nj、Nm是坐标的函数，反应了单元是坐标的函数，反应了单元的位移形态，称为单元位移函数的形函数。数学上它反应了的位移形态，称为单元位移函数的形函数。数学上它反应了节点位移对单元内任一点位移的插值，又称插值函数。节点位移对单元内任一点位移的插值，又称插值函数。47第47页，共65页，编辑于2022年，星期六形函
29、数的行列式表达形函数的行列式表达 (6-9）(6-8）48第48页，共65页，编辑于2022年，星期六用形函数把式用形函数把式(6-10）写成矩阵，有）写成矩阵，有缩写为缩写为(6-11）3）位移函数与形函数的关系）位移函数与形函数的关系49第49页，共65页，编辑于2022年，星期六N为形函数矩阵，写成分块形式：为形函数矩阵，写成分块形式：(6-12）其中子矩阵其中子矩阵(6-13）I是是22的单位矩阵。的单位矩阵。50第50页，共65页，编辑于2022年，星期六 形函数是有限单元法中的一个重要函数，它具有以形函数是有限单元法中的一个重要函数，它具有以下性质：下性质：性质性质1 形函数形函数
30、Ni在节点在节点i上的值等于上的值等于1，在其它节点，在其它节点 上的值等于上的值等于0。对于本单元，有。对于本单元，有 4）形函数的性质）形函数的性质51第51页，共65页，编辑于2022年，星期六（i、j、m）性质性质2 在单元中任一点，所有形函数之和等于在单元中任一点，所有形函数之和等于1。对。对 于本单元，有于本单元，有xyN（i，j，m）Ni=1ijm52第52页，共65页，编辑于2022年，星期六xyN（I，j，m）Ni=1ijmNj=1ijmNm=1ijmNi=1ijmNj=1Nm=1也可利用行列式代数余子式与某行或列元素乘也可利用行列式代数余子式与某行或列元素乘积的性质（等于行
31、列式值或积的性质（等于行列式值或0）证明。）证明。53第53页，共65页，编辑于2022年，星期六性质性质3 在三角形单元的边界在三角形单元的边界ij上任一点（上任一点（x，y），有），有 xxixjxyNi(xi，yi)j(xj，yj)m(xm，ym)Ni(x、y)1证证54第54页，共65页，编辑于2022年，星期六性质性质4 形函数在单元上的面积分和在边界形函数在单元上的面积分和在边界上的线积分公式为上的线积分公式为(6-14）式中式中 为为 边的长度。边的长度。在三角形的形心，在三角形的形心，1/3在三角形的在三角形的ij和和im边的中点，边的中点，1/255第55页，共65页，编辑于
32、2022年，星期六(6-3）ijmuiujumvivjvmxyuv补充说明：位移函补充说明：位移函数与形函数的推导数与形函数的推导 形函数是假定单元结点位移分量为（形函数是假定单元结点位移分量为（0，1）状）状态时所对应的单元位移函数。态时所对应的单元位移函数。56第56页，共65页，编辑于2022年，星期六计算单元位移函数举例计算单元位移函数举例 例题：图示等腰三角形单元，求其形态矩阵和位移函数例题：图示等腰三角形单元，求其形态矩阵和位移函数57第57页，共65页，编辑于2022年，星期六计算单元位移函数举例计算单元位移函数举例 由三角形的面积由三角形的面积58第58页，共65页，编辑于20
33、22年，星期六计算单元位移函数举例计算单元位移函数举例 (6-11）举例验证形函数性质；加权平均；内插举例验证形函数性质；加权平均；内插59第59页，共65页，编辑于2022年，星期六3、位移模式与解答的收敛性、位移模式与解答的收敛性60第60页，共65页，编辑于2022年，星期六 （1）位移函数的个数位移函数的个数等于等于单元中任意一点的位移分量个数。本单元中有单元中任意一点的位移分量个数。本单元中有u和和v，与此相应，有，与此相应，有2个位移函数；个位移函数；（3）位移函数中待定常数个数位移函数中待定常数个数 待定常数个数应等于待定常数个数应等于单元节点自由度总数单元节点自由度总数，以便用
34、单，以便用单元节点位移确定位移函数中的待定常数。本单元有元节点位移确定位移函数中的待定常数。本单元有6个节点个节点自由度，两个位移函数中共包含自由度，两个位移函数中共包含6个待定常数。个待定常数。（2）位移函数是坐标的函数位移函数是坐标的函数 本单元的坐标系为：本单元的坐标系为：x、y；61第61页，共65页，编辑于2022年，星期六 （4）位移函数中必须包含单元的刚体位移。位移函数中必须包含单元的刚体位移。（5）位移函数中必须包含单元的常应变。位移函数中必须包含单元的常应变。（6）位移函数在单元内要连续。相邻单元间要尽位移函数在单元内要连续。相邻单元间要尽 量协调。量协调。条件（条件（4）、
35、（）、（5）构成单元的）构成单元的完备性完备性准则。准则。条件（条件（6）是单元的位移）是单元的位移协调性协调性条件。条件。理论和实践都已证明，完备性准则是有限元解收敛理论和实践都已证明，完备性准则是有限元解收敛于真实解的必要条件。单元的位移协调条件构成有限元于真实解的必要条件。单元的位移协调条件构成有限元解收敛于真实解的充分条件。解收敛于真实解的充分条件。容易证明，三角形三节点常应变单元满足以上必要容易证明，三角形三节点常应变单元满足以上必要与充分条件。与充分条件。62第62页，共65页，编辑于2022年，星期六 位移函数的形式位移函数的形式 一般选为完全多项式。为实现（一般选为完全多项式。
36、为实现（4）（6）的要求，）的要求，根据根据Pascal三角形由低阶到高阶按顺序、对称地选取；多项三角形由低阶到高阶按顺序、对称地选取；多项式的项数一般应等于单元节点自由度数。式的项数一般应等于单元节点自由度数。63第63页，共65页，编辑于2022年，星期六例：平面应力矩形板被划分为若干三角形单元。例：平面应力矩形板被划分为若干三角形单元。位移函数中包含了单元的常应变。位移函数中包含了单元的常应变。(a2,a6,a3+a5)位移函数中包含了单元的刚体位移。位移函数中包含了单元的刚体位移。(a1,a4)254136对任一单元，如对任一单元，如单元，取位移函数：单元，取位移函数：64第64页，共65页，编辑于2022年，星期六、单元的位移函数都是单元的位移函数都是可以看出：可以看出：位移函数在单元内是连续的；位移函数在单元内是连续的；以以、的边界的边界26为例为例2562635623xyuu6u2uu6u2两条直线上有两个点重合，此两条直线必全重合。两条直线上有两个点重合，此两条直线必全重合。位移函数在单元之间的边界上也连续吗？是。位移函数在单元之间的边界上也连续吗？是。65第65页，共65页，编辑于2022年，星期六